二項式定理典型例題

1、二項式定理典型例題典型例題一例1說明：本題通過抓特定項滿足的條件， 利用通項公式求出了 r的取值，得到了有理項.類 似地，(2 33)100的展開式中有多少項是有理項？可以通過抓通項中r的取值，得到共有17頁系數(shù)和為3n 典型例題四例4說明：問題(2)中將非二項式通過因式分解轉化為二項式解決.這時我們還可以通過 合并項轉化為二項式展開的問題來解決.典型例題五例5典型例題六例6說明：本題的兩個小題都是通過變換轉化成二項式系數(shù)之和，再用二項式系數(shù)的性質求解.此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個二項式的展開式，但這需要逆用二項式定理才能完成，所以需仔細觀察，我們可以看下面的例子：求29c10 -

2、28c9o - 27c8' 2Ci20 - 10的結果.仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與10(12)的展開式接近，但要注意：(12)10二 Codo 2 Co22C；029c10210=1 2 10 22C20 29C90 210C10-1 2(10 2C028 Cw 29C；0)從而可以得到：10 2Cf 28c90 29c10 =-(310 -1) 2典型例題七分析：64是8的平方，問題相當于證明 32n -8 n-9是82的倍數(shù)，為了使問題向二項 式定理貼近，變形 32n 2 -9n (8 1)n 1，將其展開后各項含有8k，與82的倍數(shù)聯(lián)系起來.解：/ 32n 2 -8n_9-9

3、n 1 -8n-9=(8 1)n 1 -8 n-9= 8n1 Cn 1 8n C； 82 - Cn 1 8 1- 8n9=8n 1 - Cn , 8n cn： 82 8(n 1) 1 _8n9=8n 1 C1 , 8n丄：82=(8卅十C；十8心+Cn；1) 64是64的倍數(shù).說明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來證明整除問題，而且可以用此方程求一些 復雜的指數(shù)式除以一個數(shù)的余數(shù).典型例題八展開2x分析1：用二項式定理展開式.解法1： i 2x= C；(2x)5 -X.02?丿T232C；(2x)2C；(2x)327分析解法2：2x 好5 7"5 “c2j80135 405243=

4、32x -120x471?x x48x7 32x102：對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開.321嚴。(4x3)5 C5(4x3)4(3) EE2C；(4x3)2(-3)3 CfSx3)4 C；(-3)5151296332x(1024x -3840x5760x -4320x1620x -2437)= 32x5 -120x2180135405243+4 o 7” 10x x 8x 32x說明：記準、記熟二項式（a，b）n的展開式，是解答好與二項式定理有關問題的前提條 件對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便.典型例題九例9若將（x y z）10展開為多項式，經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為（

5、）A 11B 33 C. 55 D 6610 10分析：（x y z）看作二項式（x y） z展開.解:我們把x y z看成（x y） z，按二項式展開，共有11 “項”，即10(x y Z)10 =(x y) z10C(x y)10上 zk .k=0這時，由于“和”中各項 z的指數(shù)各不相同，因此再將各個二項式（X- y）10“展開,不同的乘積G0(x y)10_k zk（k = 0,1，10 ）展開后，都不會出現(xiàn)同類項.F面，再分別考慮每一個乘積Gk)(x y)10* zk ( k =0,1,10)其中每一個乘積展開后的項數(shù)由（x y）10°決定，而且各項中x和y的指數(shù)都不相同，也

6、不會出現(xiàn)同類項. 故原式展開后的總項數(shù)為 11 10 9 T = 66 , 應選D 典型例題十例10x -2 的展開式的常數(shù)項為x-20,題中x = 0 ,當x 0時，把項式 x+丄2 j轉化< x丿2n;當X £0時，同理x+丄k x-2 =(-1)n Jx(1(1 f解：當x >0時x +- -2 I = JX嚴I，其通項為< X丿、Jx丿Ty =C；n(TX)2n(一去)=(“心爲山叼如,令 2n 一2r =0 ,得 n =r ,展開式的常數(shù)項為 (-1)© ；( 1<f 1 £當 x c0 時，x + 一2 丨=(1)n | VXI

