分形與小波理論在非線性圖像處理中的應(yīng)用

1、非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告分形與小波理論在非線性圖像處理中的應(yīng)用摘 要：基于小波的圖像處理研究是項(xiàng)備受關(guān)注的研究課題，近年來，將諸如分形理論等的非線性處理技術(shù)引入該領(lǐng)域的研究已經(jīng)成為一個(gè)發(fā)展方向。本文探討了將分形這種信號(hào)處理中常用的非線性處理技術(shù)與小波變換相結(jié)合，在圖像壓縮編碼、圖像邊緣檢測、圖像紋理分割以及其他領(lǐng)域的運(yùn)用。關(guān)鍵字：小波 分形 圖像壓縮 紋理分割 邊緣檢測Fractal and Wavelet theory Theory in Nonlinear Image Processing Abstract :Wavelet is one of the most outstanding

2、techniques in image processing, and fractal signal processing is a new analysis method developed in past two decades.A study of combining those two methods of signal processing and applying them to image processing is the topic of this paper.Key words: wavelet fractal image compression texture segme

3、ntation edge detection1. 小波與分形基礎(chǔ)理論介紹1.1 引言小波理論1(Wavelet Theory)被認(rèn)為是近年來在數(shù)學(xué)分析和方法上的重大理論突破，在不同學(xué)科和領(lǐng)域的科學(xué)家的共同努力下，如今已經(jīng)有了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)和廣泛的應(yīng)用背景。在數(shù)學(xué)界，小波分析被看作是傅里葉分析發(fā)展史上的里程碑，是為克服傳統(tǒng)傅立葉分析方法的缺點(diǎn)而發(fā)展起來的，它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)，而且由于對高頻成分采用逐漸精細(xì)的時(shí)域或空間域取樣步長，從而可以聚焦到對象的任意細(xì)節(jié)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡"，是泛函分析、傅里葉分析、樣條分析、調(diào)和分析、數(shù)值分析的完美結(jié)合。目前，小波變換被廣泛

4、應(yīng)用于信號(hào)處理的各個(gè)領(lǐng)域，例如如語音信號(hào)處理、數(shù)字圖像處理、數(shù)字視頻處理、非線性信號(hào)處理等。分形理論(Fractal Theory)是非線性研究的重要組成部分之一，非線性科學(xué)是近30年來在各門以非線性為特征的子學(xué)科研究基礎(chǔ)上形成的，旨在揭示非線性系統(tǒng)的共同性質(zhì)、基本特征和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是跨多個(gè)學(xué)科的綜合性基礎(chǔ)科學(xué)。分形理論是目前一門跨學(xué)科、非線性并且相當(dāng)活躍的學(xué)科。分形幾何學(xué)是由非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告Mandelbrot首先提出的，用來描述自然界中不規(guī)則、具有自相似結(jié)構(gòu)的物體。在圖像處理領(lǐng)域，分形理論在模擬自然景物生成、圖像邊緣檢測、圖像分割等方面上有很好地運(yùn)用。非線性是指兩個(gè)量之間沒有象正比

5、那樣的“直線”關(guān)系，自然界中的非線性是絕對的，線性是非線性的特殊情況。非線性科學(xué)研究包羅萬象，但如果什么都研究，那反倒什么問題也解決不了，因此非線性的研究的重點(diǎn)在于研究各門學(xué)科中非線性的共性問題。數(shù)學(xué)領(lǐng)域非線性科學(xué)研究的三大重點(diǎn)包括：混沌(chaos)，分形(fractal)和孤立波(soliton)；技術(shù)工程領(lǐng)域非線性應(yīng)用方法有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)23，矢量量化等。1.2 小波變換(1) 一維連續(xù)小波變換對于f(t)L2(R)，f(t)的一維小波變換定義為：-12+W(a,b)=<f(t),(t)>=|a|fa,b12-f(t)(t-b)dt,a0 (1.1) a(1.1)式中(t)=|a|

6、-(t-b)被稱為母小波，(t)是(t)的復(fù)共軛轉(zhuǎn)制。其a中a，b為實(shí)數(shù)，且a>0，a被稱作尺度因子，反映了一個(gè)具體的基函數(shù)的伸縮尺度。b為時(shí)間中心函數(shù)，表示基函數(shù)的平移位置。小波逆變換可以看成原信號(hào)的重構(gòu)，對于fL2(R)以及f的連續(xù)點(diǎn)xR有+f(x)=C-1-a,b(x)Wf(a,b)dbda (1.2)2|a|其中a,b(x)= t-a，式(1.2)稱之為信號(hào)的小波重構(gòu)。 a(2) 二維連續(xù)小波變換如果信號(hào)函數(shù)f(x,y)L2(R2)，(x,y)為二維小波母函數(shù)，其構(gòu)造可由一非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告維母小波的張量積形成，也可以由非張量積的方法構(gòu)造，則(x,y)的表達(dá)形式為：a,b

7、,c(x,y)=|a|-1(x-by-c,) ， a,b,cR,a0 (1.3) aa因?yàn)閳D像信號(hào)是二維信號(hào)，所以將一維小波擴(kuò)展到二維情況便于后續(xù)使用和分析。Wf(a,b,c)=CWT(a,b,c)=|a|-1-+-f(x,y)(x-by-c,)dxdy (1.4) aa一維和二維小波變換除了連續(xù)變換之外還有離散變換的形式，這里不再贅述。(3) 多分辨分析多分辨分析(Multiresolution Analysis，MRA)是1989年由SMallat引入的，他從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨特性，將在此之前所有小波變換理論統(tǒng)一起來。設(shè)(Vm,mZ;(t)是一個(gè)正交MRA，如果(t)=c

8、k(2t-k) (1.5)k那么，函數(shù)(t)=(-1)c1-k(2t-k)的伸縮、平移構(gòu)成L2(R)的正交基。kk對于任意的fL2(R)，f可以表示為+f(x)=且其中部分和 k=-j=-ck,jk,j (1.6)fk(x)=j=-c+k,jk,jWk (1.7)因此fk(x)構(gòu)成信號(hào)f在子空間Wk上的投影，也就是信號(hào)f分解到與頻率k非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告相關(guān)的局部信息。綜合式(1.6)和(1.7)得到信號(hào)f的另一種等價(jià)表示+fk(x)=k=-f(x) (1.8) k式(1.8)可以看做是信號(hào)的一種按頻率的分解。更進(jìn)一步的，如果只希望知道信號(hào)f不超過頻率j相關(guān)的所有信息，則該信息的表達(dá)式為

