中考數(shù)學：存在性問題復習

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學習與交流中考數(shù)學：存在性問題復習.精品文檔.初中數(shù)學二次函數(shù)中的圖形構(gòu)建及存在性問題一、二次函數(shù)中有關(guān)面積的存在性問題例1（10山東濰坊）如圖所示，拋物線與軸交于點兩點，與軸交于點以為直徑作過拋物線上一點作的切線切點為并與的切線相交于點連結(jié)并延長交于點連結(jié)(1）求拋物線所對應的函數(shù)關(guān)系式及拋物線的頂點坐標；(2）若四邊形的面積為求直線的函數(shù)關(guān)系式；(3）拋物線上是否存在點，使得四邊形的面積等于的面積？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由. 答案：解：（1）因為拋物線與軸交于點兩點，設拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：拋物線與軸交于點所以，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為

2、：又因此，拋物線的頂點坐標為(2）連結(jié)是的兩條切線，又四邊形的面積為又因此，點的坐標為或當點在第二象限時，切點在第一象限.在直角三角形中，過切點作垂足為點因此，切點的坐標為設直線的函數(shù)關(guān)系式為將的坐標代入得解之，得所以，直線的函數(shù)關(guān)系式為當點在第三象限時，切點在第四象限.同理可求：切點的坐標為直線的函數(shù)關(guān)系式為因此，直線的函數(shù)關(guān)系式為或(3）若四邊形的面積等于的面積又兩點到軸的距離相等，與相切，點與點在軸同側(cè)，切線與軸平行，此時切線的函數(shù)關(guān)系式為或當時，由得，當時，由得，故滿足條件的點的位置有4個，分別是說明：本參考答案給出了一種解題方法，其它正確方法應參考標準給出相應分數(shù).強化訓練1、（10

3、廣東深圳）如圖，拋物線yax2c（a0）經(jīng)過梯形ABCD的四個頂點，梯形的底AD在x軸上，其中A（2,0），B（1, 3）(2）點M為y軸上任意一點，當點M到A、B兩點的距離之和為最小時，求此時點M的坐標； (3）在第（2）問的結(jié)論下，拋物線上的點P使SPAD4SABM成立，求點P的坐標圖2xyCB_D_AO答案：（1）、因為點A、B均在拋物線上，故點A、B的坐標適合拋物線方程圖3 解之得：；故為所求(2）如圖2，連接BD，交y軸于點M，則點M就是所求作的點設BD的解析式為，則有，故BD的解析式為；令則，故(3)、如圖3，連接AM，BC交y軸于點N，由（2）知，OM=OA=OD=2，易知BN=

4、MN=1，易求；設，依題意有：，即：解之得：，故 符合條件的P點有三個：2、矩形OBCD在如圖所示的平面直角坐標系中，其中三個頂點分別為O(0，0)、B(0，3)、D(2，0)，直線AB交x軸于點A(1，0)(1)求直線AB的解析式；(2)求過A、B、C三點的拋物線的解析式，并寫出其頂點E的坐標；OAGBDCEHxyF(3)過點E作x軸的平行線EF交AB于點F將直線AB沿軸向右平移2個單位，與x軸交于點G，與EF交于點H請問過A、B、C三點的拋物線上是否存在點P，使得SPAGSPEH若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由二、二次函數(shù)中構(gòu)建直角三角形與相似形的存在性問題例2 (甘肅）(12分

5、) 如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），設拋物線的頂點為D（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標；（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與BCD相似？若存在，請指出符合條件的點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）設該拋物線的解析式為，由拋物線與y軸交于點C（0，3）,可知. 即拋物線的解析式為 1分把A（1，0）、B（3，0）代入, 得 解得. 拋物線的解析式為y = x22x3 3分 頂點D的坐標為. 4分說明：只要學生求對，不寫“拋物線的解析

6、式為y = x22x3”不扣分.（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形. 5分理由如下：過點D分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F.在RtBOC中，OB=3，OC=3， . 6分在RtCDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1， . 7分在RtBDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2， . 8分 ， 故BCD為直角三角形. 9分（3）連接AC，可知RtCOA RtBCD，得符合條件的點為O（0，0） 10分過A作AP1AC交y軸正半軸于P1，可知RtCAP1 RtCOA RtBCD，求得符合條件的點為 11分過C作CP2AC交x軸正半軸于P2，可知RtP2CA RtCOA

