千題百煉——高中數(shù)學100個熱點問題(三)：第100煉-利用同構特點解決問題

1、第 100 煉 利用同構特點解決問題、根底知識：1、同構式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式2、同構式的應用：1在方程中的應用：如果方程 fa 0和f b0呈現(xiàn)同構特征，那么 a,b可視為方程f x 0 的兩個根2 在不等式中的應用：如果不等式的兩側呈現(xiàn)同構特征，那么可將相同的結構構造為一個函數(shù)，進而和函數(shù)的單調性找到聯(lián)系。可比擬大小或解不等式3在解析幾何中的應用： 如果 A x1,y1 ,B x2,y2 滿足的方程為同構式，那么 A,B 為方程所表示曲線上的兩點。 特別的，假設滿足的方程是直線方程，那么該方程即為直線AB 的方程4在數(shù)列中的應用：可將遞推公式變形為“依序同構的特征，即

2、關于an,n 與an 1,n 1 的同構式，從而將同構式設為輔助數(shù)列便于求解二、典型例題：x1 ： 2022 天津十二校聯(lián)考 設 x,y R ，滿足yA.B. 2C.此題研究對 象 并 非 x, y ， 而 是2x2ysinsinx1y1D.，進，那么 x y可變形為552552x1y1sin x 1 1 ，觀察上下式子左邊結構相同， sin y 1 1進而可將相同的結構視為一個函數(shù)，而等式右邊兩個結果互為相反數(shù)，可聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，從而利用函數(shù)性質求解解：2x sinx12 x 1 sin x 12y siny12 y 1 sin y 1t52t sint ，可得 f為奇函數(shù)，由題意可得：

3、x1y1x 1 y 1 x y 2答案：Ba b例2：假設函數(shù)f x . x 1 m在區(qū)間a,b上的值域為 一，一 b a 1，那么實數(shù)m的2 2取值范圍是思路：注意到f x是增函數(shù)，從而得到廠m里b2一，即2，發(fā)現(xiàn)2b 1 m2兩個式子為a,b的同構式，進而將同構式視為一個方程,而a,b為該方程的兩個根，m的取值只需要保證方程有兩根即可解：丁 f x為增函數(shù)a 一，f b2一2一2a, b為方程.x 1上的兩個根,1有兩個不同的根令t ,x 1 t 0t2所以方程變形為：m2t2 2t 1，結合圖像可得:0g1答案：m 0,2例 3：設 a,bER，那么 | “ ab 是“ aa'b

4、b 的A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充要又不必要條件思路：觀察a a?b b可發(fā)現(xiàn)其同構的特點，所以將這種結構設為函數(shù)f x x x，分析其單調性。f X x xx2,xx2, x可得f x為增函數(shù)。所以a>b J- f a即a二b 3 abb，所以是充要條件答案：C例4：假設0為x2 1,那么 A.ex2eXl Inx2In x1B.eXl ex2 Inx2In x1C.x2exi x1ex2D.x2exi x2答案：c思路：此題從選項出發(fā)可發(fā)現(xiàn)，每個選項通過不等式變形將x1,x2分居在不等式兩側后都具備同構的特點，所以考慮將相同的形式構造為函數(shù)，從而只需判斷

5、函數(shù)在0,1的單調性D 選項：x2e" x1ex2ex1，同樣構造f xX2xe，由C選項分析可知D錯誤x即可解：A 選項：ex2In x2In x1eX2In x2eX1In x1，設 f xex In x1x 1xex1x1xfx e，設g xxe1，那么有gxx 1 e0恒成立，所xx以gx在0,1單調遞增,所以g 010,g 1 e1 0，從而存在x°0,1 ，使得gx。0，由單調性可判斷出：x10,X° ,g x 0f' x0,xXo,1,g' x 0f x 0，所以f X在0,1不單調，不等式不會恒成立B 選項：ex2 lnx2In x

6、1e51In x1eX2In x2，設 f xexIn x可知f x單調遞增。所以應該 f x1 fX2，B錯誤ex1ex2Xex 1 exC 選項：x2ex1e構造函數(shù)f X，f X2，那么%X2XXf x 0在x 0,1恒成立。所以f x在0,1單調遞減，所以f Xif X2成立答案：Cxfx 1x 1 f:X，那么 f20222的值是01C. 15A.B.-D.的形式,2 2f x 1 f x思路：觀察條件可變形為：，從而得到等式左右的結構均為x 1 x且括號內的數(shù)間隔為1。所以f 202222022f 202220221212。因為f1為偶函數(shù)，所以f 12f -f -1,由-222可

