解析幾何圓錐曲線的概念及性質(zhì)

1、4.2解析幾何-圓錐曲線的概念及性質(zhì)一、選擇題1(2010·安徽)雙曲線方程為x22y21，則它的右焦點坐標為()A.B.C.D(，0)解析：原方程可化為1，a21，b2，c2a2b2，右焦點為.答案：C2(2010·天津)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是yx，它的一個焦點在拋物線y224x的準線上，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：漸近線方程是yx，.雙曲線的一個焦點在y224x的準線上，c6.又c2a2b2，由知，a29，b227，此雙曲線方程為1.答案：B4(2010·遼寧)設拋物線y28x的焦點為F，準線為l

2、，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足如果直線AF的斜率為，那么|PF|()A4 B8 C8D16解析：解法一：AF直線方程為：y(x2)，當x2時，y4，A(2,4)當y4時代入y28x中，x6，P(6,4)，|PF|PA|6(2)8.故選B.解法二：PAl，PAx軸又AFO60°，F(xiàn)AP60°，又由拋物線定義知PAPF，PAF為等邊三角形又在RtAFF中，F(xiàn)F4，F(xiàn)A8，PA8.故選B.答案：B5高8 m和4 m的兩根旗桿筆直豎在水平地面上，且相距10 m，則地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡為()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線解析：如圖1，假設AB、CD分別為高4

3、 m、8 m的旗桿，P點為地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點，由于BPADPC，則RtABPRtCDP，從而PC2PA.在平面APC上，以AC為x軸，AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系(圖2)，則A(5,0)，C(5,0)，設P(x，y)，得2化簡得x2y2x250，顯然，P點的軌跡為圓答案：A二、填空題解析：由題知，垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓，則c<bc2<b2a2c2e2<，又e(0,1)，所以e.答案：7(2010·浙江)設拋物線y22px(p>0)的焦點為F，點A(0，2)若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準線的距離為_解析：F，則B，2p

4、×1，解得p.B，因此B到該拋物線的準線的距離為.答案：8(2010·北京)已知雙曲線1的離心率為2，焦點與橢圓1的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為_；漸近線方程為_解析：橢圓1的焦點為(±4,0)，雙曲線的焦點坐標為(±4,0)，c4，2，c2a2b2，a2，b212，雙曲線方程為1，漸近線方程為y±x±x，即x±y0.答案：(±4,0)x±y0即xD，由橢圓的第二定義得|FD|ea.又由|BF|2|FD|，得a2a，整理得a23c2，即e2，解得e.答案：三、解答題10已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓

5、上，點P到兩焦點的距離分別為和，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求此橢圓的方程解：解法一：設橢圓的標準方程是1(a>b>0)或1(a>b>0)，兩個焦點分別為F1、F2，則由題意，知2a|PF1|PF2|2，a.在方程1中，令x±c，得|y|.在方程1中，令y±c，得|x|.依題意知，b2.即橢圓的方程為1或1.解法二：設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，則|PF1|，|PF2|.由橢圓的定義，知2a|PF1|PF2|2，即a.由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于長軸故在RtPF2F1中，4c2|PF1|2|PF2|2，c2，于是b2a

6、2c2.又所求的橢圓的焦點可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為1或1.11(2010·湖北)已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.(1)求曲線C的方程；(2)是否存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A、B的任一直線，都有·<0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由解：(1)設P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足x1(x>0)，化簡得y24x(x>0)(2)設過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)設l的方

7、程為xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)>0，于是又(x11，y1)，(x21，y2)，·<0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2<0.又x，于是不等式等價于·y1y21<0y1y2(y1y2)22y1y21<0，由式，不等式等價于m26m1<4t2，對任意實數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式對于一切t成立等價于m26m1<0，即32<m<32.由此可知，存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有·<0，且m的取值范圍是(32，32)12(

8、2009·陜西，21)已知雙曲線C的方程為1(a>0，b>0)，離心率e，頂點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線C的方程；(2)如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限.若，求AOB面積的取值范圍解：解法一：(1)由題意知，雙曲線C的頂點(0，a)到漸近線axby0的距離為，即.由得雙曲線C的方程為x21.(2)由(1)知雙曲線C的兩條漸近線方程為y±2x.設A(m,2m)，B(n,2n)，m>0，n>0.由得P點的坐標為，將P點坐標代入x21，化簡得mn，設AOB2，tan2，tan ，sin 2.又|OA

