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1、二項(xiàng)式定理典型例題典型例題一例1說(shuō)明:本題通過(guò)抓特定項(xiàng)滿足的條件, 利用通項(xiàng)公式求出了 r的取值,得到了有理項(xiàng).類 似地,(2 33)100的展開(kāi)式中有多少項(xiàng)是有理項(xiàng)?可以通過(guò)抓通項(xiàng)中r的取值,得到共有17頁(yè)系數(shù)和為3n 典型例題四例4說(shuō)明:?jiǎn)栴}(2)中將非二項(xiàng)式通過(guò)因式分解轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解決.這時(shí)我們還可以通過(guò) 合并項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開(kāi)的問(wèn)題來(lái)解決.典型例題五例5典型例題六例6說(shuō)明:本題的兩個(gè)小題都是通過(guò)變換轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)之和,再用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.此外,有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個(gè)二項(xiàng)式的展開(kāi)式,但這需要逆用二項(xiàng)式定理才能完成,所以需仔細(xì)觀察,我們可以看下面的例子:求29c10 -
2、28c9o - 27c8' 2Ci20 - 10的結(jié)果.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與10(12)的展開(kāi)式接近,但要注意:(12)10二 Codo 2 Co22C;029c10210=1 2 10 22C20 29C90 210C10-1 2(10 2C028 Cw 29C;0)從而可以得到:10 2Cf 28c90 29c10 =-(310 -1) 2典型例題七分析:64是8的平方,問(wèn)題相當(dāng)于證明 32n -8 n-9是82的倍數(shù),為了使問(wèn)題向二項(xiàng) 式定理貼近,變形 32n 2 -9n (8 1)n 1,將其展開(kāi)后各項(xiàng)含有8k,與82的倍數(shù)聯(lián)系起來(lái).解:/ 32n 2 -8n_9-9
3、n 1 -8n-9=(8 1)n 1 -8 n-9= 8n1 Cn 1 8n C; 82 - Cn 1 8 1- 8n9=8n 1 - Cn , 8n cn: 82 8(n 1) 1 _8n9=8n 1 C1 , 8n丄:82=(8卅十C;十8心+Cn;1) 64是64的倍數(shù).說(shuō)明:利用本題的方法和技巧不僅可以用來(lái)證明整除問(wèn)題,而且可以用此方程求一些 復(fù)雜的指數(shù)式除以一個(gè)數(shù)的余數(shù).典型例題八展開(kāi)2x分析1:用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式.解法1: i 2x= C;(2x)5 -X.02?丿T232C;(2x)2C;(2x)327分析解法2:2x 好5 7"5 “c2j80135 405243=
4、32x -120x471?x x48x7 32x102:對(duì)較繁雜的式子,先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開(kāi).321嚴(yán)。(4x3)5 C5(4x3)4(3) EE2C;(4x3)2(-3)3 CfSx3)4 C;(-3)5151296332x(1024x -3840x5760x -4320x1620x -2437)= 32x5 -120x2180135405243+4 o 7” 10x x 8x 32x說(shuō)明:記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式(a,b)n的展開(kāi)式,是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問(wèn)題的前提條 件對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式,有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開(kāi)會(huì)更簡(jiǎn)便.典型例題九例9若將(x y z)10展開(kāi)為多項(xiàng)式,經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為(
5、)A 11B 33 C. 55 D 6610 10分析:(x y z)看作二項(xiàng)式(x y) z展開(kāi).解:我們把x y z看成(x y) z,按二項(xiàng)式展開(kāi),共有11 “項(xiàng)”,即10(x y Z)10 =(x y) z10C(x y)10上 zk .k=0這時(shí),由于“和”中各項(xiàng) z的指數(shù)各不相同,因此再將各個(gè)二項(xiàng)式(X- y)10“展開(kāi),不同的乘積G0(x y)10_k zk(k = 0,1,10 )展開(kāi)后,都不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng).F面,再分別考慮每一個(gè)乘積Gk)(x y)10* zk ( k =0,1,10)其中每一個(gè)乘積展開(kāi)后的項(xiàng)數(shù)由(x y)10°決定,而且各項(xiàng)中x和y的指數(shù)都不相同,也
