高中數(shù)學(xué)排列組合染色問題典例講解

1、排列組合染色問題的探究上饒縣二中 徐 凱 在任教高二數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，有許多同學(xué)被排列組合題的靈活性所困惑，甚至有學(xué)生向我詢問有沒有公式之類的解決途徑，每道題都去分析似乎很累。其實(shí)就某些特殊的排列組合問題是可以抽象出數(shù)學(xué)模型來(lái)加以研究的，比如說(shuō)下面我們所要提到的染色問題。一、一個(gè)結(jié)論。若把一個(gè)圓（除中間同心圓外的圓環(huán)部分）分成n份( n > 1) , 每部分染一種顏色且相鄰部分不能染同種顏色, 現(xiàn)有m (m > 1) 種不同顏色可供使用, 那么共有S種染色方法。例：在一個(gè)圓形花壇種顏色花卉，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，要求相鄰兩個(gè)區(qū)域不同色，則共有多少種方法？解：從圖中可以發(fā)現(xiàn)除同心圓部分外的

2、圓環(huán)部分被分成了n=5份，因?yàn)橛?種顏色可供選擇，我們先給同心圓染色有4種方法，那么圓環(huán)部分有3種顏色可供選擇，即m=3,所以圓環(huán)部分共有S=種染色方法，從而整個(gè)圓形花壇共有種染色方法。用常規(guī)方法同學(xué)們是否也能做到那么快和準(zhǔn)確呢？1-1二、結(jié)論的證明。把圓(除中間同心圓部分)分成n份( n > 1) , 每部分染一種顏色且相鄰。部分不能染同種顏色, 現(xiàn)有m (m > 1) 種不同顏色可供使用, 求不同的染色方法總數(shù)。(1) 當(dāng)m = 2時(shí), n為偶數(shù)時(shí)有2種栽種法,n為奇數(shù)時(shí)無(wú)解。(2) 當(dāng)m > 2時(shí)2-1設(shè)把圓分成的n 部分為。開始時(shí),有m 種不同的染色法; 染好后, 有m - 1 種染色法;染好后,也有m - 1種染色法; 這樣依次下去, 染色的方法總數(shù)為。但是在這些染色方法中, 包括與染同種顏色的情況,若某種染色法使與同色, 拆去與的邊界后, 就是分圓為n-1部分, 相鄰部分染不同顏色的方法。因此, 把圓分成n部分時(shí), 設(shè)染色方法的總數(shù)為,當(dāng)n = 2時(shí),當(dāng)n = 3、4、5、時(shí), 有此時(shí)問題可轉(zhuǎn)化為: 在數(shù)列中，已知得： （m>2）3-23-1三、練習(xí)。在平時(shí)做習(xí)題時(shí)，我們肯定還見過下面這些圖形：3-3提示：挖掘共同點(diǎn)我們可以把上面的圖形通過變形轉(zhuǎn)化為下列圖形。這樣一來(lái)就很容易的轉(zhuǎn)變成為剛開始我們所說(shuō)