平面問題的極坐標解

1、第七章 平面問題的極坐標解.內容介紹在彈性力學問題的處理時，坐標系的選擇從本質上講并不影響問題的求解，但是坐標的 選取直接影響邊界條件的描述形式，從而關系到問題求解的難易程度。對于圓形，楔形，扇形等工程構件，采用極坐標系統(tǒng)求解將比直角坐標 系統(tǒng)要方便的多。本章的任務就是推導極坐標表示的彈性力學平面問題根本方 程，并且求解一些典型問題。.重點1. 根本未知量和根本方程的極坐標形式；2. 雙調和方程的極坐標形式；3. 軸對稱應力與厚壁圓筒應力；4. 曲梁純彎曲、楔形體和圓孔等典型問題。知識點極坐標下的應力分量 極坐標下的應變分量 極坐標系的 Laplace 算符 軸對稱應力分量 軸對稱位移和應力表

2、達式 曲梁純彎曲 純彎曲位移與平面假設 帶圓孔平板拉伸問題 楔形體問題的應力函數(shù) 楔形體應力 楔形體受集中力偶作用 極坐標平衡微分方程 幾何方程的極坐標表達 應力函數(shù) 軸對稱位移 厚壁圓筒作用均勻壓力 曲梁彎曲應力 曲梁作用徑向集中力 孔口應力 楔形體邊界條件 半無限平面作用集中力討論題： 楔形體頂端應力和無窮遠應力分析§7.1平面問題極坐標解的根本方程學習思路：選取極坐標系處理彈性力學平面問題，首先必須將彈性力學的根本方程 以及邊界條件通過極坐標形式描述和表達。本節(jié)的主要工作是介紹根本物理量，包括位移、應力和應變的極坐標形 式；并且將根本方程，包括平衡微分方程、幾何方程和本構關系轉

3、化為極坐標形 式。由于仍然采用應力解法，因此應力函數(shù)的極坐標表達是必要的。應該注意的是坐標系的選取與問題求解性質無關，因此彈性力學直角坐 標解的根本概念仍然適用于極坐標。學習要點：1. 極坐標下的應力分量；2. 極坐標平衡微分方程；3. 極坐標下的應變分量；4. 幾何方程的極坐標表達；5. 本構方程的極坐標表達；6. 極坐標系的Laplace算符；7. 應力函數(shù)。為了說明極坐標系統(tǒng)中的應力分量，從考察的平面物體中分割出微分單元體 ABCD，其由兩個相距d'的圓柱面和互成d：:的兩個徑向面構成，如下圖在極坐標系中，用 叩表示徑向正應力，用0p表示環(huán)向正應力，卻和巒 分別表示圓柱面和徑向面

4、的切應力，根據切應力互等定理，暫首先推導平衡微分方程的極坐標形式?？紤]到應力分量是隨位置的變化，如果假設AB面上的應力分量為 二和 '：.!/ ,那么CD面上的應力分量為如果AD面上的應力分量為和 ，那么BC面上的應力分量為同時，體力分量在極坐標徑向和環(huán)向方向的分量分別為Fb：；和Fb設單元體的厚度為1,如下圖，考察其平衡。首先討論徑向的平衡，注意到d® da? sin-2 2cos 12,可以得到5 +魯如S+3)呦 S-(i等乎弓 Ap ¥ + J*d 卩)dp -+ F“ pApA(p = 0簡化上式，并且略去三階微量，那么込亠二亠“ + =0dp p 8pp

5、“同理，考慮微分單元體切向平衡，可得(片 + d)d/j+ J +<1)(/? + d/?)d - r pA(p +G 爭o(p簡化上式，可以得到極坐標系下的平衡微分方程，即以下推導極坐標系統(tǒng)的幾何方程。在極坐標系中，位移分量為u：, u，分別為徑向位移和環(huán)向位移。極坐標對應的應變分量為：徑向線應變 邙，即徑向微分線段的正應變； 環(huán)向線應變二為環(huán)向微分線段的正應變；切應變L為徑向和環(huán)向微分線段之間的 直角改變量。首先討論線應變與位移分量的關系,分別考慮徑向位移環(huán)向位移u：； u所引起的應變。fi如果只有徑向位移u：,如下圖，借助于與直角坐標同樣的推導，可以占# 二一-得到徑向微分線段AD

6、的線應變?yōu)檎?環(huán)向微分線段AB='d的相對伸長為八_如果只有環(huán)向位移時，徑向微分線段線沒有變形，如下圖，環(huán)向微分線段的相對伸長為 J V ；將上述結果相加，可以得到正應變分量F面考察切應變與位移之間的關系。設微分單元體ABCD在變形后變?yōu)锳'BCD'，如下圖，1叫表示徑向微分線段AD向方向轉過的角度，因此角應等于因此切應變?yōu)?上式中 表示環(huán)向微分線段AB向方向轉過的角度，即a -A點的環(huán)向位移除以該點的徑向坐標 ，即卩將上述結果回代，那么一點的切應變_ 1加料叫%恥 p 3爭 dp p綜上所述，可以得到極坐標系的幾何方程為由于討論的物體是各向同性材料的，因此極坐標系的本