9、|m，|OB|n，SAOB|OA|·|OB|·sin 22mn1.記S()1，則S().由S()0得1，又S(1)2，S，S(2)，當1時，AOB的面積取得最小值2，當時，AOB的面積取得最大值.AOB面積的取值范圍是.解法二：(1)同解法一(2)設直線AB的方程為ykxm，由題意知|k|<2，m>0.由得A點的坐標為，由，得B點的坐標為.由=得P點的坐標為，將P點坐標代入x21得.設Q為直線AB與y軸的交點，則Q點的坐標為(0，m)SAOBSAOQSBOQ|OQ|·|xA|OQ|·|xB|m·(xAxB)m·1.以下同解

10、法一7.1數(shù)學思想方法-函數(shù)與方程思想一、選擇題1已知向量a(3,2)，b(6,1)，而(ab)(ab)，則實數(shù)等于()A1或2 B2或C2 D0解析：ab(36,21)，ab(36，2)，若(ab)(ab)，則(36)·(36)(21)(2)0，解得2或答案：B2設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時，f(x)x2.若對任意的xt，t2，不等式f(xt)2f(x)恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是()A，) B2，)C(0,2 D，1，答案：A3f(x)是定義在(0，)上的非負可導函數(shù)，且滿足xf(x)f(x)0.對任意正數(shù)a、b，若a<b，則必有()Aaf(a)f(b) Bb

11、f(b)f(a)Caf(b)bf(a) Dbf(a)af(b)解析：xf(x)f(x)0，即xf(x)0，xf(x)是減函數(shù)又a<b，af(a)bf(b)又b>a>0，f(x)0，bf(a)af(a)且bf(b)af(b)，bf(a)af(a)bf(b)af(b)，bf(a)af(b)答案：C4f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，f(2)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)的零點個數(shù)為()A2 B3 C4 D5解析：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0.由f(2)0，得f(2)0.又f(x)的周期為3，f(1)0，f(3)0.又ffff，f0.故選D.答案：D5已

12、知對于任意的a1,1，函數(shù)f(x)x2(a4)x42a的值總大于0，則x的取值范圍是()A1<x<3 Bx<1或x>3C1<x<2 Dx<2或x>3解析：將f(x)x2(a4)x42a看作是a的一次函數(shù)，記為g(a)(x2)ax24x4.當a1,1時恒有g(a)>0，只需滿足條件即，解之得x<1或x>3.答案：B二、填空題6已知不等式(xy)9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為_解析：只需求(xy)的最小值大于等于9即可，又(xy)1a·aa12a21，等號成立僅當a·即可，所以()2219，即(

13、)2280求得2或4(舍)，所以a4，即a的最小值為4.答案：47若關于x的方程(22|x2|)22a有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：令f(x)(22|x2|)2，要使f(x)2a有實根，只需2a是f(x)的值域內(nèi)的值f(x)的值域為1,4)1a2<4，1a<2.答案：1,2)8已知函數(shù)f(x)，aR，若方程f2(x)f(x)0共有7個實數(shù)根，則a_.解析：設yt2t，tf(x)作出兩函數(shù)的圖象如圖所示，由t2t0知t0，或t1，當t0時，方程有兩個實根；當t1時，要使此時方程有5個不同實根，則a1.答案：19若數(shù)列an的通項公式為an×n3×nn(其中nN

14、*)，且該數(shù)列中最大的項為am，則m_.解析：令xn，則0<x構(gòu)造f(x)x33x2x，xf(x)8x26x1令f(x)0，故x1，x2.f(x)在上為增函數(shù)，f(x)在上為減函數(shù)f(x)maxf即當x時，f(x)最大，n2時，a2最大m2.答案：2三、解答題10設P是橢圓y21(a>1)短軸的一個端點，Q為橢圓上的一個動點，求|PQ|的最大值解：依題意可設P(0,1)，Q(x，y)，則|PQ|.又因為Q在橢圓上，所以x2a2(1y2)|PQ|2a2(1y2)y22y1(1a2)y22y1a2(1a2)21a2，因為|y|1，a>1，若a，則1，當y時，|PQ|取最大值；若1

15、<a<，則當y1時，|PQ|取最大值2，綜上，當a時，|PQ|最大值為；當1<a<時，|PQ|最大值為2.11已知f(x)是定義在正整數(shù)集N*上的函數(shù)，當x為奇數(shù)時，f(x1)f(x)1，當x為偶數(shù)時，f(x1)f(x)3，且滿足f(1)f(2)5.(1)求證：f(2n1)(nN*)是等差數(shù)列；(2)求f(x)的解析式(1)證明：由題意得，兩式相加得f(2n1)f(2n1)4.因此f(1)，f(3)，f(5)，f(2n1)成等差數(shù)列即f(2n1)(nN*)是等差數(shù)列(2)解：由題意得，解得.所以f(2n1)f(1)(n1)×42(2n1)，因此當x為奇數(shù)時，f