7、得f11f0，進而2112222222f 202220222答案：A例6：如果cos553sin 7 sincos30,2，那么的取值范圍是sin ,cos 的項分居在不等號兩側： cos57cos3sin57sin3 ，那么左右呈現(xiàn)同構的特點，將相同的結構設為函數(shù)f cosf sin 等價于cossin ，即 sincos02 sin40，所53x x 7x ，能夠判斷f x是奇函數(shù)且單調遞增。所以不等式2k k Z，結合°，2，可得；，以2k思路：此題很難直接去解不等式，觀察式子特點可發(fā)現(xiàn)假設將關于答案:例7：如圖，設點Pby。曲線x2 y21的兩條切線AB過某一個定點解：設A

8、x1,y1 ,bX2,y2那么 PA: yY1k :X 片y可得：2 .kx12Xkxy11k2 x22k y1kx11所以在直線x m y m,0 m 1,且m為常數(shù) 上，過點P作雙,PA的斜率為，聯(lián)立方程y2X，整理可得:yikx1y1 k2yk2x：2 /x-!2 24k y1 kx12y1kx12kx1y12x1y1kx_y1PA: yy1同理，切線yikxik22X1x_y11 k22X12X1k2xx12y1 ,y1y* X1y1yx1xPB的方程為y2y在切線PA,PB上,A, B滿足直線方程y°y mxAB : y0y mx 1所以當x1x所以有PA, PB，切點為

9、A, B，因為PA與雙曲線相切1 k2022kx1 y-iy 102X1代入可得:mx1 1mx2 1而兩點唯一確定一條直線丄m時，無論y°為何值，等式均成立011點 ,0恒在直線AB上，故無論P在何處，AB恒過定點,0mm例&橢圓c中心在原點，焦點在 x軸上，它的一個頂點為0,1，離心率為一廠551求橢圓C的方程2過右焦點F作直線丨交橢圓于A, B，交y軸于R，假設RAAF,RBBF，求解：1eC 2ba5 b1Ta22 c2b 1 解得a、5,c 22xC :5y2 12思路：此題肯定從 RAAF, RBBF入手，將向量關系翻譯成坐標的方程，但觀察發(fā)現(xiàn)兩個等式除了 代B不

10、同，系數(shù)，不同，其余字母均相同。且A x,y, ,B x2,y2也僅是角標不同。所以可推斷由RA AF,RB BF列出的方程是同構的， 而代B在同一橢圓上，所以如果用，表示x1,x2,y1,y2，代入橢圓方程中也可能是同構的。通過計算可得:2 102520k2 1025 20k0，所以0為方程x210x5 20k20的兩個不同根,進而利用韋達定理即可得到10解：由1得F 2,0，設直線I : yk x 2 ，可得 R 0, 2k，設 A x1,y1 , B x2, y2可得：RA x1,y1 2k ,AF2 x1, y1 ，由 RAAF可得:2x12 x1x1 1|y1 2ky1y2ky11因

11、為A在橢圓上，X； 5yi 5，將代入可得222k=54 220k25210520k20對于，RBX2,y22k,BF2X2,y2，RBBF同理可得：210520k207為方程X210x520k20的兩個不同根10例9 :函數(shù)XXa1a為正常數(shù)，假設g x InxX ,且對任意X1，X20,2必X2，都有g X2X2g X1-1,X1求a的取值范圍.思路：觀察到不等式為輪換對稱式，所以考慮定序以便于化簡，令x2 x1，那么不等式變形為g X2相同結構視為函數(shù)h xg X1X1X2，將相同變量放置一側，可發(fā)現(xiàn)左右具備同構特點，所以將g x X，從而由x2X-且h x2h X-可知只需h X為增函

12、數(shù)即可。從而只需不等式h x0恒成立即可，從而求出 a的范圍解：gX In X不妨設X1 X2，那么恒成立不等式轉化為:g X2g XiX1X2g X2X2XiXiX In X那么由X2h X-!恒成立和X1 X2可得:只需h在0,2單調遞增即可0恒成立2X 1恒成立X所以只需Xmin2x x 12x2Xmin10,單調遞減，在21丄,2單調遞增2a2例10:數(shù)列an求數(shù)列an的通項公式272滿足a1an思路：此題遞推公式較為復雜,到別離常數(shù)簡化分式，即an 11tn 11an 12 Fan 1tn 1an 11，即可設2項公式,進而求出an解：an2tn 1an設bn1bn 12t 3 t R,t 1，且2tn 13 an 2 t 1 tn 1nan 2t所以考慮先化簡分式，bn3 an2 t 1an2tn 1觀察到分子中含有分母的項，所以想2 tn 11 an2tn 1anan 1tn 1tn 11-，尋求相鄰同構的特點，轉化為，遞推公式變?yōu)閎n 1皀匚，那么能夠求出0通bn 22tn 12 an 2tn 1 2an2tn 1an2tn 12 tn 1 1 an1an2tn 1an 1tn 11an 1tn 1，bn 22bn2 tn 1an1 an 1- 12tn 12 a 1an 2tn 1那么遞推公式變?yōu)?bn 1丄bnan J 11tnbn