9、+Fj(x)=k=-f(x) (1.9) k信號(hào)Fj(x)Vj=k=-W。 kj1989年，Mallat在小波變換多分辨分析理論與圖像處理的應(yīng)用研究中提出了信號(hào)的塔式多分辨分解與重構(gòu)的著名算法，也稱Mallat算法。一般認(rèn)為，Mallat算法在小波分析中的地位類似于FFT在經(jīng)典傅里葉分析中的地位。1.3 小波函數(shù)同傳統(tǒng)的傅立葉分析不同，小波分析的基（小波函數(shù)）不是唯一存在的，所有滿足小波條件的函數(shù)都可以做為小波函數(shù)，實(shí)際應(yīng)用中，小波函數(shù)的選取是一個(gè)十分重要的問題，實(shí)際選取小波的標(biāo)準(zhǔn)主要有以下三種：（1）自相似原則：對二進(jìn)小波變換，如果選擇的小波對信號(hào)有一定相似性，也就是在下式的基礎(chǔ)上：f(t)

10、=W(2jf )2jt( ) (1.10)jZ若2j(t)和f(t)有某種程度的近似，則變換后的能量就比較集中，可以有效減少計(jì)算量。（2）判別函數(shù)：針對某類問題，找出一些關(guān)鍵性的技術(shù)指標(biāo)，得到一個(gè)判別函數(shù)，將各種小波函數(shù)代入其中，得到一個(gè)最優(yōu)準(zhǔn)則。（3）支集長度：大部分應(yīng)用選擇支集在59之間的小波，因?yàn)橹ЪL會(huì)非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告產(chǎn)生邊界問題，支集太短消失矩太低，不利于信號(hào)能量的集中。實(shí)際工程應(yīng)用中，第一條和第二條準(zhǔn)則只有理論上的意義，因?yàn)樾盘?hào)含量很大，從中找到模式很困難，所以只有從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)中獲取。1.4 分形理論簡要介紹及其發(fā)展概況分形是非線性科學(xué)的一個(gè)分支，同時(shí)也是非線性科學(xué)三大理

11、論前沿（其它兩個(gè)理論是混沌學(xué)(chaos)和孤立子理論(soliton)）之一，是一門涉及眾多學(xué)科和工程技術(shù)的交叉學(xué)科4。與傳統(tǒng)理論相比，分形理論的研究對象是自然界和非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的不光滑的和不規(guī)則的幾何形體，因而它能夠更為深入、準(zhǔn)確地描述客觀現(xiàn)象和事物，是一種探索復(fù)雜性的有效工具。分形由于既有深刻的理論意義又存在巨大的實(shí)用價(jià)值，因而吸引著人們不斷尋求其中可能存在的新規(guī)律和新特征。目前，它的相關(guān)理論和方法大量應(yīng)用于天氣、水文、生物等許多領(lǐng)域。在計(jì)算機(jī)科學(xué)方面，分形的方法在模式識(shí)別、信號(hào)處理，以及圖形圖像的模擬領(lǐng)域都已取得了很多的成就。目前，世界上的物體一般可以分為人工制造的物體和自然界自然存

12、在的物體兩大類。對人類設(shè)計(jì)并建造的物體進(jìn)行描述的方法主要是傳統(tǒng)的幾何學(xué)，即歐幾里德幾何學(xué)，解析幾何、微分幾何等。這部分的研究對象主要是從現(xiàn)實(shí)物體中抽象出來的規(guī)則幾何體，這些方面很早之前就得到了人們的重視，有了很多成就。而分形理論的研究對象曾長期被經(jīng)典數(shù)學(xué)家們稱之為“病態(tài)曲線5”和“妖魔曲線”，它們都被摒棄于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究對象之外，得不到重視也沒有什么發(fā)展。但是隨著人們對自然界研究和認(rèn)識(shí)的深化，人們逐漸發(fā)現(xiàn)僅僅使用傳統(tǒng)幾何并不能描述大自然中的所有對象，如海岸線、云團(tuán)、乃至雪花等人們?nèi)粘＝佑|的物體，還有水文測量中的水位變化曲線、股票的價(jià)格曲線等等，這些不規(guī)則的自然對象是不能用傳統(tǒng)的歐幾里德幾何學(xué)來描

13、述的。針對這一狀況，很多數(shù)學(xué)家都為此做出了相關(guān)研究并取得了一些成果，如K. T. W. Weierstrass提出了處處連續(xù)又處處不可微的魏爾斯特拉斯曲線，GFLP Cantor提出康托爾三分集，H. VonKoch構(gòu)造了科赫雪花曲線等等6，但他們的努力并未被當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界所接受。這一情況直到1967年B. B. Mandelbrot在科學(xué)雜志上發(fā)表了一篇“英國的海岸線有多長?統(tǒng)計(jì)自相似性與分?jǐn)?shù)維數(shù)?！钡恼撐牟诺玫礁纳?。他先后于1977年發(fā)表分形：非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告形，機(jī)遇與維數(shù)(Fractal: Form, Chance and Dimension)，1982年發(fā)表自然界的分形幾何學(xué)(

14、The Fractal Geometry of Nature)，來進(jìn)一步闡述他的觀點(diǎn)。在這些文章及著作中，他用分形一詞來描述那些沒有特征長度，具有無限精細(xì)結(jié)構(gòu)的圖形、結(jié)構(gòu)和現(xiàn)象，自此一門新的科學(xué)“分形學(xué)”形成了。目前分形學(xué)已經(jīng)得到了迅猛發(fā)展，隨著人們對分形理論研究及實(shí)踐的深入，又發(fā)現(xiàn)僅僅使用分形維數(shù)來刻畫分形對象的特征是不夠的，于是提出了多重分形等其他進(jìn)一步的概念，雖然目前這些理論還不完善，但它們的一些相關(guān)思想已被人們廣泛接納并嘗試應(yīng)用于實(shí)踐中了。此外，人們對于分形理論與其他理論結(jié)合的研究也很重視，比如它與小波、混沌學(xué)等理論的結(jié)合，這是分形學(xué)發(fā)展的另一個(gè)新的趨勢。1.5 分形理論分形理論的研究

15、對象是由非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的不光滑和不可微的幾何形體。如前所述，分形最早的定義是由Mandelbrot提出：“Hausdorff維數(shù)嚴(yán)格大于拓?fù)渚S數(shù)的集合稱為分形”，但這個(gè)定義出于不夠嚴(yán)格，也無操作性，所以后來Mandelbrot又提出了改進(jìn)的定義7：“如果一個(gè)形體的組成部分以某種方式與整體相似就稱為分形；分形具有非線性變換下的不變性，但我們首先研究的是在線性變換下不變的自相似性”。其實(shí)這個(gè)定義也不是十分完備。Falconer從其性質(zhì)與特征去認(rèn)識(shí)分形思路更容易讓人理解8：分形是一些簡單空間上“復(fù)雜”的點(diǎn)的集合，這種集合具有某些特殊性質(zhì)，首先分形是所在空間的緊子集，并具有以下幾何性質(zhì)：（1） 分形集