7、RtBCD，求得符合條件的點為P2（9，0） 12分 符合條件的點有三個：O（0，0），P2（9，0）.三、二次函數(shù)中構(gòu)建等腰三角形的存在性問題例3（10重慶潼南）如圖, 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點A的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，-1）.(1）求拋物線的解析式；(2）點E是線段AC上一動點，過點E作DEx軸于點D，連結(jié)DC，當DCE的面積最大時，求點D的坐標；(3）在直線BC上是否存在一點P，使ACP為等腰三角形，若存在，求點P的坐標，若不存在，說明理由.答案：解：（1）二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A（2，0）C(0,1) 解得： b= c=1二次函數(shù)的解析式為 (2）設

8、點D的坐標為（m，0） (0m2） OD=m AD=2-m由ADEAOC得， DE=CDE的面積=××m當m=1時，CDE的面積最大點D的坐標為（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函數(shù)的解析式為設y=0則 解得：x1=2 x2=1點B的坐標為（1，0） C（0，1）設直線BC的解析式為：y=kxb 解得：k=-1 b=-1直線BC的解析式為: y=x1在RtAOC中，AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=點B(1,0) 點C（0，1）OB=OC BCO=450當以點C為頂點且PC=AC=時，設P(k, k1)過點P作PHy軸于HHCP=BCO=450CH=

9、PH=k 在RtPCH中k2+k2= 解得k1=， k2=P1（，） P2（，）以A為頂點，即AC=AP=設P(k, k1)，過點P作PGx軸于GAG=2k GP=k1在RtAPG中 AG2PG2=AP2(2k)2+(k1)2=5解得：k1=1,k2=0(舍)P3(1, 2) 以P為頂點，PC=AP設P(k, k1)過點P作PQy軸于點QPLx軸于點L，L(k,0)QPC為等腰直角三角形， PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=kAL=k-2, PL=k1在RtPLA中(k)2=(k2)2(k1)2解得：k=P4(,) 綜上所述： 存在四個點：P1（，） P2（-，） P3(1, 2) P4(

10、,)三、二次函數(shù)中構(gòu)建四邊形的存在性問題（一）二次函數(shù)中構(gòu)建梯形的存在性問題例4 (10山東臨沂）如圖，二次函數(shù)y= -x2+ax+b的圖像與x軸交于A(-，0)、 B(2，0)兩點，且與y軸交于點C； (1) 求該拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀； (2) 在x軸上方的拋物線上有一點D，且以A、C、D、B四 點為頂點的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D點的坐標； (3) 在此拋物線上是否存在點P，使得以A、C、B、P四點 為頂點的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由。答案：解 (1) 根據(jù)題意，將A(-，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，解這個方程，得

11、a=，b=1，該拋物線的解析式為y= -x2+x+1，當 x=0時，y=1， 點C的坐標為(0，1)。在AOC中，AC=。 在BOC中，BC=。 AB=OA+OB=+2=，AC 2+BC 2=+5=AB 2，ABC是直角三角形。 (2) 點D的坐標為(，1)。 (3) 存在。由(1)知，ACBC。 j 若以BC為底邊，則BC/AP，如圖1所示，可求得直線yABCOxPyABCOPxBC的解析式為y= -x+1，直線AP可以看作是由直線 BC平移得到的，所以設直線AP的解析式為y= -x+b， 把點A(-，0)代入直線AP的解析式，求得b= -，直線AP的解析式為y= -x-。點P既在拋物線上，

12、又在直線AP上， 點P的縱坐標相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=， x2= -(舍去)。當x=時，y= -，點P(，-)。 k 若以AC為底邊，則BP/AC，如圖2所示。 可求得直線AC的解析式為y=2x+1。 直線BP可以看作是由直線AC平移得到的， 所以設直線BP的解析式為y=2x+b，把點B(2，0)代入直線BP的解析式，求得b= -4， 直線BP的解析式為y=2x-4。點P既在拋物線 上，又在直線BP上，點P的縱坐標相等， 即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。 當x= -時，y= -9，點P的坐標為(-，-9)。 綜上所述，滿足題目條件的點P為(，-

13、)或(-，-9)強化訓練1、 (10山東省淄博)已知直角坐標系中有一點A（4，3），點B在x軸上，AOB是等腰三角形(1）求滿足條件的所有點B的坐標；(2）求過O、A、B三點且開口向下的拋物線的函數(shù)表達式（只需求出滿足條件的一條即可）；(3）在（2）中求出的拋物線上存在點P，使得以O，A，B，P四點為頂點的四邊形是梯形，求滿足條件的所有點P的坐標及相應梯形的面積【答案】解：作ACx軸，由已知得OC4，AC3，OA5(1）當OAOB5時，如果點B在x軸的負半軸上，如圖（1），點B的坐標為（5，0）如果點B在x軸的正半軸上，如圖（2），點B的坐標為（5，0）xyBCAOxyBCAO(2)(1)當O

