必修二立體幾何復(fù)習(xí)+經(jīng)典例題

1、、判定兩線平行的方法1、平行于同一直線的兩條直線互相平行2、垂直于同一平面的兩條直線互相平行3、如果一條直線和一個(gè)平面平行 ，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行4、如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行5、在同一平面內(nèi)的兩條直線 ，可依據(jù)平面幾何的定理證明二、判定線面平行的方法1、據(jù)定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)2、如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個(gè)平面平行3、兩面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面4、平面外的兩條平行直線中的一條平行于平面，則另一條也平行于該平面5、平面外的一條直線和兩個(gè)平行平面中的一

2、個(gè)平面平行，則也平行于另一個(gè)平面三、判定面面平行的方法1、定義：沒(méi)有公共點(diǎn)2、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，則兩面平行3 垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行4、平行于同一平面的兩個(gè)平面平行四、面面平行的性質(zhì)1、兩平行平面沒(méi)有公共點(diǎn)2、兩平面平行，則一個(gè)平面上的任一直線平行于另一平面3、兩平行平面被第三個(gè)平面所截，則兩交線平行4、垂直于兩平行平面中一個(gè)平面的直線，必垂直于另一個(gè)平面五、判定線面垂直的方法1、定義：如果一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則線面垂直2、如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交線垂直，則線面垂直3、如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于該平面

3、4、 一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面5、如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面6、如果兩個(gè)相交平面都垂直于另一個(gè)平面，那么它們的交線垂直于另一個(gè)平面六、判定兩線垂直的方法1、定義:成90 口角2、直線和平面垂直，則該線與平面內(nèi)任一直線垂直3、在平面內(nèi)的一條直線 ，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直4、在平面內(nèi)的一條直線 ，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直5、 一條直線如果和兩條平行直線中的一條垂直，它也和另一條垂直七、判定面面垂直的方法1、定義：兩面成直二面角則兩面垂直2、 一個(gè)平面經(jīng)

4、過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這個(gè)平面垂直于另一平面八、面面垂直的性質(zhì)1、二面角的平面角為 90°2、在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面3、相交平面同垂直于第三個(gè)平面，則交線垂直于第三個(gè)平面0二 900 ,90 1:0 << 900 ,90 1:0：二 900 ,90 1;取值范圍是：0隈曰180立（0口,180刃九、各種角的范圍1、異面直線所成的角的取值范圍是2、直線與平面所成的角的取值范圍是3、斜線與平面所成的角的取值范圍是4、二面角的大小用它的平面角來(lái)度量十、三角形的心1、 內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)2、 外心：外接圓的圓心，垂直平分線的交點(diǎn)3、 重

5、心：中線的交點(diǎn)4、 垂心：高的交點(diǎn)咧題分析】例2 在四麴隹P ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M, N分別是AB, PC的中點(diǎn)，求證：MN /平面PAD.吩析】要證明 線面平行”，可通過(guò) 線線平行”或 面面平行”進(jìn)行轉(zhuǎn)化；題目中出現(xiàn)了中點(diǎn)的條件，因此可考慮構(gòu)造（添加）中位線輔助證明.證明：方法一，取PD中點(diǎn)E,連接AE, NE.底面ABCD是平行四邊形，M, N分別是AB, PC的中點(diǎn)，一一 一 1 、. MA/CD, MA=CD.2.E是PD的中點(diǎn),1”. NE/CD, NE CD.2. MA /NE,且 MA = NE,. AENM是平行四邊形，. MN /AE.又AEu平面PAD,

6、 MN d平面PAD,. MN /平面 PAD.方法二取CD中點(diǎn)F,連接MF, NF.MF/AD, NF /PD,平面MNF /平面PAD,. MN /平面 PAD.呼述】關(guān)于直線和平面平行的問(wèn)題 ，可歸納如下方法：證明線線平行：alc, b Hc,a" a, a= Ba / 3a -L a, b -L aad B= bn a= a,n 3= b=a/bna/b=a /b=a /b(2)證明線面平行a n a=/a /ba/ 3b 'a二 aau 3na / a二 a / a二 a / a(3)證明面面平行aCl 3= 0all 3, b / 3a± a, a