16、在任意小尺度下有精細(xì)的結(jié)構(gòu)；（2） 分形集不能用傳統(tǒng)幾何語言來描述，它既不滿足某些條件的點(diǎn)的集合，也不是某些簡單方程的解集；（3） 分形集具有某種自相似的形式，可以是近似的或統(tǒng)計(jì)的；（4） 分形的“分形維數(shù)”嚴(yán)格大于相應(yīng)的拓?fù)渚S數(shù)；（5） 分形集在多數(shù)情況下可遞歸定義。非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告Mandelbrot認(rèn)為分形有三大要素：形狀(form)、機(jī)遇(chance)和維數(shù)(dimension)。首先，分形的形狀是支離破碎、參差不齊和凹凸不平的不規(guī)則形狀；其次，我們發(fā)現(xiàn)自然界中的海岸線與用來描述它的著名的科克分形曲線之間仍然有很大的不同，而這種差異是由于海岸線受到自然界隨機(jī)因素的作用而產(chǎn)生

17、的，同時(shí)，Bamsely發(fā)現(xiàn)可以對一組給定的規(guī)則通過隨機(jī)迭代而得到分形，因此隨機(jī)性或者機(jī)遇僅僅是工具，而結(jié)果是確實(shí)確定的；第三，分形的維數(shù)可以是分?jǐn)?shù)，稱為分維。維數(shù)是幾何對象的一個(gè)重要特征量。通?！熬S數(shù)”的概念，指的是為了確定幾何對象中一個(gè)點(diǎn)的位黃所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。在這種意義下，它是一個(gè)整數(shù)。由于這種定義具有對幾何對象在同胚變換下的不變性，因此稱為“拓?fù)渚S”，記做DT。1919年，F(xiàn). Hausdorf提出了維數(shù)不必限于整數(shù)，而可以是個(gè)實(shí)數(shù)的概念，這種維數(shù)稱為Hausdorf維（豪斯多夫維），記做D。其他在分形經(jīng)常用到的維數(shù)還有盒子維和相似維等，我們下面簡單對這幾種最常用的實(shí)數(shù)維進(jìn)行介紹

18、。（1） Hausdorf維設(shè)U是n維歐式空間Rn中的非空子集。我們把U內(nèi)任何兩點(diǎn)間距離的最大值定義為U的直徑，記做U。對于集合FRn，如果F可以被有限個(gè)直徑不超過的集類Ui所覆蓋，即F Ui,i且O<i<,i (1.11)則稱Ui是F的一個(gè)-覆蓋。設(shè)FRn，s是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。對任何>0，定義sH(F)=infi:Ui為F的一個(gè)-覆蓋 (1.12) i=1s其中要取便所有直徑不超過的F的覆蓋而取得下確界，且Hs當(dāng)減小時(shí)增加。關(guān)于取極限，稱非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告Hs(F)=limHs(F) (1.13)0為F的s維Hausdorf測度，對任何s，上述極限都是存在的，但通常是

19、0或者。Hausdorf測度推廣了長度、面積和體積等概念?？梢宰C明9，Rn中任何子集的n維Hausdorf測度與通常n維的體積，只相差一個(gè)常數(shù)倍（當(dāng)n是整數(shù)時(shí)）。定義：集F的Hausdorf維為D=infs:Hs(F)=0=sups:Hs(F)= (1.14)所以，Hs(F)=00，或)當(dāng)s<D時(shí)當(dāng)s>D時(shí) (1.15)當(dāng)s=D時(shí)由式(1.15)分析得出，F(xiàn)的Hausdorf測度使得Hs(F)從跳躍到0的一個(gè)分界點(diǎn)。很顯然D是非負(fù)實(shí)數(shù)，它不一定是整數(shù)，所以是一種分維。Hausdorf維數(shù)具有對任何集F都有定義的優(yōu)點(diǎn)，而缺點(diǎn)是難以計(jì)算。但它仍然是各種分維定義中最重要的一種，也是最常用

20、的一種。DT與D的關(guān)系滿足ESzpilrajn（蘇比爾拉）不等式DDT，即任一集合（幾何體）的Hausdorf維數(shù)總不小于其拓?fù)渚S數(shù)。（2） 盒子維定義：設(shè)集合FRn。記N(F)是可以覆蓋F的邊長為的n維立方體（記做n-立方體）的最少個(gè)數(shù)，則F的盒維DB定義為（當(dāng)極限存在時(shí)）：DB=lim0logN(F) (1.16) -log所以，盒子維與Hausdorf維一樣，也是考慮F的覆蓋，只是可采用同樣大非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告小的n-立方體，所以總有DBD成立。對于許多“規(guī)則”的集，有DB=D。由于盒子維的計(jì)算相對比較簡單，因此應(yīng)用十分廣泛。（3） 相似維如果集合F具有“自相似”的子集（即這些子

21、集有著與集F相同的绱構(gòu)，而且其大小是按照比例縮小的，縮小因子為r），而這些子集又依次具有相同比例的子子集，如此等等。假定每一個(gè)“母集”F有N個(gè)子集，而當(dāng)每一個(gè)子集1中各點(diǎn)間的距離按照因子 增大時(shí)都恒等于該“母集”。如果規(guī)定初始尺度為r1，并取邊長=rk，則覆蓋F所需立方體的個(gè)數(shù)N=Nk。代入(1.16)有DB=limk-logrlog(Nk)k (1.17)即得到了一個(gè)十分簡單的維數(shù)公式DB=logN (1.18) 1logr其中N是前一個(gè)“母集”按照比例r縮小后的子集個(gè)數(shù)，而取DB=D。我們把這種集合F稱為嚴(yán)格的自相似集。按照式(1.18)算得的相似維經(jīng)常就作為Hausdorf維數(shù)的估計(jì)值。

22、根據(jù)式(1.18)，一些比較著名的分形集維數(shù)分別為：康托集的Hausdorf維數(shù)為D=log2log4，科克曲線的Hausdoff維數(shù)為D=，西爾log3log3log3，皮雅諾曲線的Hausdorf維數(shù)為log2賓斯基三角形的Hausdorf維數(shù)為D=log4=2。 log2D=2. 分形和小波理論在圖像壓縮編碼中的應(yīng)用2.1 分形和小波理論在圖像壓縮中應(yīng)用的簡要介紹非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告分形圖像壓縮是通過發(fā)掘圖像的自相似性去除冗余，實(shí)現(xiàn)壓縮。它是在空間域上進(jìn)行的基于塊的編解碼方法，其理論依據(jù)，同時(shí)也是分形圖像壓縮技術(shù)的核心是拼貼定理。一幅圖像用使圖像近似不變的壓縮仿射變換（由一組刻畫局