6、不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng). 故原式展開(kāi)后的總項(xiàng)數(shù)為 11 10 9 T = 66 , 應(yīng)選D 典型例題十例10x -2 的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為x-20,題中x = 0 ,當(dāng)x 0時(shí),把項(xiàng)式 x+丄2 j轉(zhuǎn)化< x丿2n;當(dāng)X £0時(shí),同理x+丄k x-2 =(-1)n Jx(1(1 f解:當(dāng)x >0時(shí)x +- -2 I = JX嚴(yán)I,其通項(xiàng)為< X丿、Jx丿Ty =C;n(TX)2n(一去)=(“心爲(wèi)山叼如,令 2n 一2r =0 ,得 n =r ,展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為 (-1)© ;( 1<f 1 £當(dāng) x c0 時(shí),x + 一2 丨=(1)n | VXI
7、 ,I X 丿Vv-x J同理可得,展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為 (-化以無(wú)論哪一種情況,常數(shù)項(xiàng)均為 (_1)nC;n .令(-1)nc2n 工20,以 n =1,2,3,逐個(gè)代入,得 n =3 .典型例題十一(-1 ¥例11Jx +歹 的展開(kāi)式的第3項(xiàng)小于第4項(xiàng),則x的取值范圍是<<x /分析:首先運(yùn)用通項(xiàng)公式寫出展開(kāi)式的第3項(xiàng)和第4項(xiàng),再根據(jù)題設(shè)列出不等式即可.解:使i 1 有意義,必須x 0 ;Ivx丿依題意,有 T3 :,即 C10 O' x) I 3: C;0 ( 、X)710 9»:型2J( x 0).2 13 2 13 xo 解得0 ex C站648
8、.9x的取值范圍是應(yīng)填:0 v x < 封648 .9典型例題十二例12已知(xlog2X - 1)n的展開(kāi)式中有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為1: 2:3,這三項(xiàng)是第幾項(xiàng)?若展開(kāi)式的倒數(shù)第二項(xiàng)為112,求x的值.解:設(shè)連續(xù)三項(xiàng)是第k、 k 1、 k 2項(xiàng)(k N且k 1),則有Cn 1:Cn :Cn 1:2:3 ,即(k -1)(n -k 1)!k !(n -k)!n!= 1:2:3 .(k 1)(n -k -1)!(n -k)(n -k 1)k (n -k)=1:2:3.k(k - 1)(k 1)_2.(n-k) 3k(n -k) (n _k)(n _k +1) k(k 1)2k (n -k)
9、 - 3=n =14 , k=5所求連續(xù)三項(xiàng)為第5、6、7三項(xiàng).又由已知,=112 .即 xlog2X =8 .兩邊取以2為底的對(duì)數(shù),(log 2 x)2 =3, log2 x =3 ,二 x = 2 3,或 x = 2.說(shuō)明:當(dāng)題目中已知二項(xiàng)展開(kāi)式的某些項(xiàng)或某幾項(xiàng)之間的關(guān)系時(shí),常利用二項(xiàng)式通項(xiàng), 根據(jù)已知條件列出某些等式或不等式進(jìn)行求解.典型例題十三例13(12x)n的展開(kāi)式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等,求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).分析:根據(jù)已知條件可求出 n,再根據(jù)n的奇偶性;確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解:T6 =c5(2x)5 , T7 二 C;(2x)6,依題意有C;25
10、二 C;26 二 n = 8 .- (1 2x)8的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5二C;(2x)4 =1120x4 .設(shè)第r 1項(xiàng)系數(shù)最大,則有c8 -2 >c8Ac8 -2r 心r 1 r = 5或 r =6 (v r 二 0,1,2 , , 8).系婁最大的項(xiàng)為:T6 =1792x5, T7 =1792x6 .說(shuō)明:(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的,需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù) 變化情況,一般采用列不等式,解不等式的方法求得.典型例題十四例1
11、4設(shè)f(x) =(1 x)m (1 x)n(m,n N.),若其展開(kāi)式中關(guān)于 x的一次項(xiàng)的系數(shù)2和為11,問(wèn)m,n為何值時(shí),含x項(xiàng)的系數(shù)取最小值?并求這個(gè)最小值.分析:根據(jù)已知條件得到x2的系數(shù)關(guān)于n的二次表達(dá)式,然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值問(wèn)題.解:C: = n m =11.2 2 1 2 2Cm Cn(m -m n -n)2110 -2mn2沙2-11n55=(n)299 .24v n N ,2 n =5或6 , m=6或5時(shí),x項(xiàng)系數(shù)最小,最小值為 25 .11 2 9911說(shuō)明:二次函數(shù)y=(x )2的對(duì)稱軸方程為 x ,即x=5.5,由于5、6距24211 2995.5等距離,且對(duì)
