112余弦定理導(dǎo)學(xué)案

1、 K 余弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握余弦定理的兩種表示形式；2. 證明余弦定理的向量方法；3. 運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題二、學(xué)習(xí)過程三、課前準(zhǔn)備、閱讀教材在 P5- P7頁，完成以下問題：?正弦定理：aa=ab=ac=27?的常見變形：(I) sinA : sin B : sin C=；_abcq+.+ c AsinA -sinB -sin C sin A+sin B+sinC(3) 。=, b=, c=；(4) sin A=, sin B= sin C=.?三角形面積公式：S=預(yù)習(xí)課本完成以下公式涉=b例 2.例 2.在 ZXABC 中，BC = a , AC ,且 a, b 是方

2、程 x - 2 A/3X + 2 - 0 的兩根，2cos(A + 3)= I =c2 = cosA= cosB=cosC=,C=30 ° ,解此三角形復(fù)習(xí)2 :在厶ABC中，巳知c = 10 , A=45思考：已知兩邊及夾角，如何解此三角形呢？四、新課導(dǎo)學(xué)如圖 1. 1-4, 在 zABC 中，設(shè) BC=a, AC=b, AB=c, 已知a, b和ZC,求邊c(圖1. 1-4)探索研究聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題?用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長冋題，從而可以考慮用冋量來研究這個冋題。A如圖1.5,設(shè) CBa,CA b, AB

3、 c ,那么c = a人，貝I / c|c| -c c - (Aa -bA(a -=a,a + b b2a bC a B=+ 時-2a ? b從而c':=a' + b'-2ab cos C(圖1.1-5)同理可證2 a=bz +c" - 2bccosA1 2 2b =a +c-2accosB即一角？余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。 思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求岀第四個量，能否由三邊求岀(由學(xué)生推岀)從余弦定理，又可得到以下推論：cosA=cosB= cos C =例

4、1.在厶ABC中，已知 0=2人，c= 必+"5, 3=60 ° ,求 b 及A(1) 求角 C 的度數(shù)；(2) 求 AB 的長；(3) 求 ZABC 的面積理解定理(1) 若 C= 90°,則 cos C =, 這時 c2 = a2 + b 2 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例 .(2) 余弦定理及其推論的基本作用為： 已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊； 巳知三角形的三條邊就可以求出其它角 .試試：(1) ABC 中，a = 3$, c = 2 , B = 150 ,求力.(2) ABC 中，。=2, b = A/2 ,

5、 c = V3 +1,求 A.淤典型例題例1.在 A8C中，已知 a =, b = A/2,B = 45 ,求 A, C 和 c .變式：在 ABC 中，若AB= -J5 , AC=5,且 cosC=，則 BC=.10例2.在厶ABC中，已知三邊長。=3, 0 = 4, c = A/37 ,求三角形的最大內(nèi)角變式：在人ABC中，若a2 =b2 + c 2 + be ,求角A.三、總結(jié)提升淤學(xué)習(xí)小結(jié)1. 余弦定理是任何三角形中邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例2. 余弦定理的應(yīng)用范圍： 已知三邊，求三角； 已知兩邊及它們的夾角，求第三邊 .淤知識拓展在左ABC中，若 a2+b2=c

6、2f 則角 C 是直角；若 a2+b2<c2, 則角 C 是鈍角；若 a2+b2>c2f 則角。是銳角 .淤當(dāng)堂檢測1. 根據(jù)下列條件，求解 .已知 a=3, b=4, c 二 07 , 求已知 a=l, b=l, 0120 °,求 c ；已知 a:b:c= 1:2, 求 A, B,C；已知 a 二 2 右， c 二 2, 030 °, 求 b；2.(l)b在AABC中，解三角形3, c=3, A=60 °；(2)a=20, b=29, c=21 ；3,A. #已知日=也,c=2, B=150DE°, 則邊方的長為 (: ).4.已知三角形的

7、三邊長分別為3、5、7,則最大角為().A. 60 B. 75 C. 120 D. 1505.已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x,則x的取值范圍是( ).A. A/5B. <X<5 C. 2< XvA/5D. A5 <x<56.在 AABC中，| AB |=3,| AC|=2, AB與AC的夾角為60°,貝 ij| AB -AC=.7.在ZkABC中，己知三邊、b、c 滿足 b1 + a 在 ZVIBC 中，A8=5, BC=7,AC=8,求 AB ? BC 的值. -c 1 =ab ,則ZC等于.8.在厶 abc 中，若 sin A: sin 8: sinC = (J5 1): (J5 + 1):求最大內(nèi)角9.在 aabc中,已知 Z?2 sin2 C + c2 sin2 B = 2Z?ccosBcos C,試判斷三角形的形狀10.己知方程x2 - (Z?cos A)x + a cos B = 0的兩根之積等于兩根之和，c的兩邊，a, B為兩內(nèi)角，試判斷這個三角形的形狀11.如圖所示的四邊形 ABCD中，已知 AD±CD, AD=10,AB=14, ZBDA=60 ，匕 BCD= 135 ,求 BC 的長.12.我艦在敵島