23、部自相似性的壓縮仿射變換組成，即迭代函數(shù)系統(tǒng)）的量化參數(shù)來表達(dá)，只需存儲(chǔ)壓縮變換的量化參數(shù)而不是整幅圖像，而存儲(chǔ)仿射變換量化參數(shù)的比特?cái)?shù)大大低于儲(chǔ)存原始圖像的比特?cái)?shù)，因此實(shí)現(xiàn)了圖像數(shù)據(jù)的高倍壓縮。解碼是新穎的快速迭代過程，表達(dá)圖像的變換是壓縮的，Banach不動(dòng)點(diǎn)定理保證變換的不動(dòng)圖像是存在的且是唯一的，可以從任何初始圖像迭代生成。從1989年Mallat首先將小波變換用于多分辨率圖像的描述9時(shí)起，小波變換的編碼方法迅速成為圖像壓縮領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。其基本思想是把圖像進(jìn)行多分辨率分解，分解成不同空間、不同頻率的子圖像，然后再對子圖像進(jìn)行系數(shù)編碼。系數(shù)編碼是小波變換用于圖像壓縮的核心，壓縮的實(shí)質(zhì)是

24、對系數(shù)進(jìn)行量化壓縮。由于小波變換的特點(diǎn)，圖像經(jīng)過小波變換后能量主要集中在低頻部分，而高頻部分經(jīng)過量化后系數(shù)大部分為零，這一特性使得對圖像進(jìn)行壓縮成為可能。如今，在視頻壓縮國際標(biāo)準(zhǔn)MPEG-4以及靜止圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)JPEG-2000中，小波算法已經(jīng)成為核心算法10。基于小波的分形圖像編碼技術(shù)是最近出現(xiàn)的一種新興方法。一些學(xué)者不斷地在研究使用分形編碼的一些方法來發(fā)掘和利用圖像經(jīng)小波變換后所表現(xiàn)出來的相似性11。1995年，Rinaid和Calvagno利用分形圖像編碼中的分形匹配方法，實(shí)現(xiàn)了用低分辨率子帶圖像來進(jìn)行同方向高一級分辨率子帶圖像的預(yù)測。1998年，Davis把零樹的概念引入到分形圖像編碼

25、，并把分形圖像編碼中的相似塊和圖像塊擴(kuò)大為相似樹和圖像樹，從而使得相似塊與和圖像塊之間的分形匹配轉(zhuǎn)化為相似樹與圖像樹之間的分形匹配，取得了很好的壓縮效果。2.2 分形編碼和小波編碼的結(jié)合分形圖像編碼的多分辨分析是分形編碼理論中最引人矚目的成就，它不但能夠推動(dòng)分形編碼器性能的改進(jìn)，而且也能夠使我們更好地理解分形編碼的內(nèi)在機(jī)理12。小波與分形圖像編碼的聯(lián)系由許多學(xué)者獨(dú)立發(fā)現(xiàn)。多分辨分析把小波的構(gòu)造納入統(tǒng)一的框架之中，同時(shí)也較好地指示了小波變換的顯微能力。多分辨分非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告析把信號(hào)（含圖像）分解為多種尺度分量，并相應(yīng)采用粗細(xì)不同的時(shí)域（空域）取樣步長，從而能夠不斷地聚集于任意微小的細(xì)

26、節(jié)。這種思想與我們對分形的觀察與認(rèn)識(shí)是一致的，體現(xiàn)了我們識(shí)別景物的漸進(jìn)過程。例如，由遠(yuǎn)及近的觀察一處海岸景色，我們會(huì)首先注意到作為景色最顯著特征的輪廓（海岸線），再慢慢注意其結(jié)構(gòu)（如礁石），最后逐步觀察其細(xì)節(jié)或紋理特征（如綠草）。這種識(shí)別過程充分體現(xiàn)了一種從低分辨到高分辨的原理。對于一般分形，通過從大到小不同尺度的變換，我們可以在越來越小的尺度上明察越來越豐富的細(xì)節(jié)。尺度不變性(scale-invariant)既是小波的特征，又是分形的特征。因此，作為分析工具的小波分析與作為幾何語言的分形理論具有深刻的內(nèi)在聯(lián)系，它們在尺度變換上具有驚人的一致性。由此可見，對源于分形的分形圖像編碼進(jìn)行小波分析就

27、是自然而然的想法。2.3 小波域內(nèi)的分形圖像壓縮編碼小波變換編碼的原理是利用小波變換將原圖像分解成不同的頻率區(qū)域，對不同的頻率區(qū)域采用不同的壓縮編碼手段，從而使數(shù)據(jù)量減少。分形和小波結(jié)合主要從兩方面進(jìn)行：基于圖像塊小波分解特性的分形圖像編碼和基于小波變換域的圖像編碼。前者利用經(jīng)過小波分解后，圖像塊所具有的獨(dú)特空間：頻率特性，可以構(gòu)造較好的分類和搜索方法，從而大大加快了分形編碼的速度；后者圖像經(jīng)過小波分解后，呈現(xiàn)出子圖本身的相似性和同方向不同分辨率子圖之間存在分形意義下的相似性，同時(shí)，在同分辨率不同方向子帶圖像中，其具有相同空間位置的小波系數(shù)之間尚存在較強(qiáng)的相關(guān)性，因此將分形編碼和小波變換域的子

28、帶圖像編碼相結(jié)合很有前景。Roberto Rinaldo和Giancarlo把分形和小波相結(jié)合，應(yīng)用小波變換將圖像解析成多分辨率的子圖像，在相應(yīng)尺度和方向的子圖像上構(gòu)造不同維數(shù)、不重疊的圖像塊，再下一級更低分辨率子圖像上構(gòu)造相似塊。最低分辨率的子圖像用PCM單獨(dú)編碼，其它和傳統(tǒng)分形編碼一樣，用低分辨率的子圖像上的定義域塊來預(yù)測高分辨率子塊中的值域塊。這種預(yù)測方法簡化了解碼過程，一次就能恢復(fù)原圖像。有人13曾提出一種基于小波分解的快速分形圖像編碼方法。該方法先對子圖像塊進(jìn)行金字塔Haar變換；然后從低頻段開始依次累加誤差并與閥值比較，大于閥值結(jié)束匹配，由于各頻段的數(shù)據(jù)量和能量分布不均勻，許多搜索

29、過程可以提前結(jié)束。試驗(yàn)表明在不影響圖像質(zhì)量的前提下，編碼時(shí)間縮非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告短了100倍以上。多層小波分解的分形編碼已有的方法包括預(yù)測法和零數(shù)法。（1） 分形壓縮編碼的預(yù)測法首先簡要介紹一下小波變換編碼，利用前面介紹過的二維小波變換（此處采用二維離散小波變換），以原始圖像為初始值，不斷地將上一級圖像分解為四個(gè)子帶。每級分解得到的四個(gè)子帶圖像，分別對應(yīng)頻率平面上不同的區(qū)域，它們分別含有上一級圖像中的低頻信息和垂直、水平及對角線方向的信息。從多分辨率分析出發(fā)，一般每次只對上一級的低頻子圖像進(jìn)行再分解，如圖2.1所示，其中LL為低頻子帶，HL，LH，HH為高頻子帶。圖2.1分形壓縮編碼的