7、 ,I X 丿Vv-x J同理可得，展開式的常數(shù)項為 (-化以無論哪一種情況，常數(shù)項均為 (_1)nC；n .令(-1)nc2n 工20，以 n =1,2,3，逐個代入，得 n =3 .典型例題十一(-1 ¥例11Jx +歹 的展開式的第3項小于第4項，則x的取值范圍是<<x /分析：首先運用通項公式寫出展開式的第3項和第4項，再根據(jù)題設列出不等式即可.解:使i 1 有意義，必須x 0 ；Ivx丿依題意，有 T3 ：，即 C10 O' x) I 3: C；0 ( 、X)710 9»：型2J（ x 0）.2 13 2 13 xo 解得0 ex C站648

8、.9x的取值范圍是應填：0 v x < 封648 .9典型例題十二例12已知(xlog2X - 1)n的展開式中有連續(xù)三項的系數(shù)之比為1： 2：3，這三項是第幾項？若展開式的倒數(shù)第二項為112，求x的值.解：設連續(xù)三項是第k、 k 1、 k 2項(k N且k 1),則有Cn 1：Cn ：Cn 1：2：3 ,即(k -1)(n -k 1)!k !(n -k)!n!= 1：2：3 .(k 1)(n -k -1)!(n -k)(n -k 1)k (n -k)=1：2：3.k(k - 1)(k 1)_2.(n-k) 3k(n -k) (n _k)(n _k +1) k(k 1)2k (n -k)

9、 - 3=n =14 , k=5所求連續(xù)三項為第5、6、7三項.又由已知，=112 .即 xlog2X =8 .兩邊取以2為底的對數(shù)，(log 2 x)2 =3, log2 x =3 ,二 x = 2 3，或 x = 2.說明：當題目中已知二項展開式的某些項或某幾項之間的關系時，常利用二項式通項, 根據(jù)已知條件列出某些等式或不等式進行求解.典型例題十三例13(12x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.分析：根據(jù)已知條件可求出 n,再根據(jù)n的奇偶性；確定二項式系數(shù)最大的項.解：T6 =c5(2x)5 , T7 二 C；(2x)6，依題意有C；25

10、二 C；26 二 n = 8 .- (1 2x)8的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為T5二C；(2x)4 =1120x4 .設第r 1項系數(shù)最大，則有c8 -2 >c8Ac8 -2r 心r 1 r = 5或 r =6 (v r 二 0,1,2 , , 8).系婁最大的項為：T6 =1792x5, T7 =1792x6 .說明：(1)求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大.(2)求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負 變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.典型例題十四例1

11、4設f(x) =(1 x)m (1 x)n(m,n N.),若其展開式中關于 x的一次項的系數(shù)2和為11,問m,n為何值時，含x項的系數(shù)取最小值？并求這個最小值.分析：根據(jù)已知條件得到x2的系數(shù)關于n的二次表達式，然后利用二次函數(shù)性質探討最小值問題.解:C： = n m =11.2 2 1 2 2Cm Cn(m -m n -n)2110 -2mn2沙2-11n55=(n)299 .24v n N ,2 n =5或6 , m=6或5時，x項系數(shù)最小，最小值為 25 .11 2 9911說明：二次函數(shù)y=(x )2的對稱軸方程為 x ，即x=5.5，由于5、6距24211 2995.5等距離，且對

12、n，N ., 5、6距5.5最近，所以(n )的最小值在n = 5或n=624處取得.典型例題十五例 15 若(3x T)7 二a7x7 a6x6 ex a0,求(1) a a?'a7； (2)a1a3a5a7； (3)玄a?兎.解：令x = 0,則a0 - -1 ,令x =1，則 a7 a ' -a1 a0 = 27 =128.二 a1 a2a7 =129.(2)令 Xu-1，貝y- a7a6- a5 a4- a3 a-a1a°=(- 4)由得：印 a3 a5 a7 =丄128_( 一4)7 =82562 2由2得:a° a?*4 a§1(a7