14、AAB時，點B在x軸的負半軸上，如圖（3），BCOC，則OB8，點B的坐標為（8，0） 當ABOB時，點B在x軸的負半軸上，如圖（4），在x軸上取點D，使ADOA，可知OD8由AOBOABODA，可知AOBODA，則，解得OB，點B的坐標為（，0）yBCAxO(3)(4)yABDxO(2）當ABOA時，拋物線過O（0，0），A（4，3），B（8，0）三點，設拋物線的函數(shù)表達式為，可得方程組，解得a， (當OAOB時，同理得(3）當OAAB時，若BPOA，如圖（5），作PEx軸，則AOCPBE，ACOPEB90°，AOCPBE，設BE4m，PE3m，則點P的坐標為（4m8，3m），代入

15、，解得m3則點P的坐標為（4，9），S梯形ABPOSABOSBPO48若OPAB（圖略），根據(jù)拋物線的對稱性可得點P的坐標為（12，9），S梯形AOPBSABOSBPO48(5)OyBCAxPE(6)xyBAOCPF(當OAOB時，若BPOA，如圖（6），作PFx軸，則AOCPBF，ACOPFB90°，AOCPBF，設BF4m，PF3m，則點P的坐標為（4m5，3m），代入，解得m則點P的坐標為（1，），S梯形ABPOSABOSBPO若OPAB（圖略），作PFx軸，則ABCPOF，ACBPFO90°，ABCPOF，設點P的坐標為（n，3n），代入，解得n9則點P的坐標為（9

16、，27），S梯形AOPBSABOSBPO75（二）二次函數(shù)中構(gòu)建平行四邊形的存在性問題例5、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三點。（1）求該拋物線的表達式；（2）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形求所有滿足條件點P的坐標。解：（1）設該拋物線的表達式為y=ax²+bx+c根據(jù)題意，得a- b+c=0 a=9a+3b+c=0 解之，得 b=c=-1 c=-1 所求拋物線的表達式為y=x²-x-1 （2）AB為邊時，只要PQAB且PQ=AB=4即可。 又知點Q在y軸上，點P的橫坐標為4或-4，這時

17、符合條件的點P有兩個，分別記為P1,P2 .而當x=4時，y=；當x=-4時，y=7，此時P1（4，）P2（-4,7）當AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可又知點Q在Y軸上，且線段AB中點的橫坐標為1點P的橫坐標為2，這時符合條件的P只有一個記為P3而且當x=2時y=-1 ，此時P3（2，-1）綜上，滿足條件的P為P1（4，）P2（-4,7）P3（2，-1）例6、平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A，B，C三點（2）若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，AMB的面積為S求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線上的動點，判斷有幾個

18、位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標強化訓練1、（莆田）(14分)已知，如圖拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在B點左側(cè)。點B的坐標為(1，0),OC=30B (1)求拋物線的解析式； (2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值： (3)若點E在x軸上，點P在拋物線上。是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形?若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由2、（10貴州遵義）如圖，已知拋物線的頂點坐標為Q，且與軸交于點C，與軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物

19、線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD軸，交AC于點D(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)當ADP是直角三角形時，求點P的坐標；(3)在問題(2)的結(jié)論下，若點E在軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由答案：解：（1）拋物線的頂點為Q（2，-1）設將C（0，3）代入上式，得， 即(2）分兩種情況： 當點P1為直角頂點時,點P1與點B重合(如圖) 令=0, 得解之得, 點A在點B的右邊, B(1,0), A(3,0)P1(1,0)解:當點A為APD2的直角頂點是(如圖)OA=OC, AOC=, OAD2=當D2AP2=

20、時, OAP2=, AO平分D2AP2又P2D2軸, P2D2AO, P2、D2關(guān)于軸對稱.設直線AC的函數(shù)關(guān)系式為將A(3,0), C(0,3)代入上式得D2在上, P2在上,設D2(,), P2(,)()+()=0, , (舍)當=2時, =-1 P2的坐標為P2(2,-1)(即為拋物線頂點)P點坐標為P1(1,0), P2(2,-1) (3)解: 由題(2)知,當點P的坐標為P1(1,0)時,不能構(gòu)成平行四邊形當點P的坐標為P2(2,-1)(即頂點Q)時,平移直線AP(如圖)交軸于點E,交拋物線于點F.當AP=FE時,四邊形PAFE是平行四邊形P(2,-1), 可令F(,1)解之得: ,