30、預(yù)測法，是指利用圖像經(jīng)小波分解后同方向相鄰兩個(gè)子帶圖像之間的相似性，用低分辨率的子帶圖像來進(jìn)行同一方向高一級分辨率子帶圖像的預(yù)測。其實(shí)現(xiàn)方法為：在對圖像進(jìn)行多層小波分解后，對于最低分辨率的子帶圖像，由于是分形預(yù)測的基礎(chǔ)，所以要采用無失真或失真較少的圖像編碼方法來編碼，然后利用低分辨率的子帶圖像，對同方向高一級分辨率的子帶圖像進(jìn)行分形預(yù)測編碼。對一幅圖像進(jìn)行四級金字塔小波分解。四級金字塔小波分解如圖2.2所示。按照小波理論，高層區(qū)域中的系數(shù)包含較多的原圖像信息，低層區(qū)域中的系數(shù)包含的原圖像的信息相對較少。除最高層的LLN外的區(qū)域都分成3個(gè)方向，即LHN-1，LHN-2，LHl均屬于LH方向；HL

31、N-l，HLN-2，HLl均屬于HL方向；HHN-l，HHN-2，HHl均屬于HH方向。從小波變換過程知LHi(HLi或HHi)具有相似的頻率特征，所以分別稱它們是同類區(qū)域。非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告在進(jìn)行塊劃分時(shí)，傳統(tǒng)分形圖像壓縮中定義域塊尺寸是序列塊的4倍，通過先求相鄰4個(gè)像素的亮度（算術(shù)）平均值，將定義域塊收縮成與值域塊相同尺寸后再與值域塊比較，從而保證從定義域到值域塊的映射是收縮的。這是因?yàn)橄袼亓炼戎刀紴檎x域塊中相鄰4點(diǎn)的亮度平均值基本上能反映這4點(diǎn)的亮度特征。然而，小波域內(nèi)系數(shù)的取值范圍是整個(gè)實(shí)數(shù)軸，并且近一半的系數(shù)是負(fù)數(shù)。此時(shí)相鄰4個(gè)系數(shù)的平均值不能反映這4個(gè)系數(shù)的大小特征，

32、顯然，“均值塊”與值域塊間的相似關(guān)系，也不再能反映定義域塊與值域塊之間的相似關(guān)系。所以在小波域上，一般用相同尺寸的定義域塊和值域塊進(jìn)行相似性比較。分形預(yù)測方法采用“自頂向下”的編碼方法。對第N層到第一層區(qū)域采用類似傳統(tǒng)分形的編碼方法，即對第i層區(qū)域中的值域塊(Ni1)，以其在第i+1層中的同類區(qū)域?yàn)槎x域塊池，并且對定義域塊和值域塊采用相同尺寸的塊劃分。由于第N層區(qū)域要為第N-l層區(qū)域提供定義域池，并且其中的系數(shù)包含了原圖像的大量信息，為減少誤差，對第N層區(qū)域采用直接編碼。（2） 分形壓縮編碼的小波樹法1998年Davis在總結(jié)前人經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出了基于小波子樹的分形圖像編碼方法1415，使得

33、小波域內(nèi)的分形編碼方法有了新的突破。分形編碼小波樹法，是把零權(quán)的概念引入分形圖像編碼，并把分形圖像編碼中的定義域塊和值域塊擴(kuò)大為定義域樹和值域樹，從而使定義域塊和值域塊之間的分形匹配轉(zhuǎn)化為定義域樹和值域樹之間的分形匹配。而多層小波分解的小波樹法，則是把圖像進(jìn)行多次小波分解后所得的小波系數(shù)按照一定的方向在不同的分辨率上形成樹形結(jié)構(gòu)，來構(gòu)成定義域樹和值域樹?；谛〔ㄗ訕涞姆中螆D像編碼方法的基本思想是對于一個(gè)N×N的圖像方塊經(jīng)過上述多分辨率小波分解后的小波系數(shù)分布在L=log2(N)個(gè)不同分辨率級的三個(gè)不同方向上，包括第L級的低頻小波系數(shù)。對應(yīng)于傳統(tǒng)空域分形編碼搜索域中的一個(gè)定義域塊和一個(gè)

34、待編碼值域塊，在小波域的分形編碼中定義域塊被看作是從第P級(P<1)開始的小波樹(DP)，值域塊被看作從第P+1級開始的小波樹(RP+1)。這樣，傳統(tǒng)空域分形編碼算法中的圖像塊匹配問題就延伸為小波域非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告內(nèi)小波樹的匹配問題，既用某一個(gè)小波樹DP。經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q后近似另一待編碼的小波樹RP 1。在采用正交小波基的情況下，某一尺度下的小波系數(shù)與大一尺度的一組系數(shù)存在一一對應(yīng)關(guān)系。每一個(gè)第N級分解后的高頻變量，對應(yīng)于鄰近大一尺度(N-l級)的2×2小波系數(shù)組，遞推下去對應(yīng)于4×4和8×8小波系數(shù)組，它們具有相同的位置空間。這樣，如果不考慮第

35、N級的垂直及水平方向的低通分量，其它三個(gè)高頻子帶，即垂直方向、水平方向和對角方向的高頻子帶中具有相同帶內(nèi)偏移位置的三個(gè)小波系數(shù)，加上與它們對應(yīng)的較大尺度的2×2，4×4，8×8小波系數(shù)組?？梢院喜⒔M成分層樹狀結(jié)構(gòu)小波樹D，以四層小波分解為例，大小為255。其中小波樹D的最頂層的三個(gè)節(jié)點(diǎn)被稱為根節(jié)點(diǎn)：每一個(gè)高于最底層的節(jié)點(diǎn)包含與它對應(yīng)的鄰近大一尺度的2×2的子節(jié)點(diǎn)，遞推下去4×4的孫節(jié)點(diǎn)，是從小波分解的第三級開始，那么它構(gòu)成大小為63的小波樹冠R。很明顯，如果原始圖像的尺度為512×512，那么總共有1024個(gè)D及4096個(gè)R。這樣的劃

36、分類似于傳統(tǒng)空域分形壓縮算法中構(gòu)造不相交的圖像塊和相應(yīng)的搜索空間，注意這里的D所對應(yīng)的空域中的圖像塊是互不重疊的。圖2.2 小波分解與小波子樹非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告3. 小波與分形理論在圖像邊緣檢測中的應(yīng)用3.1 分形在邊緣小波基選取上的應(yīng)用在小波基選取中，小波消失矩的選取是個(gè)非常重要的部分。小波消失矩特性為：滿足xn(x)dx=0,n=1,2, ,k-1。小波消失矩越大，它的支撐長度就越大，對應(yīng)的濾波器越平坦。越大的消失矩將使高頻系數(shù)越小，小波分解后的圖像能量也就更集中。但隨著消失矩階數(shù)的增加，在小波變換域中出現(xiàn)的極值點(diǎn)會(huì)成倍增加，從而增加噪聲識(shí)別的困難。在檢測邊緣時(shí)，有時(shí)還會(huì)發(fā)生邊緣偏