7、構方程與直角坐標的表達 形式是相同的，只要將其中的坐標 x和y換成和就可以了。對于平面應力問題，有%二*卩-心甩二右研叫_ 21 +叭F p護廠廠 < 護護對于平面應變問題，只要將上述公式中的彈性常數(shù) E, 分別換為1 -， v爲二二1就可以。平面冋題以應力分量形式表達的變形協(xié)調方程在直角坐標系中為于Cx7y= ；：+；為應力不變量，因此對于極坐標問題，僅需要將直角坐標中的曠6+丐=0。由Laplace算符aJ *子丹眇1轉換為極坐標的形式。因為, 和，和分別對x=cos : y=sin '，即x和y求偏導數(shù)，可得p=y/P+yy- arctan x。將Py空 _ _ 71礦FZ

8、 x2一 一sin 伊，P&P =空二I二一cos <pX1 + Z1 Dx2根據上述關系式，可得以下運算符9% 2% 些敗¥ - = ±敗±眇1 s iffo 丄 p 1 - 2% B 一 毋p s 1 Joln c s91 .方、/91 .3、=(cos - sin -)(cos- - sin )辦dp pop pd 赧322sin<cos, sinJ d , 2sin <pcos<p d , sinJ 0 d-COS G> + + 產3/?p3成甲p dp p 兩 q 刊百滬-9 + 13I 3TT 一 (sm-+ co

9、sp)(sin_ + cos-)dydp p dipdp p d<p.93 cos2 -sina d2 sincos d-sin 伊e t +;+Bppa成®p spcosJ p - sin29 sin pcos <p 32b 3卩 p1 如a2將以上兩式相加，簡化可以得到極坐標系的Laplace算符。護二蘭+蘭二蘭+丄2+丄蘭&2 孫 dp2 p dp p1 閔b + b 二 b + b另外，注意到應力不變量，因此在極坐標系下，平面問題的由應力表達的變形協(xié)調方程變換為+丄£+占蟲勺+=°p dp p dp如果彈性體體力為零，那么可以采用應力函

10、數(shù)解法求解。不難證明以下應力表達式 是滿足平衡微分方程的，這里?, 是極坐標形式的應力函數(shù)，假設其具有連續(xù)到四階的偏導 數(shù)。將上述應力分量表達式代入變形協(xié)調方程，可得顯然這是極坐標形式的雙調和方程。總而言之，用極坐標解彈性力學的平面問題，與直角坐標求解一樣，都 歸結為在給定的邊界條件下求解雙調和方程。在應力函數(shù)解出后，可以應用應力分量表達式p dp p1 dtp2求解應力，然后通過物理方程和幾何方程% 切求解應變分量和弓=£屯® 弘二右空_叫_ % 二21 + 叭 丫西 QE位移分量。§7.2軸對稱問題的應力和相應的位移學習思路：如果彈性體的結構幾何形狀、材料性質

11、和邊界條件等均對稱于某一個軸 時，稱為軸對稱結構。軸對稱結構的應力分量與 無關，稱為軸對稱應力。如果 位移也與無關，稱為軸對稱位移問題。本節(jié)首先根據應力分量與®無關的條件，推導軸對稱應力表達式。這個 公式有3個待定系數(shù)，僅僅根據軸對稱應力問題的邊界條件是不能確定的。因此討論軸對稱位移，根據胡克定理的前兩式，得到環(huán)向位移和徑向位移公式，然后 代入胡克定理第三式，確定待定函數(shù)。軸對稱問題的實質是一維問題，因此對于軸對稱問題，均可以得到相應 的解答。應該注意的問題是如何確定軸對稱問題。學習要點：1. 軸對稱應力分量；2. 軸對稱位移；3. 軸對稱位移函數(shù)推導；4. 軸對稱位移和應力表達式。

12、考察彈性體的應力與無關的特殊情況，如下圖，即應力函數(shù)僅為坐標的函數(shù)。這樣，變形協(xié)調方程常微分方程丄丄3血+丄也40Ap2 p dp dp2 p Ap如將上式展開并在等號兩邊乘以 /，可得這是歐拉方程，對于這類方程，只要引入變換=£，那么方程可以變換為常系數(shù)的微分方程，有其通解為:他(t) = j4r + Btc2t + Cc2' + D注意到t = In二，那么方程的通解為訶f (p) = Anp + BpJ lnp + Cp + D將上式代入應力表達式 力分量為_ 1 擰軌 + 1 3 _31：，那么軸對稱應cr = 4 4- B(1 +21np) + 2CP dp pA=

