因式分解應用例析

1、 因式分解應用例析一、用于計算例1計算.【分析】若按常規(guī)思路從左到右逐個運算，比較麻煩；設法進行簡便運算.觀察整個算式,不難看出每一個因式都是兩數(shù)的平方差,于是可以將每個因式分解,得以求解.解: = =.【點評】本題如果按照常規(guī)思路來解,比較困難,通過分析認真分析式子的結構、發(fā)散思維，運用所學知識，利用因式分解，使問題得以簡捷解決.例2計算.【分析】仔細觀察算式發(fā)現(xiàn)：最后兩項可分解因式，提公因式2后得，再依次和前一項進行類似計算.解：=6.【點評】本題逆向思考，從最高的兩項進行因式分解，逐次提取公因式，達到消項的目的.例3閱讀下面的解題過程，然后回答問題：（1）分解因式：.解：原式=.設，則原

2、式=.（2）計算：1234567解：設1234567=x，則原式=.利用（1）、（2）的解法計算：.【分析】本題是屬于閱讀理解的題目，可仿照（1）、（2）用換元法，使問題變得簡單些.解:設2004=,則=.【點評】解決閱讀理解這類題目的要點：要認真仔細閱讀題目中的語言文字信息、觀察式子的特點，找出內(nèi)在聯(lián)系，寫出求解過程.本題運用字母代數(shù)的特點，將被開方數(shù)轉(zhuǎn)化為完全平方數(shù)，體現(xiàn)特殊與一般的思想方法.二、用于求值例4已知實數(shù)滿足,求的值.【分析】本題對已知條件進行化簡，并將分解因式，代入求值.解：，即：.=.例5已知的值.【分析】本題要充分利用“”這個條件,經(jīng)過變式來求值.這里可將拆成兩項,變?yōu)?

3、再添加(.解:，=4.【點評】將多項式變形或拆項，整體運用已知條件，體現(xiàn)“整體”與“分解”思想的有機統(tǒng)一.例6已知a=+20，b=+19，c=+21，那么代數(shù)式的值是（）A.4B.3C.2D.1【分析】因本題所求代數(shù)式中含有a、b、c的平方項與二次乘積項與完全平方展開式所含的項基本相同，所以應想辦法，如何造型利用公式法分解因式進行化簡.解：原式=當a=+20，b=+19，c=+21時，有：ab=1，bc=2，ac=1，原式=.故應選B.【點評】本題通過配成完全平方式，將條件代入，整體消元，方便簡潔.三、用于判斷數(shù)的整除性例7已知可以被在60到70之間的兩個數(shù)整除,則它們是（）A61、63B61

4、、65C63、65D63、67【分析】由聯(lián)想到運用平方差公式進行因式分解，從而做出判斷.因為=, 而 ,=9×7=63,所以選擇C.【點評】利用因式分解判斷數(shù)的整除性，大大的簡化運算量.從而體現(xiàn)公式方便快捷.例8已知是正整數(shù)，且，那么數(shù)對（）為_.【解析】將變形分解，a2-b2=45分解得(a+b)(a-b)=1×45=5×9=3×15構造方程組，解得(23,22),(9,6),(7,2).四·證明不等分式例9設是三角形的三邊長,求證:.【分析】本題是證明一個不等問題,想辦法利用三角形三邊的關系以及因式分解來證明.證明:=,又是三角形的三邊長,

5、，即，.【點評】本題借助因式分解，將左邊的多項式分解成一次因式的積，再根據(jù)三角形的三邊的關系進行判斷因式的符號.五、用于判斷三角形的形狀例10已知是三角形的三邊長,且滿足試判斷ABC的形狀,并說明理由.【解析】即：， ，.又是三角形的三邊長,ABC是等邊三角形.六、用于實際應用例11在半徑為R的圓形鋼板上，沖去4個半徑為r小圓，如圖所示，利用因式分解計算，當R=85cm，r=15cm時剩余部分的面積（結果用表示）. 【分析】剩余部分的面積可以看成是大圓的面積減去4個小圓的面積，在運算過程中，利用因式分解有時可以使運算簡化.解：剩余部分的面積為:R-4r=(.【點評】本題巧妙的運用因式分解，避免

6、了半徑的平方運算，減小了運算量，使計算變得簡便,迅速.例12如圖所示,把三個電阻串聯(lián)起來,線路AB上的電流為I,電壓為V,則當=34.9,=20.8,=32.3,I=2.5時,求V的值.【研析】將因式分解的知識運用到物理學的運算當中,可減少運算量,使運算簡化.解：當=34.9,=20.8,=32.3,I=2.5時,=2.5(34.9+20.8+32.3)=220.【點評】根據(jù)物理學的知識，串聯(lián)線路電壓等于各部分電壓之和，構造數(shù)學模型，運用因式分解中的提取公因式，使運算得以簡化.例13校園內(nèi)有一個環(huán)形花壇，它的外圓半徑R=7.5米,內(nèi)圓半徑r=2.5米,請問:該花壇的占地面積是多少?(取3.14)【分析】由于花壇是環(huán)形的,所以花壇的占地面積是外圓的面積減去內(nèi)圓的面積.解:=(7.5+2.5)(7.5-2.5)= ×50155(米).答:該花壇的占地面積約是155米.小試牛刀1、如果，則一定成立的是（）（A）是的相反數(shù)（B）是的相反數(shù)（C）是的倒數(shù)（D）是的倒數(shù)2、填空: 已知的值為_.3、求證:N=是一個完全平方數(shù)4、小學生李亮和他的妹妹李嬌的年齡分別是x歲和y歲，且=117，請問：學生李亮和他的妹妹李嬌的年齡分別是多少歲？1、解： ，即:2