12、n,N ., 5、6距5.5最近,所以(n )的最小值在n = 5或n=624處取得.典型例題十五例 15 若(3x T)7 二a7x7 a6x6 ex a0,求(1) a a?'a7; (2)a1a3a5a7; (3)玄a?兎.解:令x = 0,則a0 - -1 ,令x =1,則 a7 a ' -a1 a0 = 27 =128.二 a1 a2a7 =129.(2)令 Xu-1,貝y- a7a6- a5 a4- a3 a-a1a°=(- 4)由得:印 a3 a5 a7 =丄128_( 一4)7 =82562 2由2得:a° a?*4 a§1(a7
13、a6 - a5 a4 a3 a2 - a1 a0)2(- a? a6 -*4 - a3 a? - a1 a。)1128 ( Y)7 = -8128 .2說(shuō)明:(1)本解法根據(jù)問(wèn)題恒等式特點(diǎn)來(lái)用“特殊值”法.這是一種重要的方法,它適 用于恒等式.一般地,對(duì)于多項(xiàng)式g(x) =(px q)a0 - a1x a2x2 anxn, g(x)的各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1):1g(x)的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為 一g(1) g(-1).21g(x)的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為g(1) -g(-1).2典型例題十六例16填空:(1) 230 3除以7的余數(shù); (2) 5555 +15除以8的余數(shù)是分析(1):將230分解成含7的因
14、數(shù),然后用二項(xiàng)式定理展開(kāi),不含7的項(xiàng)就是余數(shù).解: 230 -3 =(23)10 -3=(8)10 -3=(7 1)1° 一3心 71° - C;o79 C9O7 - Clo - 3=7 C°79 唧C;o2又余數(shù)不能為負(fù)數(shù),需轉(zhuǎn)化為正數(shù)30二2-3除以7的余數(shù)為5應(yīng)填:5分析(2):將5555寫成(56 -1)55,然后利用二項(xiàng)式定理展開(kāi).解:5555 - 15 =(56 _1)55 15二 C555655 C55565C5456 c5 15容易看出該式只有 -C5 *15 = 14不能被8整除,因此5555 15除以8的余數(shù),即14除以8的余數(shù),故余數(shù)為6 應(yīng)
15、填:6 .典型例題十七例17求證:對(duì)于n := N .,1 + 丄+.n丿證明:11展開(kāi)式的通項(xiàng).n1 n(n -1)(n - 2) (n -r 1) r!rr112r -1(1 )(1 ) (1 ) r! n nn1+ i展開(kāi)式的通項(xiàng)< n +1 丿1(n 1)rArr !(n 1)r1 1 2苛(1n)(1ni)(1r -1n 1由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)明顯看出 Tr+ Tr+ ,f 1、 f 1 所以1 +丄丨 1 +丄|.門丿I n七丿說(shuō)明:本題的兩個(gè)二項(xiàng)式中的兩項(xiàng)為正項(xiàng),且有一項(xiàng)相同,證明時(shí),根據(jù)題設(shè)特點(diǎn),采 用比較通項(xiàng)大小的方法完成本題證明.典型例題十八25例18在(x 3x 2
16、)的展開(kāi)式中x的系數(shù)為().A. 160 B. 240C. 360D. 800分析:本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的運(yùn)用應(yīng)想辦法將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式求解.解法 1:由(x2 3x 2)5 =(x2 3x) 25,得TkC:(x23x)5A 2k=Cs 2k (x23x)5再一次使用通項(xiàng)公式得,T十 c5 2k C 3rx10kJ ,這里0乞k乞5,0空r乞5 k .令 10 2k r =1,即卩 2k r =9 .所以r =1 , k =4,由此得到x的系數(shù)為C;24 3二240 .解法2:由(x2 3x 2)5二(x 1)5(x 2)5,知(x 1)5的展開(kāi)式中x的系數(shù)為C;,常數(shù)項(xiàng)為1, (
17、x 2)5的展開(kāi)式中x的系數(shù)為C; 24,常數(shù)項(xiàng)為25 .因此原式中x的系數(shù)為C54 25 - C4 2 240 .解法3:將(x2 3x 2)5看作5個(gè)三項(xiàng)式相乘,展開(kāi)式中x的系數(shù)就是從其中一個(gè)三項(xiàng)式中取3x的系數(shù)3 ,從另外4個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘所得的積,即C5 3 C: 24 =240 .應(yīng)選B.典型例題十九-、一U £分析:利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式.a只一例19 已知解:在的展開(kāi)式中的展開(kāi)式中,39x3的系數(shù)為一,常數(shù)a的值為4通項(xiàng)公式為= C;(1)ra9Uf 梟心.23 一根據(jù)題設(shè),r -9 = 3,所以r =8 代入通項(xiàng)公式,得Tgax3.2169 g根據(jù)題意,一 a =
18、,所以a = 4 164應(yīng)填:4 .典型例題二十例 20 (1)求證:1-3C: 32 C; -33 C;(-1)n3n =(-2)n423422(2)若(2x一3) =a0a1x a2x a3x a4x,求(a0a2 a4) -(a1a3)的值.分析:(1)注意觀察(1+x)n =1+cnx + C:x2+c:xn的系數(shù)、指數(shù)特征,即可通過(guò) 賦值法得到證明.注意到(a0- a2a4)(a1 a3)2=(a0 a1 a2a3a4)(ao -a1 a2 -a3 a4),再用賦值法求之.解: (1)在公式(1+x)n =1+C:x+c2x2 + +c:xn 中令 x = 3,即有(13)n =1+