13、a6 - a5 a4 a3 a2 - a1 a0)2(- a? a6 -*4 - a3 a? - a1 a。)1128 ( Y)7 = -8128 .2說明：(1)本解法根據(jù)問題恒等式特點來用“特殊值”法.這是一種重要的方法，它適 用于恒等式.一般地，對于多項式g(x) =(px q)a0 - a1x a2x2 anxn, g(x)的各項的系數(shù)和為g(1):1g(x)的奇數(shù)項的系數(shù)和為 一g(1) g(-1).21g(x)的偶數(shù)項的系數(shù)和為g(1) -g(-1).2典型例題十六例16填空：(1) 230 3除以7的余數(shù)； (2) 5555 +15除以8的余數(shù)是分析(1):將230分解成含7的因

14、數(shù)，然后用二項式定理展開，不含7的項就是余數(shù).解: 230 -3 =(23)10 -3=(8)10 -3=(7 1)1° 一3心 71° - C；o79 C9O7 - Clo - 3=7 C°79 唧C；o2又余數(shù)不能為負數(shù)，需轉化為正數(shù)30二2-3除以7的余數(shù)為5應填：5分析(2):將5555寫成(56 -1)55，然后利用二項式定理展開.解：5555 - 15 =(56 _1)55 15二 C555655 C55565C5456 c5 15容易看出該式只有 -C5 *15 = 14不能被8整除，因此5555 15除以8的余數(shù)，即14除以8的余數(shù)，故余數(shù)為6 應

15、填：6 .典型例題十七例17求證：對于n ：= N .,1 + 丄+.n丿證明:11展開式的通項.n1 n(n -1)(n - 2) (n -r 1) r!rr112r -1(1 )(1 ) (1 ) r! n nn1+ i展開式的通項< n +1 丿1(n 1)rArr !(n 1)r1 1 2苛(1n)(1ni)(1r -1n 1由二項式展開式的通項明顯看出 Tr+ Tr+ ,f 1、 f 1 所以1 +丄丨 1 +丄|.門丿I n七丿說明：本題的兩個二項式中的兩項為正項，且有一項相同，證明時，根據(jù)題設特點，采 用比較通項大小的方法完成本題證明.典型例題十八25例18在(x 3x 2

16、)的展開式中x的系數(shù)為().A. 160 B. 240C. 360D. 800分析：本題考查二項式定理的通項公式的運用應想辦法將三項式轉化為二項式求解.解法 1：由(x2 3x 2)5 =(x2 3x) 25,得TkC：(x23x)5A 2k=Cs 2k (x23x)5再一次使用通項公式得，T十 c5 2k C 3rx10kJ ,這里0乞k乞5,0空r乞5 k .令 10 2k r =1,即卩 2k r =9 .所以r =1 , k =4，由此得到x的系數(shù)為C；24 3二240 .解法2：由(x2 3x 2)5二(x 1)5(x 2)5，知(x 1)5的展開式中x的系數(shù)為C；,常數(shù)項為1, (

17、x 2)5的展開式中x的系數(shù)為C； 24，常數(shù)項為25 .因此原式中x的系數(shù)為C54 25 - C4 2 240 .解法3：將(x2 3x 2)5看作5個三項式相乘，展開式中x的系數(shù)就是從其中一個三項式中取3x的系數(shù)3 ,從另外4個三項式中取常數(shù)項相乘所得的積，即C5 3 C： 24 =240 .應選B.典型例題十九-、一U £分析：利用二項式的通項公式.a只一例19 已知解：在的展開式中的展開式中,39x3的系數(shù)為一，常數(shù)a的值為4通項公式為= C；(1)ra9Uf 梟心.23 一根據(jù)題設，r -9 = 3，所以r =8 代入通項公式，得Tgax3.2169 g根據(jù)題意，一 a =

18、，所以a = 4 164應填：4 .典型例題二十例 20 (1)求證：1-3C： 32 C； -33 C；(-1)n3n =(-2)n423422(2)若(2x一3) =a0a1x a2x a3x a4x，求(a0a2 a4) -(a1a3)的值.分析：(1)注意觀察(1+x)n =1+cnx + C：x2+c：xn的系數(shù)、指數(shù)特征，即可通過 賦值法得到證明.注意到(a0- a2a4)(a1 a3)2=(a0 a1 a2a3a4)(ao -a1 a2 -a3 a4)，再用賦值法求之.解: (1)在公式(1+x)n =1+C：x+c2x2 + +c：xn 中令 x = 3，即有(13)n =1+