37、移現(xiàn)象。反之，如果小波函數(shù)具有低階的消失矩，其緊支集較小，邊緣偏移現(xiàn)象會(huì)大大減弱，但對一些大于消失矩階數(shù)的細(xì)節(jié)變化將無法檢測，而且原圖像中的很多細(xì)節(jié)會(huì)在小波系數(shù)重構(gòu)過程中丟失。因此，要選擇適當(dāng)?shù)男〔ㄏЬ仉A數(shù)。人們常常只重視用分形維表征圖像特征，而忽略了分形常數(shù)。從物理意義的角度來看，分形維數(shù)只反映了物體表面的不規(guī)則程度，卻沒有反映表面變化的快慢。而分形常數(shù)則反映了物體表面變化的快慢。圖像灰度曲面越粗糙，灰度變化越劇烈，分形常數(shù)就越大，在不同紋理灰度表面之間（即圖像邊緣處），分形常數(shù)值比較大。所以我們可以將分形常數(shù)作為圖像邊緣點(diǎn)的分形特征。如果小波有k階消失矩，利用小波變換模的極大值，可以檢測

38、出圖像有k-1階導(dǎo)數(shù)的邊緣點(diǎn)。但如果選擇具有較高消失矩的小波函數(shù)16，可能會(huì)由于過多的極大模值而引起邊緣點(diǎn)的混淆，所以小波函數(shù)消失矩的階數(shù)與所檢測圖像分形常數(shù)的大小有關(guān)。當(dāng)待檢測圖像分形常數(shù)的大小為k時(shí)，則采用的小波函數(shù)應(yīng)至少具有k階消失矩。因此選擇小波函數(shù)的原則就是根據(jù)實(shí)際圖像的分形常數(shù)的大小，選擇合適的小波消失矩。在滿足能夠檢測到最大分形常數(shù)的前提下，選擇具有最少消失矩的小波函數(shù)。3.2 小波邊緣檢測原理小波多尺度邊緣檢測就是在不同的尺度上平滑濾波原信號(hào)17，再由磨光的信號(hào)的一階，二階導(dǎo)數(shù)檢測出原信號(hào)的劇變點(diǎn)。設(shè)(x)是磨光函數(shù)，它滿足條件非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告+(x)dx=1- (3

39、.1) lim(x)=0x+設(shè)(x)二階可導(dǎo)，定義：dx=(x)()dx (3.2) 2(x)=d(x)dx2結(jié)合(3.1)和(3.2)得到+(x)dx=0- (3.3) +(x)dx=0-可見，(x)和(x)都是小波。信號(hào)f(x)關(guān)于小波(x)和(x)在尺度s和位置x上的規(guī)范小波變化定義為：11+x-uWfx=f*x=fu()()()s dus-ss (3.4) W1f(x)=f*(x)=1+f(u)x-uduss -ssxx=-() ss其中(x)=-xs ss是尺度參數(shù)，且s=2j,-j+。同樣的，對于低通平滑函數(shù)(x)也引入尺度參數(shù)s則有：s(x)= (3.5) ss1x非線性信號(hào)與圖

40、像處理大報(bào)告由連續(xù)小波變化的定義式可得：dsdWfx=f*sx=s()()(f*s)(x)s dxdx (3.6) 22Wfx=f*sdsx=s2df*x( ()s)()s()dxdx通過式(3.6)可以看出，f(x)關(guān)于小波(x)和(x)的規(guī)范小波變換，變成了光滑函數(shù)s的卷積關(guān)于x的一、二階導(dǎo)數(shù)乘以s和s2。這樣一來，Ws1f(x)的局部極值對應(yīng)Wsf(x)的零交叉點(diǎn)和f*s(x)的拐點(diǎn)。零交叉或局部極值是類似的方法，但在綜合性能指標(biāo)上局部檢測優(yōu)于零交叉檢測。f*s(x)的拐點(diǎn)是一階導(dǎo)數(shù)絕對值的最大值或最小值，f*s(x)的一階導(dǎo)數(shù)最大值點(diǎn)是其劇變點(diǎn)而最小值對應(yīng)于緩變點(diǎn)。用二階導(dǎo)數(shù)來區(qū)分這兩

41、種類型的零交叉點(diǎn)是困難的，而用一階f(x)的局部最大求出劇變點(diǎn)及其sf(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)卻很容易通過檢測Ws值。當(dāng)尺度s很大時(shí)，信號(hào)與(x)的卷積消去了信號(hào)中較小的變化，所以僅能檢測出比較大的劇變點(diǎn)，這剛好就是對小波分解中低頻信號(hào)的檢測。因此，可以選擇不同大小的s值就得到不同尺度下的劇變點(diǎn)，這就是多尺度邊緣檢測，相當(dāng)于小波分解后對不同頻帶的信號(hào)進(jìn)行檢測。邊緣檢測推廣到二維，求局部最大變成了求梯度向量摸的極大值。設(shè)(x,y)是光滑函數(shù)，則定義：(x,y)1x,y=()x (3.7) 2(x,y)=(x,y)y可見函數(shù)1(x,y)和2(x,y)是二維小波。其中1(x,y)用于檢測圖像的垂直邊緣，2

42、(x,y)檢測圖像的水平邊緣。取s=2j，記：非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告12j(x,y)=2j(x,y)=211xy j,j22j22(3.8)12xy j,j2j222則f(x)L2(IR2)關(guān)于1(x,y)與2(x,y)的規(guī)范小波變換具有兩個(gè)分量：11Wfx,y=f*()(x,y)j22j(3.9) 22W2jf(x,y)=f*2j(x,y)表示成矩陣形式為：f*x,y()2j( Wf(x,y)jxj2=2=2(f*2j)(x,y) (3.10) (f*j(x,y)W2jf(x,y)2y12j其中表示梯度算子。以1(x,y)和2(x,y)為小波函數(shù)的小波變換相當(dāng)于在尺度s下對于平滑濾波圖像

43、f*2j(x,y)分別做梯度運(yùn)算。定義模為：M2jf(x,y)= (3.11)幅角為：A2jf(x,y)=arctanW21jf(x,y)W22jfx,y (3.12)小波的模M2jf(x,y)正比于梯度向量(f*2j)(x,y)的模，幅角A2jf(x,y)是梯度向量(f*2j)(x,y)與水平方向的夾角，為圖像邊緣的方向。因此，只要找到梯度方向上的模的極大值點(diǎn)，就得到了圖像的邊緣點(diǎn)。由于小波變換位于各個(gè)尺度上，每個(gè)尺度上的小波變換都提供了一定的邊緣信息，故稱之為多尺度邊緣。3.3 最佳邊緣小波基的選取非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告尺度給定時(shí)，小波變換相當(dāng)于對圖像進(jìn)行帶通濾波，在一定程度上排除了噪

