基本不等式經(jīng)典教案【強(qiáng)烈推薦】

1、7.4 基本不等式【考試會(huì)這樣考】1.利用基本不等式求最值、證明不等式；2.利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題.【復(fù)習(xí)備考要這樣做】1.注意基本不等式求最值的條件；2.在復(fù)習(xí)過(guò)程中注意轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) a+ b基本不等式Ob<:兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù).(a+b> 2犧)注意：(1)此結(jié)論運(yùn)用前提：一正、二定、三相等2.(2)連續(xù)使用基本不等式時(shí)，要使等號(hào)成立的條件相同。幾個(gè)重要的不等式(1)a2+b2>2ab(a, bC R).(2)a+a>2(a, b 同號(hào))(3)abw : a2 + b(4)a b 2,2 j (a,

2、 b C R).22<1 1 一十 U a ba b 2,2 (a, bC R).a2 + b223.利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x>0, y>0,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x乂時(shí)，x+y有最小值是 加.(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng) x=y時(shí),xy有最大值是 勺.(簡(jiǎn)記：和定積最大)題型一直接使用例1. (1)函數(shù)y=x+-(x> 0)的值域?yàn)?)x、A. (8, 2U 2, +8 ) B . (0, +oo)C. 2, +oo )D. (2,)解析：選C =x0,y = x+1>2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).x(2)

3、.已知 m>0, n>0,且mn=81,則m+ n的最小值為()A. 18B. 36C. 81D. 243解析：選A . m>0, n>0,m+ n>2jmn= 18.當(dāng)且僅當(dāng) m=n=9時(shí)，等號(hào)成立.一4(3) .已知x<0,則f(x) = 2 + x+ x的最大值為 解析：(3) ,x<0, .一 x>0,.f(x) = 2 + +x = 2- ：4x+(-xj. - - 4x+ (- x)>2=4,當(dāng)且僅當(dāng)一x=T4x,即x = 2時(shí)等號(hào)成立.f(x)=2 g+(x )l< 2 4= 2,f(x)的最大值為一2.2 5,練習(xí)1.

4、 (1)已知x>0, y>0, 1g x+1g y=1,則z=x+ y的取小值為 .解析：由已知條件1g x+lg y=1,可得xy= 10.y= 5時(shí)等號(hào)則2+y>2、曰=2,故|+yin = 2,當(dāng)且僅當(dāng)2y= 5x時(shí)取等號(hào)-又xy=10,即x=2, 成立.答案：2(2)已知x, y為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足 4x+3y=12,則xy的最大值為 .答案：3解析:12=4x+3y>2/4xX3y,xyw 3.當(dāng)且僅當(dāng)4x= 3y,I4x+3y= 12,x 3即-2, y=2時(shí)取=.題型二連續(xù)使用基本不等式例2、已知1og2a+1og2b>1,則3a+9b的最小值為 .由

5、10g2a + log2b 比 1 得 log 2(ab)> 1,即 ab>2,3a+9b= 3a+32b>2X 3a9b(當(dāng)且僅當(dāng) 3a= 32b,即 a= 2b 時(shí)取等號(hào)).又 a+ 2b>24b>4(當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取等號(hào)), .-.3a+9b>2X32=18.即當(dāng)a=2b時(shí),3a +9b有最小值18.1練習(xí)2.已知a >0,b >0則4a+b + -的最小值為()一 abA.2 B.2,2C.4D.5試題分析：4a+b 十一 之2x/4ab=4>/ab + J 之2>/4=4 jab. ab. ab題型三除法例3、當(dāng)x>

6、; 0時(shí)，則2x ,一 f(x) = x27的取大值為答案x0, f(x)-22=2-<2= 1,x2+11 2'x十一xX2練習(xí)3.求y =-4的最大值x 1題型四構(gòu)造和定例4、已知0vx<1 ,則x(3 3x)取得最大值時(shí)x的值為1 A31B.2C.4答案 B解析.x(3-3x)=3x(1-x)<3x+ 1 x 2_ 372 廣 4.,1一一一當(dāng)x=1 x,即x = 2時(shí)取等號(hào).練習(xí)4.求f (x) = Jx(1 2x)的最大值五 ,2答案 4題型五構(gòu)造同分母4例5、（1）、右x>1 ,則x+的最小值為x-1解析：x+= x-1 + 4-F 1>4+

