定積分的應(yīng)用63634

1、第6章 定積分的應(yīng)用 定積分的元素法 （一）平面圖形的面積 （1）直角坐標(biāo)情 （2）極坐標(biāo)情形 （二）體積定積分的應(yīng)用 幾何上應(yīng)用 （1）旋轉(zhuǎn)體 （2）平面截面面積為已知 的體積 （三）弧長(zhǎng) 物理上應(yīng)用定積分元素法：（1）所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的一個(gè)整體量 ;(2)U 對(duì)區(qū)間 a , b 具有可加性 ,(3)第一步 第二步極坐標(biāo)情形扇形面積旋轉(zhuǎn)體積：繞X軸旋轉(zhuǎn)成的體積：繞Y軸旋轉(zhuǎn)成的體積：平行截面面積為已知的立體的體積：設(shè)一立體界于過(guò)點(diǎn) x = a , x = b 且垂直于 x 軸的兩平面之間,過(guò)點(diǎn)任意且垂直于 x 軸的截面面積 A(x) 為 x 的連續(xù)函數(shù)

2、，體積為：定理 光滑曲線是可求的參數(shù)方程： 極坐標(biāo)方程： 弧長(zhǎng)：平面圖形的面積(1) 若平面圖形由曲線所圍成，則其面積為(2) 若平面圖形由曲線，所圍成則其面積為旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸。所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為 典例 本章主要解決定積分的具體應(yīng)用問(wèn)題，分別是在幾何學(xué)，物理學(xué)中的運(yùn)用，充分體現(xiàn)了定積分的工具性，下面分別討論在幾何學(xué)和物理學(xué)中的運(yùn)用實(shí)例。1、 幾何學(xué)在幾何學(xué)中主要解決求平面圖形面積，求體積，以及求平面曲線的弧長(zhǎng)等問(wèn)題，在這些問(wèn)題中，主要運(yùn)用定積分的元素法，無(wú)論是在直角坐標(biāo)下還是在極坐標(biāo)下，主要是得到對(duì)應(yīng)所求項(xiàng)的元素（面

3、積元素等），然后進(jìn)行定積分運(yùn)算即可，其中在極坐標(biāo)下要對(duì)應(yīng)以角度為積分變量。例1 計(jì)算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.解：兩曲線的交點(diǎn)選 X 為積分變量面積元素 例2 計(jì)算由曲線和所圍成的圖形的面積.解：兩曲線的交點(diǎn) 選 X 為積分變量 于是所求面積 說(shuō)明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式例3 計(jì)算由曲線和直線所圍成的圖形的面積.解: 兩曲線的交點(diǎn) 選 y 為積分變量 例4 求橢圓的面積.解：橢圓的參數(shù)方程由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積 例5 連接坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)的直線、直線及軸圍成一個(gè)直角三角形將它繞軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為、高為的圓錐體，計(jì)算圓錐體的體積解：直線 OP 方程為取積分變量為

4、，在上任取小區(qū)間，以為底的窄邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為 圓錐體的體積 例6 求以半徑為的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為的正劈錐體的體積.解：底圓方程為垂直于軸的截面為等腰三角形截面面積立體體積例7計(jì)算曲線上相應(yīng)于從到的一段弧的長(zhǎng)度.解： 所求弧長(zhǎng)為 例8 求星形線的全長(zhǎng).解：星形線的參數(shù)方程為 根據(jù)對(duì)稱性 例9 求極坐標(biāo)系下曲線的長(zhǎng) 解： 例10 一圓柱形蓄水池高為5米，底半徑為3米，池內(nèi)盛滿了水.問(wèn)要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？解：取x為積分變量，取任一小區(qū)間,這一薄層水的重力為功元素為(千焦)例11 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為，水的比重為，計(jì)算桶的一端面上所受的壓力解：取為積分變量，取任一小區(qū)間小矩形片上各處的壓強(qiáng)近似相等小矩形片的面積為小矩形片的壓力元素為端面上所受的壓力 例12 有一長(zhǎng)度為、線密度為的均勻細(xì)棒，在其中垂線上距棒單位處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力