課件信號第4章

1、第4章離散時間信號的時域分析離散時間信號的分析方法在許多方面和連續(xù)時間信號的分析方法有著并行的相似性（用求和取代，差分取代微分）：如差分方程取代微分方程，卷積和取代卷積等等；因此在學(xué)習(xí)離散時間信號與系統(tǒng)理論時可以參照連續(xù)時間信號的某些方法。ss-chap4-201812018/6/84.4用產(chǎn)生和實現(xiàn)離散時間信號和系統(tǒng)4.3線性時不變離散時間系統(tǒng)的樣值響應(yīng)4.2離散時間系統(tǒng)4.1離散時間信號序列第4章離散時間信號的時域分析學(xué)習(xí)目標：1.熟練描述離散時間信號xn，區(qū)分離散時間信號與連續(xù)時間信號的差異；（a） 重要序列dn和un及其關(guān)系；（b） 序列的基本運算；（c） 周期序列的含義及條件2.理解

2、線性時不變性（LTI）離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（a）線性常系數(shù)非齊次差分方程及其求解（b）熟練應(yīng)用沖激響應(yīng)hn分析LTI離散時間系統(tǒng)因果性；穩(wěn)定性；零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)；級聯(lián)、并聯(lián)LTI系統(tǒng)的分析ss-chap4-201822018/6/8離散時間信號序列4.14.1.1離散時間信號的表示只在某些離散瞬時給出函數(shù)值的時間函數(shù)，稱為離散時間信號，簡稱為離散信號或序列（sequence）。用符號表示為： f (tn), x (tn) ；若 tn = nT（n = 0, ±1, ±2, ），則表示為f (nT )或x(nT)或進一步簡化為：f n ，xn注：n只能取整數(shù)，表示各函

3、數(shù)值在序列中出現(xiàn)的先后序號。稱 f n（或xn）為信號在第n個樣點的“樣本”或“樣值”（sample）。ss-chap4-201832018/6/8離散時間信號序列4.14.1.1離散時間信號的表示= ××× 1x n = 2n,1, 2, 4,8,×××12­8xn4210.5-1 0 1 23nss-chap4-201842018/6/84.1.2典型序列1樣值信號（unit sample sequence）x(t)n = 0n ¹ 0d n = ì1(4.1-1）í0(1)î0t

4、ìïd (t) = 0,t ¹ 0í¥ïî ò-¥d (t)dt = 1ss-chap4-201852018/6/8d (t) ¹ ì0,t ¹ 0í1,t = 0î4.1.2典型序列2階躍序列（unit step sequence）un = ì1n0í0(4.1-2）n < 0î¥un = å d n - mm=0n= å d k k =-¥d n = un - un - 1ss

5、-chap4-201862018/6/84.1.2典型序列3矩形序列（rectangular sequence）nN - 1R n = ì10í0(4.1-3）N其他î序列的長度：Nss-chap4-201872018/6/84.1.2典型序列4. 單邊實指數(shù)序列（single sided exponential sequence）ìïan，n ³ 0xn = í(4.1-4）ïî0, n < 0ss-chap4-201882018/6/84.1.2典型序列5單邊正弦序列（single sided

6、sinusoidal sequence）xn = ìsin w0nn ³ 0n < 0í0(4.1-5）î若 w0 = p /10周期N0 = 20ss-chap4-201892018/6/84.1.2典型序列xn = sin w0n對正弦序列如果：2p/w0 = p/q（p, q為互質(zhì)整數(shù)） 列為周期序列；如果：2p/w0是無理數(shù)，則正弦序列是非周期序列。w0為序列正弦包絡(luò)的振蕩頻率，也稱為正弦序列的頻率。數(shù)，則正弦序x (t) = sin(8 p t)x (t) = sin( 2 p t)例：1233x n = sin(8 p n)x n =