16、(x)2x.又因為當x為奇數(shù)時，f(x1)f(x)1，所以f(x1)2x12(x1)1，故當x為偶數(shù)時，f(x)2x1.綜上，f(x).12某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2010年度進行一系列的促銷活動經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足：3x與t1成反比例如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件已知2010年生產(chǎn)化妝品的固定投資為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投資32萬元，當年每件化妝品的零售價定為“年平均成本的150%”與“年均每件所占促銷費的一半”之和，則當年的產(chǎn)銷量相等(1)將2010年的年利潤y萬元表示為促銷費t萬元的函數(shù)；(2)該企業(yè)

17、2010年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？(注：利潤收入生產(chǎn)成本促銷費)解：(1)由題意，得3x，將t0，x1代入，得k2.x3.由題意，知每件零售價為·.年利潤yx(332x)t16xt16t50(t0)(2)y5050242(萬元)，當且僅當， 即t7時，ymax42，當促銷費定為7萬元時，利潤最大3.2數(shù)列求和及數(shù)列綜合應用一、選擇題1若等比數(shù)列an的前n項和Sn，且S1018，S2024，則S40等于()A.B. C. D.解析：根據(jù)分析易知：S1018，S20S106，S30S202，S40S30，S40，故選A.答案：A2數(shù)列an的通項公式an，若an的前n項和

18、為24，則n為()A25 B576 C624 D625解析：an()，前n項和Sn(1)()()124，故n624.選C.答案：C3(2010·大連模擬)設Sn為數(shù)列an的前n項之和，若不等式aa對任何等差數(shù)列an及任何正整數(shù)n恒成立，則的最大值為()A0 B.C.D1解析：a10時，不等式恒成立，當a10時，將ana1(n1)d，Snna1代入上式，并化簡得：2，max.答案：B4已知數(shù)列an滿足a10，an1(nN*)，則a20等于()A0 BC. D.解析：a10，an1，a2，a3，a40，.從而知3為最小正周期，從而a20a3×62a2.答案：B5(2009

19、83;廣東)已知等比數(shù)列an滿足an>0，n1,2，且a5·a2n522n(n3)，則當n1時，log2a1log2a3log2a2n1()A(n1)2Bn2C(n1)2Dn(2n1)解析：a5·a2n522na，an>0，an2n，log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3an1)log2213(2n1)log22n2n2.故選B.答案：B二、填空題6設數(shù)列an的前n項和為Sn，Sn(nN*)，且a454，則a1_.解析：由于Sn(nN*)，則a4S4S327a1，且a454，則a12.答案：27設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a55a3，則

20、_.解析：設等差數(shù)列的公差為d，首項為a1，則由a55a3知a1d，9.答案：98設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S410，S515，則a4的最大值為_解析：設等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，則S44a16d10，即2a13d5，S55a110d15，即a12d3.又a4a13d，因此求a4的最值可轉(zhuǎn)化為在線性約束條件限制之下的線性目標函數(shù)的最值問題，作出可行域如圖，可知在當a4a13d，經(jīng)過點A(1,1)時有最大值4.答案：49(2009·福建)五位同學圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：第一位同學首次報出的數(shù)為1，第二位同學首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學所報出的數(shù)都是前兩位同學所報出

21、的數(shù)之和；若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學需拍手一次已知甲同學第一個報數(shù)，當五位同學依序循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學拍手的總次數(shù)為_解析：1,1,2,3,5,8,13,21，該數(shù)列被3除所得的余數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為1,1,2,0,2,2, 1,0，所得新數(shù)列中每4個數(shù)出現(xiàn)一個0，而又有5名同學，因而甲同學報的數(shù)為3的倍數(shù)的間隔為20，所以甲同學報的數(shù)為3的倍數(shù)的數(shù)依次是第16,36,56,76,96次，共5個數(shù)，故答案為5.答案：5三、解答題10(2010·濟南模擬)已知等比數(shù)列an的前n項和為Snk·2nm，k0，且a13.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：(1)方法一：依題意有解得a22k，a34k，公比為q2，2，k3，代入得m3，an3·2n1.方法二：n2時，anSnSn12n1·k.由a13得k3，an3·2n1，