44、音的影響，但同時(shí)也去掉了一些模糊邊緣，這就要求尋找一種具有好的去噪特性的小波函數(shù)，同時(shí)又能精確的提取邊緣，反映圖像灰度的變化。邊緣在圖像中表現(xiàn)為灰度值的突變，表現(xiàn)為高頻信號(hào)；而在實(shí)際圖像中占主導(dǎo)地位的一般是“直流”分量低頻信號(hào)。為了提高邊緣檢測質(zhì)量，有一下準(zhǔn)則：（1）作為圖像邊緣檢側(cè)濾波器，基于邊緣檢測的小波應(yīng)是高通（或帶通）濾波器，其對“直流分量的濾波響應(yīng)為零，對低頻分量的響應(yīng)受到抑制。當(dāng)邊緣信號(hào)為奇函數(shù)時(shí)，濾波器的脈沖響應(yīng)的偶函數(shù)分量僅起著降低邊緣檢測質(zhì)量的作用；同樣可以證明，當(dāng)邊緣信號(hào)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，濾波器的脈沖響應(yīng)的奇函數(shù)也僅起著降低邊緣檢測質(zhì)量的作用。（2）小波基函數(shù)應(yīng)與被檢測邊緣函

45、數(shù)的奇偶對稱性一致，檢測階躍邊緣的小波應(yīng)是奇函數(shù)。圖像邊緣點(diǎn)的灰度突變指的是局部范圍內(nèi)圖像灰度有較大的起落。每一個(gè)孤立的邊緣點(diǎn)對應(yīng)于圖像灰度變化函數(shù)的一次導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)和二次導(dǎo)數(shù)的過零點(diǎn)都是針對圖像局部范圍來說的，為了檢測圖像灰度的這種局部變化，有準(zhǔn)則（3）。（3）基于圖像邊緣檢測的小波函數(shù)應(yīng)是一個(gè)窗口函數(shù)，最好是緊支窗口函數(shù)。準(zhǔn)則（1）事實(shí)上就是一個(gè)函數(shù)稱為小波函數(shù)的必要條件，當(dāng)選擇小波函數(shù)作為圖像邊緣檢測濾波器時(shí)，這一點(diǎn)自然滿足。根據(jù)上述準(zhǔn)則，選擇的用于檢測階躍邊緣的小波基應(yīng)是一個(gè)緊支集的奇函數(shù)小波。3.4 邊緣檢測算子判定標(biāo)準(zhǔn)首先介紹兩個(gè)概念：信噪比(SNR)、邊緣定位精度(L)。信噪比S

46、NR=其中G(x)代表邊緣函數(shù)，h(x)代表帶寬為W的濾波器的脈沖響應(yīng)，代表非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告高斯噪聲的均方差。信噪比越大，提取邊緣質(zhì)量越高。邊緣定位精度L=其中G'(-x)和h'(x)代表G(-x)和h(x)。L越大，定位精度越高。要保證對單邊緣只有一個(gè)響應(yīng)，檢測算子的脈沖響應(yīng)導(dǎo)數(shù)的零交叉點(diǎn)平均距離Dzoa(f')應(yīng)滿足：Dzoa(f')=其中h''(x)為h(x)的二階導(dǎo)數(shù)。以上面的指標(biāo)和準(zhǔn)則為基礎(chǔ)，利用泛函求導(dǎo)的方法可導(dǎo)出一個(gè)由邊緣定位精度和信噪比乘積組成的表達(dá)式，這個(gè)表達(dá)式近似于高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。3.5 邊緣小波基濾波器系數(shù)的計(jì)

47、算利用二尺度方程、濾波器傳遞函數(shù)之間的關(guān)系和多分辨率分析理論，我們可以計(jì)算出邊緣檢測小波濾波器系數(shù)。為了計(jì)算的方便，我們以樣條小波濾波器系數(shù)計(jì)算為例。設(shè)m次樣條函數(shù)(x)的傅里葉變換是： sin 2()= 2所以 m+11，m為偶數(shù)-i (3.14) exp ,=20，m為奇數(shù)非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告H0()=COS2m+1-iexp (3.15)2在=0的領(lǐng)域內(nèi)選取H1()=(m)，同時(shí)構(gòu)造一個(gè)消失矩的小波。所得到的小波的傅里葉變換是：()=1 (3.16) 221+)它是在中心在x=(以得出二次樣條和。的m+1次樣條函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)m=2時(shí)，可，取H =H，所以有= 和小波 。再由為了

48、設(shè)計(jì)樣條對偶尺度函數(shù)00()H*()+H ()H*()=2可以推出 重構(gòu)條件H0010()=H12-H0()H1*-im=- sincos (3.17) 22j=022j表3.1 二次B樣條小波(m=2)相應(yīng)濾波器系數(shù)非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告當(dāng)m 2時(shí)有傳遞函數(shù)式(3.14)、式(3.15)、式(3.16)可以計(jì)算得到如表3.1所示的濾波器系數(shù)，這些濾波器生成小波函數(shù)和尺度函數(shù)。上述介紹了基于分形和小波變換運(yùn)用于圖像邊緣檢測的基本理論，結(jié)合分形和小波變換進(jìn)行圖像邊緣檢測有著良好的應(yīng)用價(jià)值。4. 分形和小波理論在圖像紋理分割中的應(yīng)用圖像特征提取是目前在國內(nèi)外研究領(lǐng)域非常的活躍，但是因?yàn)閳D像中復(fù)

49、雜的紋理信息，使得特征提取存在不小的難度。事實(shí)上，圖像的分形維數(shù)與人們所感覺的紋理粗糙度有很強(qiáng)的相關(guān)性。分形維數(shù)越大，對應(yīng)的圖像紋理越粗糙；反之，分形維數(shù)越小，對應(yīng)的圖像表面越光滑。因此，應(yīng)用分形維數(shù)進(jìn)行紋理圖像特征提取，是很大的研究意義。我們已經(jīng)知道，小波分析在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)，而且由于對高頻成分采用逐漸精細(xì)的時(shí)域或空間域取樣步長，從而可以聚焦到對象的任意細(xì)節(jié)。利用分形和小波相結(jié)合提取數(shù)字圖像特征，為問題的研究提供了新思路，為彌補(bǔ)單純應(yīng)用分形提取特征而產(chǎn)生的不足提供了新方法。4.1 結(jié)合小波提取圖像的分形特征小波分析采用局部對整體依賴性的系統(tǒng)論方法，而分形理論則通過研究局部

50、信號(hào)來確定信號(hào)的整體特性。隨著研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)小波分析和分形理論之間有著密切的聯(lián)系。某些函數(shù)當(dāng)基的取值參數(shù)不同時(shí)，即有可能成為小波基，也可能成為分形函數(shù)。小波變換在時(shí)域和頻域良好的局部化性質(zhì)和多分辨率分析的特點(diǎn)使它適合對圖像進(jìn)行多級分解，正如前面提到的，每級分解都可以獲得圖像同一信息在不同方向、不同尺度和不同分辨率下的基本特征和細(xì)節(jié)；分形能從大量多變的細(xì)節(jié)中抽象出目標(biāo)表面結(jié)構(gòu)的規(guī)則程度。前面已經(jīng)討論過小波與分形相結(jié)合在圖像處理領(lǐng)域表現(xiàn)出的一些優(yōu)勢。要想結(jié)合分形和小波來提取紋理特征，需要充分利用小波變換的多分辨率特性和圖像紋理符合分形模型的特點(diǎn)，可以使得對圖像紋理特征的描述更加豐富。由于紋理