7、sin( 2 p n)1233ss-chap4-2018102018/6/84.1.2典型序列6斜變序列（ramp sequence）ìn, n ³ 0xn = í0, n < 0(4.1-9)îxn7復(fù)指數(shù)序列（complex exponential sequence）xn = ejw0 n = cosw n + jsin w n00(4.1-10)ss-chap4-2018112018/6/84.1.3序列的運算xn = x1n ± x2n（1）序列的加減：(4.1-12)(4.1-13)(4.1-14)（2）序列的乘積和數(shù)乘： xn

8、 = x1n × x2nyn = a xnxnun = ìxn, n ³ 0í0,從而有n < 0îìïan，n ³ 0xn = í= a unn這樣n < 0ïî0,（3）序列移位：yn = xn m(4.1-15)Exn = x n +1 ，Emxn = x n+mE1 xn = x n 1 ，Em xn = x n mss-chap4-2018122018/6/84.1.3序列的運算（4）序列的差分和累加運算：序列的一階前向差分定義為Dxn = xn+1 - xn序列

9、的一階后向差分定義為Ñxn = xn - xn-1序列的累加運算定義為n(4.1-17)(4.1-18)åm=-¥yn =xm(4.1-19)（5）序列的能量：E =¥ån=-¥xn 2(4.1-20)ss-chap4-2018132018/6/84.1.3序列的運算（6）序列的分解：xn =¥åxmd n - m(4.1-21)m=-¥¥nun = å d n - m =å d m(4.1-22)m=0m=-¥d n = un - un - 1RN n = un

10、- un - N = å d n - mm=0(4.1-23)N -1(4.1-24)yn = x-n（7）序列的反褶：(4.1-25)（8）序列的卷積和sn = xn * yn =¥åm=-¥xmyn - m(4.1-26)ss-chap4-2018142018/6/84.1.3序列的運算卷積和的計算方法也類似于卷積的四個步驟，即反褶、相乘、求和。xn = un,yn = anun，（0 < a <1），試求例4.1-3假設(shè)sn = xn * yn。解：由式(7.1-26)知¥¥ååuman-mun

11、- msn = xn * yn =xmyn - m =m=-¥m=-¥n 1 - a-(n+1)1 - a-1an+1- 1n= å an-mun = aun =una - 1m=0該離散線性卷積的計算過程如下圖所示。ss-chap4-2018152018/6/84.1.3序列的運算ss-chap4-2018162018/6/84.1.3序列的運算例4.1-4假設(shè)兩序列為xn = 3d n + 2d n - 1 + 2d n - 2 + d n - 3yn = 2d n + d n - 1 + 5d n - 2sn = xn * yn求解：。sn = 6, 7,

12、21, 14,0 £ n £ 511, 5,ss-chap4-2018172018/6/84.1.3序列的運算種類1.根據(jù)序列的長度分：有限長序列和無限長序列ì右邊序列ï無限長序列í左邊序列ï雙邊序列î-無限長序列（雙邊序列）x n = 2n1x n = 2n (0 £ n £ M )-有限長序列，長度（M+1）22. 根據(jù)序列所處的時段分：因果序列和非因果序列3. 根據(jù)序列的重復(fù)性分：周期序列和非周期序列4. 根據(jù)序列的對稱性分：偶序列和奇序列ss-chap4-2018182018/6/84.2離散時間

13、系統(tǒng)4.2離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)離散時間系統(tǒng)可以看一個離散信號的變換器，當輸入信號xn經(jīng)過該離散系統(tǒng)后，將變換成另一個序列輸出信號yn，其框圖如圖4.2-1所示。最基本的一類系統(tǒng)：線性時不變離散時間系統(tǒng)線性離散系統(tǒng)是指滿足疊加性與均勻性的離散系統(tǒng)。ss-chap4-2018192018/6/84.2.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)時不變離散系統(tǒng)是指在同樣起始狀態(tài)下，系統(tǒng)響應(yīng)與激勵施加于系統(tǒng)的時刻無關(guān)。即：若激勵信號xn產(chǎn)生的響應(yīng)為yn，則激勵信號xn - m產(chǎn)生的響應(yīng)為yn - m，即發(fā)生同步延遲。ss-chap4-2018202018/6/84.2.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)例4.2-1滑動平均濾波器的線

