千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題(三)：第100煉-利用同構(gòu)特點(diǎn)解決問題

1、第 100 煉 利用同構(gòu)特點(diǎn)解決問題、根底知識(shí)：1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式2、同構(gòu)式的應(yīng)用：1在方程中的應(yīng)用：如果方程 fa 0和f b0呈現(xiàn)同構(gòu)特征，那么 a,b可視為方程f x 0 的兩個(gè)根2 在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，那么可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系?？杀葦M大小或解不等式3在解析幾何中的應(yīng)用： 如果 A x1,y1 ,B x2,y2 滿足的方程為同構(gòu)式，那么 A,B 為方程所表示曲線上的兩點(diǎn)。 特別的，假設(shè)滿足的方程是直線方程，那么該方程即為直線AB 的方程4在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)的特征，即

2、關(guān)于an,n 與an 1,n 1 的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解二、典型例題：x1 ： 2022 天津十二校聯(lián)考 設(shè) x,y R ，滿足yA.B. 2C.此題研究對(duì) 象 并 非 x, y ， 而 是2x2ysinsinx1y1D.，進(jìn)，那么 x y可變形為552552x1y1sin x 1 1 ，觀察上下式子左邊結(jié)構(gòu)相同， sin y 1 1進(jìn)而可將相同的結(jié)構(gòu)視為一個(gè)函數(shù)，而等式右邊兩個(gè)結(jié)果互為相反數(shù)，可聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，從而利用函數(shù)性質(zhì)求解解：2x sinx12 x 1 sin x 12y siny12 y 1 sin y 1t52t sint ，可得 f為奇函數(shù)，由題意可得：

3、x1y1x 1 y 1 x y 2答案：Ba b例2：假設(shè)函數(shù)f x . x 1 m在區(qū)間a,b上的值域?yàn)?一，一 b a 1，那么實(shí)數(shù)m的2 2取值范圍是思路：注意到f x是增函數(shù)，從而得到廠m里b2一，即2，發(fā)現(xiàn)2b 1 m2兩個(gè)式子為a,b的同構(gòu)式，進(jìn)而將同構(gòu)式視為一個(gè)方程,而a,b為該方程的兩個(gè)根，m的取值只需要保證方程有兩根即可解：丁 f x為增函數(shù)a 一，f b2一2一2a, b為方程.x 1上的兩個(gè)根,1有兩個(gè)不同的根令t ,x 1 t 0t2所以方程變形為：m2t2 2t 1，結(jié)合圖像可得:0g1答案：m 0,2例 3：設(shè) a,bER，那么 | “ ab 是“ aa'b

4、b 的A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充要又不必要條件思路：觀察a a?b b可發(fā)現(xiàn)其同構(gòu)的特點(diǎn)，所以將這種結(jié)構(gòu)設(shè)為函數(shù)f x x x，分析其單調(diào)性。f X x xx2,xx2, x可得f x為增函數(shù)。所以a>b J- f a即a二b 3 abb，所以是充要條件答案：C例4：假設(shè)0為x2 1,那么 A.ex2eXl Inx2In x1B.eXl ex2 Inx2In x1C.x2exi x1ex2D.x2exi x2答案：c思路：此題從選項(xiàng)出發(fā)可發(fā)現(xiàn)，每個(gè)選項(xiàng)通過不等式變形將x1,x2分居在不等式兩側(cè)后都具備同構(gòu)的特點(diǎn)，所以考慮將相同的形式構(gòu)造為函數(shù)，從而只需判斷

5、函數(shù)在0,1的單調(diào)性D 選項(xiàng)：x2e" x1ex2ex1，同樣構(gòu)造f xX2xe，由C選項(xiàng)分析可知D錯(cuò)誤x即可解：A 選項(xiàng)：ex2In x2In x1eX2In x2eX1In x1，設(shè) f xex In x1x 1xex1x1xfx e，設(shè)g xxe1，那么有g(shù)xx 1 e0恒成立，所xx以gx在0,1單調(diào)遞增,所以g 010,g 1 e1 0，從而存在x°0,1 ，使得gx。0，由單調(diào)性可判斷出：x10,X° ,g x 0f' x0,xXo,1,g' x 0f x 0，所以f X在0,1不單調(diào)，不等式不會(huì)恒成立B 選項(xiàng)：ex2 lnx2In x

6、1e51In x1eX2In x2，設(shè) f xexIn x可知f x單調(diào)遞增。所以應(yīng)該 f x1 fX2，B錯(cuò)誤ex1ex2Xex 1 exC 選項(xiàng)：x2ex1e構(gòu)造函數(shù)f X，f X2，那么%X2XXf x 0在x 0,1恒成立。所以f x在0,1單調(diào)遞減，所以f Xif X2成立答案：Cxfx 1x 1 f:X，那么 f20222的值是01C. 15A.B.-D.的形式,2 2f x 1 f x思路：觀察條件可變形為：，從而得到等式左右的結(jié)構(gòu)均為x 1 x且括號(hào)內(nèi)的數(shù)間隔為1。所以f 202222022f 202220221212。因?yàn)閒1為偶函數(shù)，所以f 12f -f -1,由-222可

