67二重積分的概念與性質(zhì)

1、1利用二重積分定義證明：?！咀C明】由二重積分定義，得，證畢。2利用二重積分的幾何意義說明：（為常數(shù)，為積分區(qū)域的面積）?！菊f明】二重積分的幾何意義，就是說，二重積分就是以為曲頂?shù)闹w體積，于是知，二重積分表示以平面為頂?shù)闹w體積，而以平面為頂?shù)闹w體積，等于其底面積乘上其高，但該柱體的底面積就是積分區(qū)域的面積，從而得，。3利用二重積分的性質(zhì)估計下列積分的值：，其中積分區(qū)域；【解】由于區(qū)域，可知區(qū)域的面積為，而由于，可得，從而有，由二重積分性質(zhì)6.7.5（估值不等式）即得亦即為 。，其中積分區(qū)域；【解】由于區(qū)域，可知區(qū)域的面積為，而由于，可得，從而，由二重積分性質(zhì)6.7.5（估值不等式）即得亦即

2、為 ，整理得。，其中積分區(qū)域?！窘狻坑捎趨^(qū)域，可知區(qū)域的面積為，下面求函數(shù)在條件下的最大、最小值，亦即橢圓拋物面在圓柱內(nèi)部的最大、最小值，易見，可知，當(dāng)時等號成立，又可知，橢圓拋物面與圓柱的交線，在橢圓簇的短軸上達(dá)到最高，亦即當(dāng)，時，函數(shù)取得最大值，最大值為，因此得，由二重積分性質(zhì)6.7.5（估值不等式）即得亦即為 ，整理得 。4利用二重積分的性質(zhì)比較下列積分的大?。号c，其中積分區(qū)域D由軸，軸與直線所圍成。【解】積分區(qū)域D如圖由圖可見，在區(qū)域D中，于是由于函數(shù)（）是減函數(shù)，而知以為底的指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，即由有，于是，由二重積分性質(zhì)6.7.4（不等式性）即得。與，其中。【解】積分區(qū)域D如圖由于在區(qū)域D中有，可得，于是，于是由于函數(shù)（）是增函數(shù)，可知以為底的指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，即由得，于是，由二重積分性質(zhì)6.7.4（不等式性）即得。5若，則積分區(qū)域D可以是（ ）。（A）由軸，軸與直線所圍成的區(qū)域；（B）由，及，所圍成的區(qū)域；（C）由，所圍成的區(qū)域；（D）由，所圍成的區(qū)域。【解】應(yīng)填“（C）”。因為，而下面各區(qū)域D的面積為：（A）由軸，軸與直線所圍成的區(qū)域如圖得；（B）由，及，所圍成的區(qū)域如圖得；（C）由