13、-+ B(3+21np) + 2CP上述公式表達的應力分量是關于坐標原點對稱分布的,因此稱為軸對稱應力?，F(xiàn)在考察與軸對稱應力相對應的變形和位移。甲二右叮r -匸"_ 2Q + 叭對于平面應力問題，可得應變分量將應力分量代入物理方程'以丁，1/為=一(1 + v)- + (l-3y)B + 2(1 - v)Bliip + 2(1 - i/)C EP1ae - 一-(1 + f)二 + (3 - y)B + 2(1- )BIn p + 2(1 - v)C Epy =0根據上述公式可見，應變分量也是軸對稱的。將上式代入幾何方程-"dP二土 +丄理© P P &a

14、mp;劈y _ 1込匹一蹲P 3®P ，可得位移關系式1A(1+17) + 0- -3v)B+ 2(1 -p) Sin/? + 2(1 - v)CEp1 du“ 1A+= -0. + I/)T + (3 -v)B + 2(1 -i/)B1iip +2(1- y)Cp p dip Ep1 du±_ + -_L = opdp p對上述公式的第一式a% i r a.,=一(1 + v) + Q -3v)B+ 2(1 -v)Sinp + 2(1- iz)C -1川的積分，可得A其中f()為的任意函數(shù)。將上式代入 公式的第二式，電*丄%1M p p E覦廠曰Q 3) + 2(L -討

15、)石的 p -1) + (l-3v)Bp + 2(1- v)Cp + /(P) 已D二-0. + v)- + (3 -v)5 + 2(1 -i/)Bh p + 2(1- v)C廠P那么積分后可得% =1-J y(p)d + f(p)這里g (P)為P的任意函數(shù)。 將徑向位移1A島二-Q u + 2L - 1/勞迺夕-1 + 1 -3忖勵 + 21 -* 丁卩1?和環(huán)向位移他切+ gp的結果代入公式的第三式1 du du u丄p ,0?pF= UP呦8p，那么丄絕+業(yè)L& +丄|了刖廠0 pdp p pJ或者寫作dp aq 上式等號左邊為P的函數(shù)，而右邊為護的函數(shù)。顯然假設使上式對所有的

16、 和都成立，只有如- Q警訂弓譽+打卩d卩=F其中F為任意常數(shù)。以上方程第一式的通解為gp = Hp + F這里H為任意常數(shù)。為了求出 f ，將方程的第二式對 ：求一次導數(shù)，可得其通解為fp二 /win ° + Kcosp另外| f (tp) A<p - F -F -1 cos Ksn(p A<p將上述公式分別代入位移表達式1A就 P 二曰-Q + 卩)一+ 2(L-卩)0仙戸-1) + (1-3卩)砂+ 2(1-05 + /'(卩) 也P可得位移分量的表達式1. Ag 二-(1 + “)一 + 2Q - )Bp(ln p-1) + (l-3y)Bp + 2(1-

17、 i/)C/?+ fsin® + Keg® Ep= 4?卑 + Hp - I sin 爭 + K cos 訶位移分量的表達式1Au = 一-(1 + v) + 2(1 - p) Bp(n p -1) + (1 - 3v) Bp +2(1- v)Cp + J sin 毋 + Epuf =乳護 + Hp - / win 卩 + 疋 cos 卩中的A, B, C, H , I, K都是待定常數(shù)，其取決于邊界條件和約束條件。上述公式說明應力軸對稱并不表示位移也是軸對稱的。但是在軸對稱應力中，假設物體的幾何形狀和外力，包括幾何約束都是 軸對稱的，貝U位移也應該是軸對稱的。這時，物體內

18、各點的環(huán)向位移均應為零， 即不管和取什么值，都應有u = 0。因此，B= H = I = K = 0。所以，軸對稱應力表達式可以簡化為A » 竹二p*2CPA=- +2C而位移表達式簡化為1A Q + v) +2(1 - v)Cp此P上述公式當然也可以用于平面應變問題，只要將E，-.分別換為 1 " 卩爲二M 二I 即可。§7.3圓筒受均勻分布壓力的作用學習思路：本節(jié)介紹典型的軸對稱問題，厚壁圓筒作用均勻壓力的求解。問題的主要工作是通過邊界條件確定軸對稱應力公式中的待定系數(shù)。除了厚壁圓筒作用內外壓力，還分析了作用內壓力的圓筒應力分布。這個解答工程上稱為拉梅(Lam!)解答，是厚壁圓筒等工程問題的經典 解答。學習要點：1. 厚壁圓筒內外作用均勻壓力；2. 厚壁圓筒受內壓力；設有圓筒或圓環(huán)，如下圖。內半徑為a,外