7、得f11f0，進(jìn)而2112222222f 202220222答案：A例6：如果cos553sin 7 sincos30,2，那么的取值范圍是sin ,cos 的項(xiàng)分居在不等號(hào)兩側(cè)： cos57cos3sin57sin3 ，那么左右呈現(xiàn)同構(gòu)的特點(diǎn)，將相同的結(jié)構(gòu)設(shè)為函數(shù)f cosf sin 等價(jià)于cossin ，即 sincos02 sin40，所53x x 7x ，能夠判斷f x是奇函數(shù)且單調(diào)遞增。所以不等式2k k Z，結(jié)合°，2，可得；，以2k思路：此題很難直接去解不等式，觀察式子特點(diǎn)可發(fā)現(xiàn)假設(shè)將關(guān)于答案:例7：如圖，設(shè)點(diǎn)Pby。曲線x2 y21的兩條切線AB過某一個(gè)定點(diǎn)解：設(shè)A

8、x1,y1 ,bX2,y2那么 PA: yY1k :X 片y可得：2 .kx12Xkxy11k2 x22k y1kx11所以在直線x m y m,0 m 1,且m為常數(shù) 上，過點(diǎn)P作雙,PA的斜率為，聯(lián)立方程y2X，整理可得:yikx1y1 k2yk2x：2 /x-!2 24k y1 kx12y1kx12kx1y12x1y1kx_y1PA: yy1同理，切線yikxik22X1x_y11 k22X12X1k2xx12y1 ,y1y* X1y1yx1xPB的方程為y2y在切線PA,PB上,A, B滿足直線方程y°y mxAB : y0y mx 1所以當(dāng)x1x所以有PA, PB，切點(diǎn)為

9、A, B，因?yàn)镻A與雙曲線相切1 k2022kx1 y-iy 102X1代入可得:mx1 1mx2 1而兩點(diǎn)唯一確定一條直線丄m時(shí)，無論y°為何值，等式均成立011點(diǎn) ,0恒在直線AB上，故無論P(yáng)在何處，AB恒過定點(diǎn),0mm例&橢圓c中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)為0,1，離心率為一廠551求橢圓C的方程2過右焦點(diǎn)F作直線丨交橢圓于A, B，交y軸于R，假設(shè)RAAF,RBBF，求解：1eC 2ba5 b1Ta22 c2b 1 解得a、5,c 22xC :5y2 12思路：此題肯定從 RAAF, RBBF入手，將向量關(guān)系翻譯成坐標(biāo)的方程，但觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)等式除了 代B不

10、同，系數(shù)，不同，其余字母均相同。且A x,y, ,B x2,y2也僅是角標(biāo)不同。所以可推斷由RA AF,RB BF列出的方程是同構(gòu)的， 而代B在同一橢圓上，所以如果用，表示x1,x2,y1,y2，代入橢圓方程中也可能是同構(gòu)的。通過計(jì)算可得:2 102520k2 1025 20k0，所以0為方程x210x5 20k20的兩個(gè)不同根,進(jìn)而利用韋達(dá)定理即可得到10解：由1得F 2,0，設(shè)直線I : yk x 2 ，可得 R 0, 2k，設(shè) A x1,y1 , B x2, y2可得：RA x1,y1 2k ,AF2 x1, y1 ，由 RAAF可得:2x12 x1x1 1|y1 2ky1y2ky11因

11、為A在橢圓上，X； 5yi 5，將代入可得222k=54 220k25210520k20對(duì)于，RBX2,y22k,BF2X2,y2，RBBF同理可得：210520k207為方程X210x520k20的兩個(gè)不同根10例9 :函數(shù)XXa1a為正常數(shù)，假設(shè)g x InxX ,且對(duì)任意X1，X20,2必X2，都有g(shù) X2X2g X1-1,X1求a的取值范圍.思路：觀察到不等式為輪換對(duì)稱式，所以考慮定序以便于化簡(jiǎn)，令x2 x1，那么不等式變形為g X2相同結(jié)構(gòu)視為函數(shù)h xg X1X1X2，將相同變量放置一側(cè)，可發(fā)現(xiàn)左右具備同構(gòu)特點(diǎn)，所以將g x X，從而由x2X-且h x2h X-可知只需h X為增函

12、數(shù)即可。從而只需不等式h x0恒成立即可，從而求出 a的范圍解：gX In X不妨設(shè)X1 X2，那么恒成立不等式轉(zhuǎn)化為:g X2g XiX1X2g X2X2XiXiX In X那么由X2h X-!恒成立和X1 X2可得:只需h在0,2單調(diào)遞增即可0恒成立2X 1恒成立X所以只需Xmin2x x 12x2Xmin10,單調(diào)遞減，在21丄,2單調(diào)遞增2a2例10:數(shù)列an求數(shù)列an的通項(xiàng)公式272滿足a1an思路：此題遞推公式較為復(fù)雜,到別離常數(shù)簡(jiǎn)化分式，即an 11tn 11an 12 Fan 1tn 1an 11，即可設(shè)2項(xiàng)公式,進(jìn)而求出an解：an2tn 1an設(shè)bn1bn 12t 3 t R,t 1，且2tn 13 an 2 t 1 tn 1nan 2t所以考慮先化簡(jiǎn)分式，bn3 an2 t 1an2tn 1觀察到分子中含有分母的項(xiàng)，所以想2 tn 11 an2tn 1anan 1tn 1tn 11-，尋求相鄰?fù)瑯?gòu)的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為，遞推公式變?yōu)閎n 1皀匚，那么能夠求出0通bn 22tn 12 an 2tn 1 2an2tn 1an2tn 12 tn 1 1 an1an2tn 1an 1tn 11an 1tn 1，bn 22bn2 tn 1an1 an 1- 12tn 12 a 1an 2tn 1那么遞推公式變?yōu)?bn 1丄bnan J 11tnbn