14、性特性及時不變特性。廣義的滑動平均系統(tǒng)的輸出yn與輸入xn滿足以下關(guān)系M 21åyn = Txn =Mxn - k - M+ 1k =M121解：假設(shè) y1n =Tx1n和y2n = Tx2n，即y1n和y2n分別為輸入x1n和x2n時的輸出信號。（1）當輸入信號為x3n= ax1n時，輸出信號為= ay1n因而該系統(tǒng)滿足均勻性。ss-chap4-2018212018/6/84.2.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)（2）輸入信號為x4n= x1n+x2n時，輸出信號為M 21+1 ån =n - knTnTnk =M1M 21+1 å=n - kn - k)- M1k =M

15、11M 2M 21åk =M1å x2n - kk =Mn - k +x1- M+1M - M+2121= y1n + y2n該系統(tǒng)滿足疊加性，所以該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。ss-chap4-2018222018/6/84.2.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)（3）假設(shè)輸入信號為x5n= x1n-m，則輸出信號為因而該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。綜合以上討論，該系統(tǒng)是一個線性時不變系統(tǒng)。223 3ss-chap4-20182018/6/84.2.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)Ø 因果離散系統(tǒng)與穩(wěn)定離散系統(tǒng)如果系統(tǒng)的輸出信號yn在n = n0時刻的輸出樣本yn0僅由輸入信號xn在n £ n0

16、時刻的樣本值，即xn|n £n0決定，而與n > n0時的樣本值xn無關(guān)，則該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。當且僅當每一個有界的輸入信號xn激勵系統(tǒng)時，產(chǎn)生的輸出信號yn也是有界的，則系統(tǒng)稱為穩(wěn)（BIBO）。224 4ss-chap4-20182018/6/84.2.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)例4.2-2滑動平均濾波器的因果性與穩(wěn)定性M 21åyn = Txn =Mxn - k - M+ 1k =M121解：（1）如果M2 > M1 ³ 0，則系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，如取M1 =0，M2 =1，則yn=( xn+ xn-1)/2，即輸出樣本僅取決于現(xiàn)在的輸入樣本xn和過去的輸入

17、樣本xn-1。如果M1 < M2 £ 0，則系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，如取M1 =-1，M2 =0，則yn=( xn+1 + xn)/2，即輸出樣本取決于包括現(xiàn)在的輸入樣本xn和未來的輸入樣本xn+1。（2）如果M1，M2是有限數(shù)值，則系統(tǒng)是穩(wěn)。ss-chap4-2018252018/6/84.2.2線性常系數(shù)差分方程離散時間信號的基本運算xn = x1n ± x2nxn = x1n × x2n yn = a xn加法運算：乘法運算：或差分運算：Dxn = xn+1 - xnÑxn = xn - xn-1或和累加運算nåm=-¥yn =

18、xmss-chap4-2018262018/6/84.2.2線性常系數(shù)差分方程例：以的儲蓄與業(yè)務(wù)描述：存款業(yè)務(wù)為例：零存整取存款方式儲蓄設(shè)每月的存款額為Rn，存款時間N計算到期后賬戶款總額P。，存款月利率為I，設(shè)第n-1末賬戶款額為yn-1，第n末存款款額為yn，則它們之間的關(guān)系為yn = yn-1 + Rn + I yn-1y0 = R0 ,Rn, 0 £ n £ N-1ss-chap3-2018272018/6/84.2.2線性常系數(shù)差分方程離散時間系統(tǒng)的基本運算單元符號數(shù)乘ss-chap4-2018282018/6/84.2.2線性常系數(shù)差分方程例4.2-3下圖所示的