19、C：(3)1 +C；(3)2 + +C：(3)n=1 -3- 32 C； -(-1)n 3n等式得證.在展開式(2x 、,3)4 =玄 a1x a2x2 a3x3 a4x4 中，令 x =1，得 a0 印 a2 a3 a4 二(2x. 3)4 ；令 x - -1，得 a0 -aa2a3 a4 = (23)4.原式二(a0a1a2a3a4)(a-a1a2-a3a4)=(23)4 (-2.3)4 =1.說明：注意“賦值法”在證明或求值中的應用賦值法的模式是，在某二項展開式，如(abx)"=a0a1xa2x2亠 亠anxn 或(ab)n =C0ancnanbCfab2+C"bn中

20、，對任意的xe A( a,b A)該式恒成立，那么對 A中的特殊值，該工也 一定成立.特殊值x如何選取，沒有一成不變的規(guī)律，需視具體情況而定，其靈活性較強.一 般取x = 0,1, 一1較多一般地，多項式 f (x)的各項系數(shù)和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)和為11f (1) - f (-1),偶次項系數(shù)和為一f(1) f(-1) 二項式系數(shù)的性質22c0+C： +C；+c：=2n 及 C+C2+C：+=cn+c；+c；+=2 的證明就是 賦值法應用的范例.典型例題二一例21若N ，求證明：32n3-24n37能被64整除.分析：考慮先將32n 3拆成與8的倍數(shù)有關的和式，再用二項式定理展開.解：32

21、n 3 -24n 372n -2=3 3-24n 37=3 9n 1 -24n 37=3 (8 1)n 1 -24n 37=3 略尹+C= 8n+C：十 8n» +C；+ 8 + C：-24n+37-3 8n 1cn18n Cn 18nj- (n 1) 8 1 -24n 37=3 8n 1C18n C：18n C： 82 (8n 9) -24n37=3 828nJ +Cn+ 8n<8n：十+C：¥+3(8n+9)_24n+37=3 648n4 C；1 8n Cn 1 8n 64,- 8n4, Ch 8n , C'1 8心,均為自然數(shù)，上式各項均為64的整數(shù)倍.

22、原式能被64整除.說明：用二項式定理證明整除問題，大體上就是這一模式，先將某項湊成與除數(shù)有關的和式，再展開證之該類題也可用數(shù)學歸納法證明，但不如用二項式定理證明簡捷.典型例題二十二2例22已知(x3 3x2)n的展開式各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992 .(1) 求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2) 求展開式中系數(shù)最大的項.分析：先由條件列方程求出 n .(1)需考慮二項式系數(shù)的性質；(2)需列不等式確定r . 解：令x =1得展開式的各項系數(shù)之和為(1 3)n =22n，而展開式的二項式系數(shù)的和為c0 C Cc： =2n ,.有 22n _2n =992 . n = 5.(1) n = 5

23、 ,故展開式共有6，其中二項式系數(shù)最大的項為第三、第四兩項.2 T3 二 C；(x3)3 (3x2)2 =90x6 ,2 22T； =C；(x3)2 (3x2)3 =270x .設展開式中第r 1項的系數(shù)最大.210:：；4rTr 1 =C； (x3)5(3x2)r 二 c5 3r x ,<3r3rc5 3c5+ 3r*3二丄，即 <r 6-r，丄亠-5 -r r +179解得7豈r乞9 . r N ,22 r =4，即展開式中第5項的系數(shù)最大.2 26T5 =Cs (x3)1 (3x2)4 =405x3說明：展開式中二項式系數(shù)最大的項與系數(shù)最大的項是兩個不同的概念，因此其求法亦不同.前者用二項式系數(shù)的性質直接得出，后者要列不等式組； 解不等式組時可能會求出幾個r,這時還必須算出相應項的系數(shù)后再比較大小.典型例題二十三例23求證：Ccm+cCpr+c；cm = c短02244nnnlnl*(2) Cn 3 Cn 3 Cn 川詁3 Cn = 2 4 - 2 ( n=2K , n N)分析：(1)注意到兩列二項式兩乘后系數(shù)的特征，可構造一個函數(shù)；也可