海岸線與分形

1、海岸線與分形（劉婷 數學科學學院 06205006）我們生活的世界里充滿了分形，喧鬧的都市生活、美輪美奐的自然風光、復雜的生命現(xiàn)象、蜿蜒曲折的海岸線，坑坑洼洼的地面等都到處有分形的影子。電話卡、頭巾、書簽、包裝材料的圖案也表現(xiàn)了豐富的現(xiàn)象（如圖1）。那么到底是什么導致分形幾何的產生？分形幾何又與我們平時學習的幾何有什么不同呢？我們試圖給出問題的答案。 圖1一、經典幾何的特點兩千多年來，古希臘人創(chuàng)立的幾何學，一直是人們認識自然物體形狀的有力工具。經典幾何學所描繪的都是由直線或曲線、平面或曲面、平直體或曲體所構成的各種幾何形狀，它們是現(xiàn)實世界中物體形狀的高度抽象。天文學家們用這種幾何知識構造了多種

2、宇宙理論，建筑師們利用它設計出大量宏偉的建筑；以致于近代物理學的奠基者、偉大的科學家伽利略極其權威地斷言：大自然的語言是數學，“它的標志是三角形、圓和其他幾何圖形”。在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習慣于整數的維數。在數學上,把歐氏空間的幾何對象連續(xù)地拉伸、壓縮、扭曲,維數也不變,這就是拓撲維數。自然界的現(xiàn)象通常都發(fā)生在某種特征標度上，如特征長度、特征時間等特征尺度上。科學家關于事物特征的描述最基本的莫過于問它有多大，持續(xù)多久。這都是依賴于標度（尺度）的一些基本性質。每種事物都有其

3、特征尺度，例如天體物理學家描寫的宇宙結構，大約在數百萬光年的范圍上；生物學家認識的微生物的結構大約有微米的長度；物理學家研究的夸克，約在10-13厘米的數量級上。每一個具體事物，都與特定的尺度相聯(lián)系。幾厘米長的昆蟲與幾米、十幾米大小的巨獸在形態(tài)、結構上必然極不相同，否則它們就無法生存和繁衍。楚辭·卜居中說：“夫尺有所短，寸有所長”。這也是說事物都有其自己的特征尺度，要用適宜的尺去測度。用寸來量度細菌，用尺來量度萬里長城，前者失之過長，后者又嫌太短。所以，標度是十分重要的。試圖對自然現(xiàn)象做定量描寫時，就必須從特征尺度入手。一個好的理論模型，往往要涉及三個層次：首先是由特征尺度確定的基本

4、層次；更大尺度的環(huán)境就用“平均場”和決定外力的“位勢”等描寫；更小尺度上的相互作用，則以“摩擦系數”、“擴散系數”等得自于實驗的“常數”來表征。如果要從理論上對這些系數做出闡明和推算，那就必須從物質運動的更深入細微的層次上進行探討。傳統(tǒng)幾何學的功能并不是那么大的，它所描述的只是那些具有光滑性即可微性（可切性），至少是分段分片光滑的規(guī)則形體。這類形體在自然界里只占極少數。自然界里普遍存在的幾何形體大多數是不規(guī)則的、不光滑的、不可微的，甚至是不連續(xù)的。如蜿蜒起伏的山脈，曲折凸凹的海岸線，坑坑洼洼的地面，枝干縱橫的樹枝，團塊交疊的浮云，孔穴交錯的蛋糕真是奇形怪狀，千姿百態(tài)。這些形狀和經典幾何學所描述

5、的形狀，真是大相徑庭。對于了解自然界的復雜性來講，歐幾里得幾何學是一種不充分、不具有普遍性的抽象。二、分形幾何產生的前奏二十世紀七十年代，法國數學家曼德爾勃羅特在他的著作中討論英國海岸線的長度。他發(fā)現(xiàn)，關于“某一段海岸線有多長”這一問題，初看起來，似乎是一個很簡單的問題，但要明確回答，極不容易他最初是在英國科學家理查遜的一篇鮮為人知的文章中遇到海岸線問題的理查遜曾探索過大量關于自然界復雜現(xiàn)象的問題，并對海岸線和國境線的測量問題感到懷疑，他核查了西班牙、葡萄牙、比利時和荷蘭的百科全書，發(fā)現(xiàn)這些國家對他們共同邊界長度的估計相差競達20%！曼德勃羅對這個問題發(fā)生興趣，并進行了分析研究，提出“英國海岸

6、線有多長”的問題，他對此問題的回答是：海岸線的長度是不確定的！海岸線的長度取決于測量時所用的尺度為什么是這樣呢？設想測量員用兩腳規(guī)，把它張成一定的長度，例如r1，然后沿著海岸線，一步一步地測量，所得數為Nr1則海岸線在這一尺度下的近似長度為l1=Nr1×r1，說“近似”，是出為測量時忽略了小于r1的那些些曲曲彎彎的曲線見圖1如果把兩腳規(guī)張成較r1小的長度，比如r2(r2r1再沿著海岸線一步一步地測量，所得數為Nr2則海岸線在該尺度下的近似長度為l2=Nr2×r2，“近似”理由同上，此時，那些小于r2的彎彎曲曲的海岸線仍被忽略了，如此下去，會得到關于海岸線長度的一系列不同結果