7、1 = 5.x 1x1當(dāng)且僅當(dāng)x- 1=上，即x= 3時(shí)等號(hào)成立. 答案：5x 1（2）、若正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足1+1=1，則，+工的最J他 a ba -1 b -1答案 16一一.。11練習(xí)5.設(shè)a>b>0,則a +ob+aab7?取小值是（）A . 1 B.2 C.3 D.4答案D=a( a b)211211a + 而 + ab = a ab+ ab+ 石+b)Hr-H abH2、/afa b v： + 2a(a b)ab j a(ab),1abr = 2+2=4. ab一,1-.1 rr-當(dāng)且僅當(dāng) a（a- b）=廣且ab=,即 a= 2b時(shí),a（ab）ab題型六常數(shù)的代換等號(hào)成

8、立.1 2,例6已知a>°, b>°,且a+f 求a+b的取小化錯(cuò)因兩次基本不等式成立的條件不一致.實(shí)錄a>0, b>0,且 a+b=1,：ag 呼)=4.又a+Q2 *,而 ag 1,1 2- 1 2 一一 - a+b> 2y8= 442,故 a+b的取小值為 4y2.1.:4,ab正解. a>0, b>0,且 a+b=1,1212-+ - (a+ b) a b a ba+ b= 1,當(dāng)且僅當(dāng)lb 2ab 2a av=3+2.c b 2a、一=1+ 2+ >3 + 2 a b練習(xí)6. （1）、若正數(shù)24A.yx,答案,. x

9、>0, y>0,即a=啦-1, b=2啦,1 2 ,一一時(shí)，a+b的最小值為y滿(mǎn)足x+ 3y= 5xy,貝U 3x+ 4y的最小值是b.28C. 53+2 2.D. 6由 x+3y=5xy 得5 (+3 '=1. -3x+4y=5： (3x+4y) , + x j= 5!3+ 4+9+12y 工 13 . 3x , x 55 y13 , 1、/一十一 x55嚕=5（當(dāng)且僅當(dāng)x = 2y時(shí)取等號(hào)），3x+4y的最小值為5.（2）、已知 x>0, y>0, x+ 2y+2xy=8,A . 3題型七分離常數(shù)B. 4則x+2y的最小值是（）C9D.1122例7、函數(shù)y=

10、x2（x>i）的最小值是（）x 1D. 2A. 2V3+2B. 2m2 C. 2m解析：選 A x>1 ,，x1>0.,_ x2+ 2_ x22x+ 2x+2_ x22x+1 + 2(x1 什 3y x 1x 1x 1JX-12+2”1 產(chǎn)=x1+、2 x 1x 1>2 W1號(hào) -當(dāng)且僅當(dāng)x- 1= -卜2=2明+2.x 1,即x= 1 +5時(shí),、x2 +1 一練習(xí)7.求丫= x_L.的最小值.x2-1答案2.2A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題（一， 一一 q,一一1、已知x>0,函數(shù)y=x+ 一的取小值是（）xA . 2 B.4 C.6 D.8答案及解析：C2、當(dāng)xC

11、R時(shí)，x+3的取值范圍是（）XA .（8, 4 B. （-oo5 - 4） U （4, +8） C.4, +*）D. （-oo5 - 4 U 4 , +*）答案及解析：D3、在下列函數(shù)中，最小值是2的是（）A .尸94 （xw0）B.ylgx+- （1<X<1O）5 yigxC . y=3 +3 （xe R）D . y=sinx+：smx2答案及解析：.C4、若a, bC R,且ab>0,則下列不等式中，恒成立的是（）A . a2+b2> 2abB. a+b>2Vfib C. +tD D.a b y ab a b答案及解析：.D5、若b為實(shí)數(shù)，且a+b=2,則3a

12、+3b的最小值為（）A . 18B. 6 C . 2a D . 2M答案及解析：.B6、已知x>0, y>0,且2x+y=1,則xy的最大值是（）答案及解析：B一 （O +h） 27、函數(shù)y =（a b） （ab0）的最小值為 ab1A. 4 B.1 C . 4 D .6 2答案及解析：C18、函數(shù) y=x +5（x>1）的取小值為x -1A. 5B. 6C 7D.8答案及解析：.D4 39、已知正數(shù)x,y滿(mǎn)足一 + =1 ,則x+3y的最小值為x yA . 5 B . 12 C答案及解析：.D10、.若 x>0, y>0,且 x+3y=2,A. 2,11則一十

13、的取小值是（x 3yD 2 . 3答案及解析：A1 2 ，.11、設(shè)a >1 , b >0 ,若a +b =2 ,則十一的取小值為 a-1 bA. 4、2 B. 6 C. 3 2 2D. 2、. 2答案及解析：C12、已知f x ="士，其中x>0,則f x的最小值為x+1KA . 1B. 2V2 - 2C.D. 7c答案及解析：.B13、已知直線ax+by = 1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2）,則2a + 4b的最小值為（）A. .2 B. 2 2C.4 D.42答案及解析：.Bx2-1一 .14、函數(shù)y =.的最小值為（x2-2另講：函數(shù)x2 5V-2x 4的最小值為（A.