19、離散系統(tǒng)，它由移位、相加、數(shù)乘等三個基本單元組合而成，試寫出其激勵xn和響應(yīng)yn之間關(guān)系的差分方程。解：移位（延時）器：輸入為yn，輸出為yn-1；數(shù)乘單元：輸入為yn-1，輸出為ayn-1；加法器單元：輸入為xn和ayn-1，輸出為yn。加法器可以寫出： yn = xn + ayn-1因此，yn-ayn-1 = xn-一階常系數(shù)線性后向差分方程(4.2-3)移項整理可得：ss-chap4-2018292018/6/84.2.2線性常系數(shù)差分方程例4.2-4將例4.2-3圖所示的離散系統(tǒng)中的延時器位置稍做調(diào)整，組成如下圖所示的系統(tǒng)，試寫出其輸入、輸出關(guān)系式。解：延時器的輸出為yn，則輸入必為y

20、n+1，即加法器輸出為yn+1， 加法器可寫出yn+1 = xn + aynyn+1-ayn = xn(4.2-4)即-一階常系數(shù)線性前向差分方程ss-chap4-2018302018/6/88.1.2線性時不變離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例4.2-5對下圖所示的離散系統(tǒng)，試寫出其輸入、輸出關(guān)系式。解：加法器可列出如下方程：yn = a1yn-1+a2yn-2 +b0xn + b1xn-1 + b2xn-2yn -a1yn -1 -a2yn -2 = b0xn + b1xn-1 + b2xn-2即ss-chap4-2018312018/6/84.2.2線性常系數(shù)差分方程例：yn-ayn-1 = xn

21、設(shè)輸入 xn=dn，并假設(shè) y-1=0，差分方程的求解條件：（1） 輸入信號，方程右邊的自由項（2） 起始條件，考慮一般是后向差分，故為 y-1, y-2, y-Ny0 = x0 + ay-1 = 1y1 = x1 + ay0 = ay2 = x2 + ay1 = a 2Myn = xn + ayn-1 = a n此范圍僅限于n 0，差分方程的求解方法1. 遞推解法（迭代法）2. 時域經(jīng)典法3. 零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)解法4. z變換法5. 狀態(tài)空間分析法故yn = anunss-chap4-2018322018/6/84.2.3線性常系數(shù)差分方程的經(jīng)典解法例：yn-ayn-1 = xn設(shè)輸入 x

22、n=un，并假設(shè) y-1=0， yhn = Aanypn = B, n³0 （xn=1, n³0）Þ B- aB=1ÞB=1/(1- a) yn = yhn+ypn=Aan+1/(1-a), n³0因為：y0 = x0 + ay-1 = 1ÞA=-a/(1- a)yn =(1-an+1)/(1-a) n³0dy(t) + 3y(t) = 6x(t)dtx(t) = u(t),y(0- ) = 1-3tyh (t) = Aey (t) = B, t > 0 (x(t) = 1, t > 0)pÞ y (t

23、) = 2, t > 0py(t) = y (t) + y (t)h= Ae-3tp+ 2, t > 0Þ A = -1( y(0- ) = 1 = y(0+ )Þ y(t) = -e-3t + 2,t > 0ss-chap4-2018332018/6/84.2.3線性常系數(shù)差分方程的經(jīng)典解法例：yn-0.4yn-1 +0.03yn-2= 2xn設(shè)輸入 xn=un，并假設(shè) y-1=0，y-2=1Þ a1= 0.1， a2= 0.3解： a n- 0.4a n-1+0.03a n-2=0yhn = A1(0.1)n+ A2(0.3)nypn = B

24、, n³0 （xn=1, n³0）Þ B- 0.4B+0.03B=2ÞB=200/63yn = yhn+ypn = A1(0.1)n+ A2(0.3)n +200/63, n³0因為：y0 = 2x0 + 0.4y-1 -0.03y-2= 1.97y1 = 2x1 + 0.4y0 -0.03y-1= 2.788ÞA1=0.1261，A2=-1.3307yn = 0.1261´(0.1)n-1.3307(0.3)n+3.1746， n³0ss-chap4-2018342018/6/84.2.3線性常系數(shù)差分方程的經(jīng)典