7、：l1，l2，ln，并且顯然有l(wèi)1l2ln于是便產生了以下問題：海岸線長度(歐氏幾何中的傳統(tǒng)長度概念)是無窮？不能精確測量？如何解決這一問題？顯然，傳統(tǒng)的幾何方法和計算已不適合這類不規(guī)則曲線(或圖形)了這個問題的解決取決于測量所使用的尺度。采用公里做單位，一些幾米和幾十米的曲折會被忽略，如果采用米做單位，測得的長度會曾加，但厘米以下的量仍然無法反映，測量單位的縮小使測得的長度曾加，由于在自然尺度之間有許多個數量級，這種曾加不會停止，海岸線的長度會趨于無限長。也就是說，長度不是海岸線的定量特征。曼德勃羅經研究發(fā)現(xiàn)，雖然海岸線長度不能測量，但它卻具有某種特征性的“粗糙度”，在給出構造圖形的某種技巧

8、或給出某些數據后，可計算出它的“維數”，從而解決了海岸線的測量問題，使得用傳統(tǒng)方法測量時，在不同尺度下不規(guī)則的程度保持不變，即通過計算“維數”的方法，去刻畫一類事物的不規(guī)則性這里的“維數”，粗略地說，是對一個集合允滿空間程度的一種描述。Cantor在1883年構造了如下一類集合：取一段歐式長度為l的直線段，將該線段三等分，去掉中間的一段，剩下兩段。再將剩下的兩段分別三等分，各去掉中間的一段，剩下四段。將這個操作進行下去，直至無窮，可得到一個離散的點集，點數趨于無窮多，而長度趨于零。經無限次操作所得到的離散點集稱為Cantor集。瑞典數學家科赫（H.von Koch）在1904年提出了一種曲線，

9、它的生成方法是把一條直線段分成三段，將中間的一段用夾角為60度的兩條等長折線來代替，形成一個生成元，然后再把每個直線段用生成元進行代換，經無窮次迭代后就呈現(xiàn)出一條有無窮多彎曲的Koch曲線。它們都是經典幾何無法描述的圖形，是一種“只有皮沒有肉”的幾何集合。 它們都具有無窮多個自相似的內部結構，任何一個分割后的圖形放大后都是原來圖形的翻版。國數學家曼德爾勃羅特這位計算機和數學兼通的人物，對分形幾何產生了重大的推動作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本書，特別是分形形、機遇和維數以及自然界中的分形幾何學，開創(chuàng)了新的數學分支分形幾何學。三、分形幾何的內容分形幾何突破了經典

10、幾何的束縛，它把目光也投射在了那些極不規(guī)則的的，處處不光滑的圖形，否定了關于事物大小和久暫的區(qū)分的絕對標度性，不具有特征標度，它是跨越尺度的對稱性；它在不同測量尺度上看去差不多一樣，是一種“無窮嵌套的自相似結構”，因此對于大自然的某些現(xiàn)象，去尋求特征尺度是毫無意義的。分形幾何的思想是客觀事物具有自相似的層次結構，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等方面具有統(tǒng)計意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結構，適當的放大或縮小幾何尺寸，整個結構不變。“大自然在所有標度上同時起作用”。自然

11、界的許多事物在其內部的各個層次上都具有自相似的結構，在一個花樣內部還有更小的同樣的花樣?！胺中巍本鸵馕吨白韵嗨啤?。一個幾何圖形，如果它的組成部分與圖形整體之間有某種相似性，就稱為“分形”?！白韵嗨啤钡乃枷朐谌祟愇幕母鱾€方面都有所反映。中國古代就有“袖里有乾坤，壺中有日月”和“一塵一世界”的說法。分維,作為分形的定量表征和基本參數,是分形理論的又一重要原則。分維,又稱分形維或分數維,通常用分數或帶小數點的數表示。長期以來人們習慣于將點定義為零維,直線為一維,平面為二維,空間為三維,愛因斯坦在相對論中引入時間維,就形成四維時空。對某一問題給予多方面的考慮,可建立高維空間,但都是整數維。在數學上

12、,把歐氏空間的幾何對象連續(xù)地拉伸、壓縮、扭曲,維數也不變,這就是拓撲維數。然而,這種傳統(tǒng)的維數觀受到了挑戰(zhàn)。曼德布羅特曾描述過一個繩球的維數:從很遠的距離觀察這個繩球,可看作一點(零維);從較近的距離觀察,它充滿了一個球形空間(三維);再近一些,就看到了繩子(一維);再向微觀深入,繩子又變成了三維的柱,三維的柱又可分解成一維的纖維。那么,介于這些觀察點之間的中間狀態(tài)又如何呢?顯然,并沒有繩球從三維對象變成一維對象的確切界限。數學家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了連續(xù)空間的概念,也就是空間維數是可以連續(xù)變化的,它可以是整數也可以是分數,稱為豪斯道夫維數。記作Df,一般的表達式為:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取對數并整理得Df=lnK/lnL,其中L為某客體沿其每個獨立方向皆擴大的倍數,K為得到的新客體是原客體的倍數。顯然,Df在一般情況下是一個分數。因此,曼德布羅特也把分形定義為豪斯道夫維數大于或等于拓撲維數的集合。 分形幾何和歐氏幾何的維度又有異曲同工之處。根據相似性來看線段、正方形和立方體的維數。首先把線段、正方形和立方體的邊兩等分，這樣，線段成為長度一半的兩