14、5 B. 2-2C.1D.2答案及解析：D.（不能用均值不等式）A215、函數(shù)y= x *2x*2 （x> 1）的圖象最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（A . (1,2) B.(1,-2) C . (1,1) D. (0,2)答案D【解析】y =2x 111 八上=x+1+ >2,16、設(shè)a>0, b>0,且不等式A. 01 1 k -+ -Ha b a+ bB. 4>0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值等于（）C. 一 4D. - 2解析：選C,11由一+1+, a b a+ bR0得2噓士而曰=a+b+2"（a=b時(shí)取等號(hào)）,所以一號(hào)4<-4,因此要使k" 子值

15、成立，應(yīng)有k"4,即實(shí)數(shù)k的最小值等于4.二、填空題1.若 x>0, y>0,且x+ y=18,則xy的最大值是所以xy<81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時(shí)，xy取到最大值81.答案 81解析 由于x>0, y>0,則x+ y> 2/xy,2 t 一 4t+ 12,已知t>0,則函數(shù) y =1的最小值為 .2 ，,1t 4t+11一， 一答案 2 解析 ,t>0, .-.y=t=t + 1t4>24 = 2,且在 t= 1 時(shí)取等號(hào).3、函數(shù)y=x+在（1，+°°）上取得最小值時(shí) x的取值為（Z - 1答案：24.函數(shù)

16、y =mm2 1的值域?yàn)闉?1答案：（0,- 25、若正數(shù)x, y滿(mǎn)足x+3y=xy ,則3x+4y的最小值為答案：.256、已知函數(shù)f（x）=x+ x_（p為常數(shù)，且p>0）若f（x）在（1 , +8）上的最小值為4,則實(shí)數(shù)p的值為答案：9 解析：由題意得x 1>0, f（x） = x-1+p+ 1 >2p+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=缶+1時(shí)取等號(hào)，因 4x 1為f（x）在（1, +川上的最小值為4,所以2標(biāo)+1=4,解得p= 9.2 卜27、已知b>a>0,ab=2 ,則a的取值范圍為 a -b1 .設(shè)0<a<b,則下列不等式中正確的是a + b a + b

17、A. a<b<Vab<-2-B. a<Vab<-2-<b()fa + bfa + bC. a< . ab<b<-2-D. . ab<a<-2<b答案 B解析_. a+ b_ _一- 0<a<b， - a< 2 <b, A、C 錯(cuò)誤；,ab a= aa(bb Ja)>0, MP ,7ab>a, D 錯(cuò)誤，故選B.2、如果 0<a<b<1,c ,1ab 1 .1. . 1,、P=log2 2，Q = 2(log2a+ 10g2b),11M=-1og2(a+ b),那么P,

18、Q, M的大小順序是A. P>Q>M()B. Q>P>MC. Q>M>PD. M>Q>P. .一一 .一1a+ b 111答案 B 斛析 因?yàn)?P= log2 2 5 Q = 2(1og2a+1og2b),M = 11og1（a+b）,所以只需比較 a-b, Tab,，a+ b的大小，顯然 g_b>yb.又因?yàn)閍bvjaTb（因?yàn)閍 +fa + b 1 , a、0 a + bj a + b tb 4 J，也就走 一<1）,所以Ma+b>2>4元,而對(duì)數(shù)函數(shù)當(dāng)?shù)讛?shù)大于0且小于1時(shí)為減函數(shù)，故Q>P>M.3、函數(shù)y

19、=1oga（x+3）1 （a>0,且aw1）的圖像恒過(guò)定點(diǎn) A,若點(diǎn)A在直線 mx+ ny+1 = 0上，其中 m, n 均大于0,則1+2的最小值為（）m nA. 2B. 4C. 8D. 16答案 C解析點(diǎn)A（ 2, 1）,所以2m+n=1.所以工+2= （2m + n） + 24+ n+ 4m-> 8,當(dāng)且僅當(dāng)n=2m,即m = 1, n=1時(shí)等號(hào)成立.mnmn m n421 1 ,4、設(shè)x,y R, a>1, b>1，右 a =by=3,a+ b=2寸3,則y的取大值為（）31A. 2B.2C. 1D.2x . y11.答案 C 斛析 由 a=b'=3,得