25、解法幾種典型激勵信號對應(yīng)的特解函數(shù)形式自由項E (常數(shù))nm , m是正整數(shù)a ncosw0 nsin w0n特解B (常數(shù))nm-1+ B+ . + B n + BnmBm-1m10Ba nB1 cosw0n + B2 sin w0n注：自由激勵信號得到（與激勵信號表相同），特解（強迫響應(yīng)）的表與自由項相同，故也與激勵信號表相同；但自由響應(yīng)與激勵信號完全不同。ss-chap4-2018352018/6/84.3LTI離散時間系統(tǒng)的樣值響應(yīng)4.3.1零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)經(jīng)典法求解系統(tǒng)的完全響應(yīng)可分為：完全響應(yīng)=自由響應(yīng)+強迫響應(yīng)yn = yh n + yp n系統(tǒng)的完全響應(yīng)也可分為：完全響應(yīng)

26、=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)yn = yzi n + yzs nss-chap4-2018362018/6/84.3.1零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng) yzi n：當激勵信號 xn = 0時，由起始狀態(tài)y-1, y-2, y-N所產(chǎn)生的響應(yīng)。零輸入響應(yīng)應(yīng)的形式，即Ny n = å Aanzizikkk =1其中系數(shù)Azik由起始條件y-1, y-2, y-N來確定。ss-chap4-2018372018/6/84.3.1零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) yzsn：當起始狀態(tài)為零時，即y-1= y-2= y-N=0 ，由激勵信號xn 所產(chǎn)生的響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)的形式為：Ny n = 

27、29; Aa+ y nnzszskkpk =1其中系數(shù)Azsk由初始狀態(tài)y0, y1, yN-1來確定。ss-chap4-2018382018/6/84.3.1零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)NNyn = å Aa+ å Aa+ y (t)(4.3 -1)nnzikkzskkp1k =412431k =144424443零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)N= å（A+ A)a+(4.3 - 7)ny (t)pzikzskk1k =144424443自由響應(yīng)強迫響應(yīng)例4.3-1 已知LTI離散系統(tǒng)的差分方程為yn - 1 yn -1 = 1 xn2y-1 = 13且 xn=un,，應(yīng)、強迫

28、響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。ss-chap4-2018392018/6/84.3-1零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)解：y-1 = 1y-1 ：起始條件，確定零輸入響應(yīng)的系數(shù)，y0：初始條件，確定全響應(yīng)的系數(shù)，y0 = 1 x0 + 1 y-1 = 5326y 0 = 1 x0 + 1 y -1 = 1y0：確定零狀態(tài)響應(yīng)的系數(shù),zszszs3231）求全響應(yīng)yn特征根為a = 1/ 2 ，所以 yh n = A(1 / 2) ，n而 yp n = 2/ 3 , (因為 xn=1，n³0)yn = A(1 / 2)n + 2 / 3全響應(yīng)為由初始條件 y0=5/6 , 求出系數(shù) A=

29、 1/6 ，所以yhn=(1/6)(1/2)nyn = (1 / 6) ´ (1 / 2)n + 2 / 3(n ³ 0)ss-chap4-2018402018/6/84.3.1零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)2）求零輸入響應(yīng)yziny n = A(1 / 2)nziziy-1 = 1,由起始條件可求出系數(shù)Azi=1/2 ，所以y n = 1 (1 / 2)nzi23）求零狀態(tài)響應(yīng)yzsn，輸入xn=uny n = A(1 / 2)n + y n = A(1 / 2)n + 2 / 3zszspzs由零狀態(tài)初始條件 yzs0=1/3 , 求出系數(shù) Azs= -1/3 ，所以yzs n