21、 F點有兩點,即F1(,1), F2(,1)3、如圖11，在直角梯形中，點為坐標原點，點在軸的正半軸上，對角線，相交于點，MCBOA圖11(1）線段的長為 ，點的坐標為 ；(2）求的面積；(3）求過，三點的拋物線的解析式；(4）若點在（3）的拋物線的對稱軸上，點為該拋物線上的點，且以，四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點的坐標答案：解：（1）4 ；. (2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4， OAMBCM 又 OA=2BC AM2CM ，CMAC 所以 (注：另有其它解法同樣可得結(jié)果，正確得本小題滿分.）(3）設拋物線的解析式為由拋物線的圖象經(jīng)過點,.所以解這個方程組，得， 所以拋物線的解

22、析式為 (4） 拋物線的對稱軸是CD， 當點E在軸的下方時，CE和OA互相平分則可知四邊形OEAC為平行四邊形，此時點F和點C重合，點F的坐標即為點； 當點E在軸的下方，點F在對稱軸的右側(cè)，存在平行四邊形，且，此時點F的橫坐標為6，將代入，可得.所以. 同理，點F在對稱軸的左側(cè)，存在平行四邊形，且，此時點F的橫坐標為，將代入，可得.所以.綜上所述，點F的坐標為，. 4、如圖，在直角坐標系xOy中，正方形OABC的頂點A、C分別在y軸、x軸上，點B的坐標為(6，6)，拋物線yax2bxc經(jīng)過點A、B，且3ab1(1)求a、b、c的值(2)動點E、F同時分別從點A、B出發(fā)，分別沿AB、BC運動，速

23、度都是每秒1個單位長度，當點E到達終點B時，點E、F隨之停止運動設運動時間為t秒，BEF的面積為S試求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；當S取最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以點E、B、R、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出此時點R的坐標；若不存在，請說明理由OABCEFxyOABCEFxy（備用圖）5、已知二次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點，直線（）與軸交于點（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線（）上有一點（點在第四象限），使得為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似，求點坐標（用含的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，請求

24、出的值及四邊形的面積；若不存在，請說明理由yxOyxOBADC(x=m)(F2)F1E1 (E2)解：（1）根據(jù)題意，得解得（2分）（2）當時，得或，當時，得，點在第四象限，（4分）當時，得，點在第四象限，（6分）（3）假設拋物線上存在一點，使得四邊形為平行四邊形，則，點的橫坐標為，當點的坐標為時，點的坐標為，點在拋物線的圖象上，（舍去），（9分）當點的坐標為時，點的坐標為，點在拋物線的圖象上，（舍去），（12分）注：各題的其它解法或證法可參照該評分標準給分19. (郴州)如圖11，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點M（2，），且P（，2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直

25、于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B （1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得OBQ與OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由； 圖11圖12（3）如圖12，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值25 （1）設正比例函數(shù)解析式為，將點M（，）坐標代入得，所以正比例函數(shù)解析式為 2分同樣可得，反比例函數(shù)解析式為 3分（2）當點Q在直線DO上運動時，設點Q的坐標為， 4分于是，而，所以有，解得 6分所以點Q的坐標為和 7分（3）因為

26、四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OPCQ，OQPC，而點P（，）是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值8分因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設點Q的坐標為，由勾股定理可得，所以當即時，有最小值4，又因為OQ為正值，所以OQ與同時取得最小值，所以OQ有最小值2 9分 由勾股定理得OP，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是21. (崇左)在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點，點，如圖所示：拋物線經(jīng)過點（1）求點的坐標；（2）求拋物線的解析式；BACxy（0，2）（1，0）（第25題）（3）在拋物線上是否還存在點（點除外），使仍然是以為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點的坐標；若不存在，請說明理由（1）過點作軸，垂足為，；1分又，2分3分點的坐標為；4分（2）拋物線經(jīng)過點，則得到，5分解得，所以拋物線的解析式為；7分（3）假設存在點，使得仍然是以為直角邊的等腰直角三角形：若以點為直角頂點；則延長至點，使得，得到等腰直角三角形，8分過點作軸，10分，可求得點；11分若以點為直角頂點；則過點作，且使得，得到等腰直角三角形，12分過點作軸，同理可證；13分，可求得點；14分經(jīng)檢驗，點與點都在拋物線上16分22. （達州）（9分）如圖11，拋