51、圖像的主要能量集中在中、高頻，所以考慮先對圖像進(jìn)行一級小波非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告變換，獲取各個(gè)頻帶上的子圖像，在此基礎(chǔ)上提取各子圖像的分形維數(shù)，每一幅子圖像都將得到一個(gè)分形小波維數(shù)向量，由此構(gòu)成描述整幅圖像的特征向量。4.2 差分盒子小波維算法這里簡要介紹一下利用差分盒子小波維算法進(jìn)行紋理分割的方法。差分盒維數(shù)法將圖像表面視為三維空間，灰度值可視為三維空間中的z方向上的值，而x和y方向上的值表示圖像的灰度值所在的坐標(biāo)位置18。由于自相似性，可以用一定尺度的一疊盒子去覆蓋相應(yīng)區(qū)域，通過改變尺度來達(dá)到計(jì)算自相似性的目的。這里的一疊盒子的個(gè)數(shù)與灰度值有關(guān)。圖4.1顯示了該算法的流程圖。圖4.1差

52、分盒子小波維算法流程圖差分盒子小波維數(shù)方法對于紋理圖像，有良好的適用性。差分盒子小波維法非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告對于紋理圖像的每一個(gè)子圖像，得到的分形特征值具有很好的可區(qū)分度，差異性較大，有利于形成具有鮮明特征的特征向量，為后續(xù)的處理提供更可靠的依據(jù)。4.3 基于分形小波理論的紋理分割技術(shù)自然界中的大量形體和自然景物表面是錯(cuò)綜復(fù)雜和不規(guī)則的，以至于無法用簡單的結(jié)構(gòu)元素來描述。而大量的研究表明：自然界的物體（如云霧、青山、湍流、凹凸不平的地面、風(fēng)化而斑剝的巖石等等）大多具有比較強(qiáng)的分形特征，分形模型在一定的尺度范圍內(nèi)可以很好地與自然背景的表面和空間結(jié)構(gòu)相吻合。這就是選用分形參數(shù)作為區(qū)分自然景物

53、與人造景物的主要原因。同時(shí)，選用分形維數(shù)作為分割依據(jù)的優(yōu)勢還有以下兩點(diǎn)：（1） 分形維數(shù)是一種可以用實(shí)驗(yàn)手段定量估計(jì)的數(shù)值參數(shù)；（2） 圖像分形維數(shù)的大小與人眼對物體表面粗糙度大小的感受密切相關(guān)。 在現(xiàn)實(shí)世界里，許多視覺差別大的圖像卻具有相同的分形維數(shù)。分形小波維數(shù)既考慮了圖像高、中、低頻的特征，也結(jié)合了圖像的分形特點(diǎn)，對紋理的描述也更加細(xì)致。根據(jù)原圖像的分形維數(shù)進(jìn)行分類的問題被轉(zhuǎn)化為4維模式空間的分類問題，雖然維數(shù)的增加導(dǎo)致計(jì)算量的增加，但比一維模式空間的分類更加準(zhǔn)確可靠。具體的圖像分割方法步驟為：（1） 讀入原始圖像，選擇小波基對圖像進(jìn)行一次小波變換；（2） 選擇分形小波維數(shù)，對小波變換后

54、的圖像進(jìn)行分形維數(shù)的計(jì)算，得到LL、HL、LH、HH四個(gè)分形小波維數(shù)向量組；（3） 根據(jù)分割要求，從上述四個(gè)分形維數(shù)向量組中選擇一組作為分割依據(jù)，進(jìn)行分割處理。5. 小波分形理論在其他領(lǐng)域的應(yīng)用5.1 基于分形與小波理論對圖像ROI的自動(dòng)提取19在新一代靜態(tài)圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)JPEG2000中提出了感興趣區(qū)域(Region Of非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告Interest，ROI)編碼技術(shù)20。ROI編碼技術(shù)能夠確保在低碼率條件下，所關(guān)心的區(qū)域仍然具有較好的質(zhì)量，在滿足圖像應(yīng)用的同時(shí)，提高了整幅圖像的壓縮比。在ROI編碼之前，必須將ROI分割出來。在遠(yuǎn)程監(jiān)控等應(yīng)用場合，由于人工不便參與ROI提取，因此

55、，研究ROI的自動(dòng)檢測就十分必要。目前ROI自動(dòng)檢測的算法有：基于圖像分割的ROI自動(dòng)檢測2122，基于人眼視覺顯著性的ROI自動(dòng)檢測，其中GBVS算法23是比經(jīng)典的自底向上的ROI自動(dòng)檢測算法更優(yōu)秀的方法。在很多應(yīng)用場合，感興趣區(qū)域是人造目標(biāo)，需要將其從自然景物中提取出來。對于這類感興趣區(qū)域提取，由于復(fù)雜自然背景對目標(biāo)的干擾，基于圖像分割的ROI檢測方法不能有效提取ROI，而基于視覺特性的方法是從人眼特性出發(fā)，檢測所得ROI，并不一定是我們所需要的目標(biāo)。Pentland等眾多學(xué)者的研究表明：大部分自然景物表面所映射成的灰度圖像與人造目標(biāo)具有不同的分形特征，根據(jù)分形特征上的差異就可將兩者區(qū)分開

56、，同時(shí)分形特征大小與人眼視覺注意區(qū)域有一定的關(guān)系，分形為這類感興趣區(qū)域的提取開辟了新途徑。利用分形與小波理論對圖像ROI自動(dòng)提取的基本方法是：將原始圖像通過小波二級或者三級分解后得到低頻子帶圖像，該子圖像可以看作是原始圖像的近似。求取低頻子圖像的分形特征，便可以得到子圖像的ROI，然后根據(jù)原始圖像與子圖像的坐標(biāo)對應(yīng)關(guān)系，可以提取原圖像的ROI。這種算法能夠有效地提取ROI，并減少計(jì)算時(shí)間。5.2 基于小波變換的分形編碼數(shù)字水印算法數(shù)字水印(Digital Watermarking)技術(shù)是將一些標(biāo)識(shí)信息（即數(shù)字水?。┲苯忧度霐?shù)字載體當(dāng)中（包括多媒體、文檔、軟件等）或是間接表示（修改特定區(qū)域的結(jié)構(gòu)），且不影響原載體的使用價(jià)值，也不容易被探知和再次修改。但可以被生產(chǎn)方識(shí)別和辨認(rèn)。通過這些隱藏在載體中的信息，可以達(dá)到確認(rèn)內(nèi)容創(chuàng)建者、購買者、傳送隱秘信息