20、：x= loga3 y=logb3,由 a>1 , b>1 知 x>0, y>0, 一+- = log3a+log3b = x ylogaab< log3晨上j= 1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=#時(shí)"="成立，則；+ ；的最大值為1.5、已知正數(shù)x, y滿(mǎn)足x+ 2f2xy< ?（x+ y）恒成立，則實(shí)數(shù)入的最小值為（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：選 B 依題意得 x+22xy<x + （x+ 2y）=2（x+y）, 即七警y忘2（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)），即x + 2必y的最大值是2；又 后x+2V2xy因此有 歸2,即入的最小

21、值是2.x+yx+y6、圓x2+y2+2x4y+1 = 0關(guān)于直線2ax-by+2=0 （a, bCR）對(duì)稱(chēng)，則ab的取值范圍是（）A.一巴 41b.0,1c.（ 11, °）D. J：）答案 A解析 由題可知直線 2axby+2=0過(guò)圓心（1,2）,故可得a+b=1,又因ab<，-b尸；（a=b 時(shí)取等號(hào)）.故ab的取值范圍是8, .14,7、已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿(mǎn)足：a7=a6+2a5,右存在兩項(xiàng)am, an使得斤=4al,則m+酒取小值為()3a.25B.3D.不存在q2-q-2= 0,解得 q=2.皿1 4 1故-卜一 =-(m+ n)m n 6')瞿:+沁當(dāng)且

22、僅當(dāng)4mm時(shí)等號(hào)成立.解析：選A 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q,由a7=a6+2a5,得 由歷;=4ai,即 2m+ 92 =4,得 2m+n 2=24,即 m+n=6.8、已知 x> 1, y> 1,且(x+1) (y+1) =4,貝U x+y 的最小值是()A. 4B. 3C. 2D. 1答案及解析：.C 二、填空題.111,1、函數(shù)y=a (a>0,且aw 1)的圖象恒過(guò)te點(diǎn) A,右點(diǎn)A在直線 mx+ ny- 1 = 0(mn>0)±,則后+ n的取小 值為.解析：因y=ax恒過(guò)點(diǎn)(0,1),則A(1,1),又A在直線上，所以 m+n=1(mn>

23、0).1 , 1 m+ n 1故一+ -=m n mn mn1，1一一 ,答案：4m + n、= 4,當(dāng)且僅當(dāng) m=n = 5時(shí)取等 2、已知直線x+2y=2分別與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn) P(a, b)在線段AB上，則ab的最大值 是.1答案：2 解析：.(2,0), B(0,1),0<b<1,由 a + 2b=2,得 a=2 2b,ab=(2-2b)b=2(1 -b) b<2 2b，=2.12.一 .一 11.當(dāng)且僅當(dāng)1 b=b,即b=2時(shí)等3成立，此時(shí) a=1,因此當(dāng)b = , a=1時(shí)，(ab)max3、2已知 a>b>0,貝U a2+16b(a

24、 b)的最小值是答案 16,. a>b>0, .,.b(a-b)<4,當(dāng)且僅當(dāng)a= 2b時(shí)等號(hào)成立.b a ba.a2+>a2+=a2+64>a2 64 = 16,當(dāng)且僅當(dāng)a= 2近時(shí)等號(hào)成立. a當(dāng) a=242, b=42時(shí),a2+譚萬(wàn)心得最小值佃4、若正實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足2x+y+ 6=xy,則xy的最小值是 .答案 18解析 由x>0, y>0,2x + y+ 6 = xy,得xy>24而+ 6(當(dāng)且僅當(dāng)2x= y時(shí)，取“ = ”), 即(M)2 2*向6>0,(Vxy- 3V2) (而+ *)>0.又Wy。，.yxy>3，

25、2,即 xy> 18. .xy 的最小值為 18.25、設(shè)x, y, z為正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足 x2y+3z= 0,則 上的最小值是 .xz一一. x* 3z答案：3 解析：由已知條件可得y=-22 x2+ 9z + 6xz所以xz= F9z x"+ 6x=4伊介64 23,當(dāng)且僅當(dāng)x=y= 3z時(shí)，y取得最小值3.6、已知x,xzyC R,且?足 x2+2xy+4y2=6，貝U z=x2+4y2 的取值范圍是故答窠為% 12,7、已知a, b為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b2-4=ab,則ab的取值范圍是答案：（0,4而加貨,二;"1 上網(wǎng)工,4/年之”.2當(dāng)且忸當(dāng)工=2響取等號(hào)一1/ （#+加）'