30、 = (-1 / 3) ´ (1 / 2) + 2 / 3n(n ³ 0)或解：yzs n = yn - yzi n = (-1 / 3) ´ (1 / 2) + 2 / 3n(n ³ 0)ss-chap4-2018412018/6/84.3.1零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)常系數(shù)線性差分方程描述的系統(tǒng)在下面幾點上是線性的（1） 響應(yīng)的可分解性：系統(tǒng)響應(yīng)可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。（2） 零狀態(tài)響應(yīng)線性：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與各激勵信號成線性關(guān)系，且系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)，所以零狀態(tài)響應(yīng)滿足微積 分特性。（3） 零輸入響應(yīng)線性：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與各起始狀態(tài)成線性關(guān)系。

31、ss-chap4-2018422018/6/84.3.2樣值響應(yīng)（沖激響應(yīng)）定義沖激信號dn 作為激勵，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)沖激響應(yīng)”，以hn表示。以稱為“類似地，以狀態(tài)響應(yīng)稱為“階躍信號 un 作為激勵，系統(tǒng)產(chǎn)生的零階躍響應(yīng)”，以gn或sn表示。1. 沖激響應(yīng)hn的求解aN yn + aN -1 yn -1 +L+ a1 yn - (N -1) + a0 yn - N = bM xn + bM -1xn -1 +L+ b1xn - (M -1) + b0 xn - M 將及代入上式，得h0 = bM d 0 + bM -1d -1 +L+ b1d -(M -1) + b0d -M = bMh

32、1 = bM d 1 + bM -1d 0 +L+ b1d -M + 2) + b0d 1- M - aN -1h0= bM -1 - aN -1bMss-chap4-2018432018/6/84.3.2樣值響應(yīng)上述利用迭代的方法比較簡單，但難以給出閉式的解。利用通用的經(jīng)典解法：Nhn = å A an ³ 0n ,kkk =1由于輸入 xn=dn=0, n>0, 故其強迫響應(yīng)部分ypn=0, n>0。而系數(shù)Ak可以由初始狀態(tài)hn，n=0,1,2,N-1求出。也就是說不論哪種方法求解沖激響應(yīng)，都需要依據(jù)差分 方程及輸入信號dn迭代得到系統(tǒng)的N個初始狀態(tài)值hn，

33、 n=0,1,2,N-1。ss-chap4-2018442018/6/84.3.2樣值響應(yīng)2. 階躍響應(yīng)gn的求法例4.3-4試利用線性時不變系統(tǒng)的特性，討論離散系統(tǒng)對階躍信號un的零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)hn之間的關(guān)系。解：由式(4.1-22)第一個等號，即階躍響應(yīng)gn與樣值響¥un = å d n - mm=0利用線性時不變系統(tǒng)的時不變特性和疊加性，有¥gn = å hn - mm=0另一方面，根據(jù)式(4.1-23)，得(4.3-9)d n = Ñun = un - un - 1hn = Ñgn = gn - gn - 1(4.3-10)從而

34、有ss-chap4-2018452018/6/84.3.3LTI離散時間系統(tǒng)的卷積和分析d n ¾L¾TI離¾散時¾間系¾統(tǒng)¾的零¾狀態(tài)¾響應(yīng)¾® hn沖激響應(yīng)¥åxmd n - mxn =如果m=-¥根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)， 有¥åxmhn - m = xn* hnyzs n =(4.3-11)m=-¥¥¥åumhn - m = å hn - m如：gn = hn * un =m=-¥m=0系統(tǒng)的全響應(yīng)，表N如下¥yn = å Aåm1=-4¥an+xmhn - m4424443零狀態(tài)響應(yīng)zikkk1=14243零輸入響應(yīng)ss-chap4-2018462018/6/84.3.3LTI離散時間系統(tǒng)的卷積和分析Ø 在4.1.3節(jié)中已經(jīng)說明：與卷積相似，卷積和的計算也可以分為四個步驟，但用求和代替了，即反褶、相乘、求和。Ø 卷積和也屬于線性運算，故而具有相應(yīng)的運算定律，即交換律、結(jié)合律和分配律Ø 卷積和的移位性質(zhì)及其他性質(zhì)：sn = xn * yn若則 sn - n1 - n2 = xn - n1