19、C:(3)1 +C;(3)2 + +C:(3)n=1 -3- 32 C; -(-1)n 3n等式得證.在展開(kāi)式(2x 、,3)4 =玄 a1x a2x2 a3x3 a4x4 中,令 x =1,得 a0 印 a2 a3 a4 二(2x. 3)4 ;令 x - -1,得 a0 -aa2a3 a4 = (23)4.原式二(a0a1a2a3a4)(a-a1a2-a3a4)=(23)4 (-2.3)4 =1.說(shuō)明:注意“賦值法”在證明或求值中的應(yīng)用賦值法的模式是,在某二項(xiàng)展開(kāi)式,如(abx)"=a0a1xa2x2亠 亠anxn 或(ab)n =C0ancnanbCfab2+C"bn中
20、,對(duì)任意的xe A( a,b A)該式恒成立,那么對(duì) A中的特殊值,該工也 一定成立.特殊值x如何選取,沒(méi)有一成不變的規(guī)律,需視具體情況而定,其靈活性較強(qiáng).一 般取x = 0,1, 一1較多一般地,多項(xiàng)式 f (x)的各項(xiàng)系數(shù)和為f(1),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為11f (1) - f (-1),偶次項(xiàng)系數(shù)和為一f(1) f(-1) 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)22c0+C: +C;+c:=2n 及 C+C2+C:+=cn+c;+c;+=2 的證明就是 賦值法應(yīng)用的范例.典型例題二一例21若N ,求證明:32n3-24n37能被64整除.分析:考慮先將32n 3拆成與8的倍數(shù)有關(guān)的和式,再用二項(xiàng)式定理展開(kāi).解:32
21、n 3 -24n 372n -2=3 3-24n 37=3 9n 1 -24n 37=3 (8 1)n 1 -24n 37=3 略尹+C= 8n+C:十 8n» +C;+ 8 + C:-24n+37-3 8n 1cn18n Cn 18nj- (n 1) 8 1 -24n 37=3 8n 1C18n C:18n C: 82 (8n 9) -24n37=3 828nJ +Cn+ 8n<8n:十+C:¥+3(8n+9)_24n+37=3 648n4 C;1 8n Cn 1 8n 64,- 8n4, Ch 8n , C'1 8心,均為自然數(shù),上式各項(xiàng)均為64的整數(shù)倍.
22、原式能被64整除.說(shuō)明:用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題,大體上就是這一模式,先將某項(xiàng)湊成與除數(shù)有關(guān)的和式,再展開(kāi)證之該類題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明,但不如用二項(xiàng)式定理證明簡(jiǎn)捷.典型例題二十二2例22已知(x3 3x2)n的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992 .(1) 求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2) 求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).分析:先由條件列方程求出 n .(1)需考慮二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì);(2)需列不等式確定r . 解:令x =1得展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為(1 3)n =22n,而展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為c0 C Cc: =2n ,.有 22n _2n =992 . n = 5.(1) n = 5
23、 ,故展開(kāi)式共有6,其中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、第四兩項(xiàng).2 T3 二 C;(x3)3 (3x2)2 =90x6 ,2 22T; =C;(x3)2 (3x2)3 =270x .設(shè)展開(kāi)式中第r 1項(xiàng)的系數(shù)最大.210::;4rTr 1 =C; (x3)5(3x2)r 二 c5 3r x ,<3r3rc5 3c5+ 3r*3二丄,即 <r 6-r,丄亠-5 -r r +179解得7豈r乞9 . r N ,22 r =4,即展開(kāi)式中第5項(xiàng)的系數(shù)最大.2 26T5 =Cs (x3)1 (3x2)4 =405x3說(shuō)明:展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)是兩個(gè)不同的概念,因此其求法亦不同.前者用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接得出,后者要列不等式組; 解不等式組時(shí)可能會(huì)求出幾個(gè)r,這時(shí)還必須算出相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)后再比較大小.典型例題二十三例23求證:Ccm+cCpr+c;cm = c短02244nnnlnl*(2) Cn 3 Cn 3 Cn 川詁3 Cn = 2 4 - 2 ( n=2K , n N)分析:(1)注意到兩列二項(xiàng)式兩乘后系數(shù)的特征,可構(gòu)造一個(gè)函數(shù);也可
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