7、77; 3a /, 3 /a, b匚 a, anb = A=a/ 3na / 3=a / 3na / B例 3 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AAi = AC, AB±AC,求證：ACBC1 .吩析】要證明 線線垂直”，可通過(guò) 線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明 AiC垂直于經(jīng)過(guò)BCi的平面即可.證明：連接ACi.ABC- A1B1C1是直三棱柱，. AAd平面 ABC,. ABXAAi.又 AB± AC,. AB,平面 AiACCi,. AiC±AB.又 AAi = AC,.側(cè)面AiACCi是正方形，. AidACi.由，得AC平面ABCi,. AiC&#

8、177; BCi,呼述】空間中直線和平面垂直關(guān)系的論證往往是以線面垂直”為核心展開(kāi)的.如本題已知條件中出現(xiàn)的 直三棱柱”及ABAC”都要將其向 線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例4 在三麴隹P ABC中，平面PAB，平面ABC, AB± BC, APL PB,求證：平面 PAC，平面 PBC.吩析】要證明 面面垂直”，可通過(guò)線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而線面垂直”又可以通過(guò)線線垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.證明：,平面PAB，平面ABC,平面PABA平面ABC=AB,且AB± BC,.BC，平面 PAB, . APXBC.又 AP± PB,AP，平面 PBC,又AP二平面PAC,平面PACL平面P

9、BC.呼述】關(guān)于直線和平面垂直的問(wèn)題，可歸納如下方法(1)證明線線垂直a± c, b /c,a± ab匚a=a±b二a±b(1)證明線面垂直a±m, a±na"b, b± aall 3, a± 3a_L B, aCl B= lm, nU& m A n= Aac & a±l=a_L an a_L a=a_L an a _L a(1)證明面面垂直ZAiAB=60° ,E, F分別是 ABi, BC 的中點(diǎn).(I )求證：直線EF/平面AiACG；(n)在線段AB上確定一點(diǎn)

10、G,使平面EFGL平面ABC,并給出證明證明：(I)連接AiC, AiE.,側(cè)面AiABBi是菱形，E是ABi的中點(diǎn)，E也是AiB的中點(diǎn)，又F是BC的中點(diǎn)，EF/AiC.AiC二平面 AiACG, EF0平面 A1ACC1,.直線 EF/平面 AiACCi.BG 1 .(2)解：當(dāng) =一時(shí)，平面EFG，平面ABC,證明如下：GA 3連接EG, FG.側(cè)面A1ABB1是菱形，且ZAiAB= 60° ,，AiAB是等邊三角形.E 是 AiB 的中點(diǎn)，BG = - , . EG±AB.GA 3平面AiABBi，平面ABC,且平面 AiABB-n平面ABC= AB,EG,平面 AB

11、C.又EGU平面EFG,，平面EFGL平面ABC.例6 如圖，正三棱柱 ABCAiBiG中，E是AC的中點(diǎn).(I )求證：平面BEG ±平面ACCiAi; ( n )求證：ABi /平面BEG .吩析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對(duì)空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì) ，適當(dāng)添加輔助線幫助思考.證明：(IABCAiBiCi是正三棱柱，AA平面ABC,BEX AAi.ABC是正三角形，E是AC的中點(diǎn)，.BEX AC,.BEX平面ACC1A1,又BE二平面BEG,平面BEG，平面ACGAi.(n)證明：連接 BiC,設(shè) BCiABiC=D.BCCBi

12、 是矩形，D 是 BiC 的中點(diǎn)，/.DE/ABi，又DE二平面BEC, ABi值平面BEG, ABi /平面 BECi.例7 在四錐 P ABCD中，平面PAD，平面ABCD, AB/ DC, PAD是等邊三角 形，已知 BD=2AD = 8, AB =2DC =4j5.(I )設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD,平面PAD；(n)求四棱錐PABCD的體積.吩析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從 算”的角度入手分析，如從M是PC上的動(dòng)點(diǎn) 分析知，MB, MD隨點(diǎn)M的變動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此可考慮平面 MBD內(nèi)不動(dòng)”的直線BD是否 垂直平面 PAD.證明：(I )在4ABD中，由于 AD = 4, B

13、D=8, AB=4，g,所以 AD2+BD2=AB2.故 ADBD.word可編輯.又平面PAD，平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD, BDu平面ABCD,所以BD，平面PAD,又BD二平面MBD,故平面 MBD，平面PAD.(n)解：過(guò)P作PO±AD交AD于O,由于平面PAD，平面ABCD,所以PO,平面ABCD.因此PO為四棱錐P-ABCD的高，3又4PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.因此PO=yx4 = 2J3.在底面四邊形 ABCD中，AB/DC, AB=2DC,所以四邊形ABCD是梯形，在RtAADB中，斜邊AB邊上的高為4m = "，即為4.55梯形ABC

14、D的高，所以四邊形ABCD的面積為S = 2M ：-尺鱉 =24.故 25VP3BCD =1 24 2 3 =16.3.II_/ J _/9.如圖4,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形 ABC中，D,E分別是AB, AC邊上的點(diǎn)，AD = AE ,F是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將 MBF沿AF折起，得到如圖5所示的三棱錐(1)證明：DE 平面BCF ;(2)證明：CF,平面ABF ；2 . 當(dāng)AD =一時(shí)，求三棱錐F -DEG的體積Vf_deg .C3word可編輯.圖49.答案】(1)在等邊三角形 ABC中，AD = AEAD AE DB -EC，在折疊后的三棱錐A - BCF中也成立，DE/BC

15、 ； DE值平面BCF,BCu平面 BCF，二 DE/平面 BCF ;-1BF =CF =(2)在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，所以AF,BC，2.2BC =222在三棱錐 A BCF 中，2 ,二 BC2 =BF2+CF2, CF _L BF :BFCCF =Fj. CF _L平面ABF .;(3)由可知GE/CF，結(jié)合可得GE,平面DFG .- VF -DEG =VE-DFG1 11DG FG GF "一3 231 _ 33 324word可編輯.4.如圖，四棱錐PABCD中，ABCD為矩形， PAD為等腰直角三角形，/APD=90。，面PADXW ABCD,且 AB=1

16、, AD=2 , E、F 分別為 PC 和 BD 的中點(diǎn).(1)證明：EF/面 PAD;(2)證明：面 PDCXW PAD;(3)求四棱錐P-ABCD的體積.4.如圖，連接AC,ABCD為矩形且F是BD的中點(diǎn)，AC必經(jīng)過(guò)F 又E是PC的中點(diǎn)， 所以，EF/AP.EF在面PAD夕卜，PA在面內(nèi)，EF/面PAD(2) .面 PAD，面 ABCD, CDXAD ,面 PAD 門 面 ABCD=AD ,，CD，面 PAD,又 AP 二面 PAD, .-.APXCD又,APPD, PD和CD是相交直線，AP±W PCD又 ADU 面 PAD,所以，面 PDCXW PAD(3)取AD中點(diǎn)為O,連接PO,因?yàn)槊鍼AD，面ABCD及 PAD為等腰直角三角形，所以POL面ABCD,即PO為四棱錐 P-ABCD的高i一 2AC=BC= 1AAi ， D 是棱 2. AD=2 , .-.PO=I ,所以四棱錐 P-ABCD 的體積 V = PO AB AD =一1.如圖，三棱柱 ABC AiBiCi中，側(cè)棱垂直底面，/ACB=90 ,AAi的中點(diǎn) (I )證明：平面BDCi，平面BDC(n)平面BDCi分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.i.郵析】(I )由題設(shè)知BC ± CCi ,BC