考研數學——微積分公式

1、第一講函數、極限與連續(xù)重要公式與結論一、函數的奇偶性、周期性與導數、積分的聯系1.設是可導的偶函數，則為奇函數，且；設是可導的奇函數，則為偶函數。2.設連續(xù)：如為偶函數，則為奇函數；如為奇函數，則對任意的，為偶函數。3.設在上連續(xù)，則4.可導的周期函數的導函數仍為同周期函數。5.設是以為周期的連續(xù)函數，則二、在自變量不同變化過程中的函數極限及其聯系1.2.3.4.設評注由結論3，4知可利用函數極限求數列極限。三、連續(xù)的隱含條件如題中給了連續(xù)條件，應充分利用以下結論：1.設在處連續(xù)，則2.設在上連續(xù)，則在上可積，且可構造的原函數，對在上可應用最值、介值、零點定理。四、兩個重要極限的一般形式1.設

2、，則2.設，則（因為）。五、無窮小量與界變量之積為無窮小量特例：設六、極限存在準則及性質1.單調有界數列必有極限。2.夾逼準則：設在的某空心鄰域內（或當時），有，且，則3. 極限的局部保號性與有界性：設，（1）則存在的某空心鄰域，使得在該鄰域內有界；（2）如果（或），則存在的某空心鄰域，使得在此鄰域內有（或）；（3）如果在的某空心鄰域內有或（），則（或）；（4）無窮小量，使.七、無窮小量的等價替換1.若，則2. 常見的等價無窮?。涸O，則3.8、 常見的極限不存在的函數1. 無窮大量是極限不存在的一種形式。2. 設，則下列函數的極限不存在：，此時應注意利用無窮小量乘有界變量仍為無窮小量以及左右極

3、限等進行討論。九、幾個常用極限1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.第二講導數與微分重要公式與結論一、導數定義與極限的聯系1.設存在，如果，則如果，則2.設在處連續(xù)，則二、可導、可微、連續(xù)及極限的關系三、導數的幾何意義切線方程：法線方程：特別地，如，切線方程為：；法線方程為：。 如，切線方程為：；法線方程為：。四、奇偶函數、周期函數的導數1.可導偶函數的導函數為奇函數。特別地，設為偶函數，且存在，則。2.可導奇函數的導函數為偶函數。3.可導周期函數的導函數仍為同周期函數。特別地，設存在，則五、六、含絕對值函數的可導性1.設存在，且有定義，則在處可導。2.設存在，則在處可導。七、高階導數公式

4、1.設函數，在點處有階導數，則（1） 2.基本初等函數的階導數公式。（1），（2），（3）（4）第四講一元函數積分學重要公式與結論一、奇偶函數、周期函數的積分1.設連續(xù)， 如為偶（奇）函數，則為奇（偶）函數； 如為奇函數，則對任意，為偶函數。2.設在上連續(xù)，則3.設是以為周期的連續(xù)函數，則，。特別地有二、利用積分定義求項和的極限設連續(xù)，則，。三、定積分的不等式性質1.設，在上連續(xù)，且，則2.設在上連續(xù)，則3.設，在上連續(xù)，則4.設在上連續(xù)，且，但不恒等于零，則注：以上不等式必須有條件，如，則不等號反向。四、積分中值定理1.設在上連續(xù)，則使注：可改為。2.設在上連續(xù)，在上可積且不變號，則，使五、

5、變限積分1.若在上連續(xù)，則可導，且2.若在上可積，則在上連續(xù)。3.若連續(xù)，可導，則對于一般情形，先把提到積分號外，再令，從而將積分化為被積函數不含變量的變限積分，最后再求導。第六講多元函數積分學重要公式與結論一、二重積分的性質1.線性運算性質：2.積分可加性：，其中，而且與除邊界外沒有其他公共點。3.積分中值定理：設函數在閉區(qū)域上連續(xù)，表示的面積，則在上至少存二、二重積分的對稱性1.若關于軸對稱，則其中為的上半平面部分。2.若關于軸對稱，則其中為的右半平面部分。3. 輪換對換性：若互換后區(qū)域不變（即區(qū)域關于直線對稱），則第七講無窮級數重要公式與結論1. 對于級數，令表示其部分和數列，則（1）若

6、收斂，則，；（2）若，或該極限不存在，則發(fā)散。2.設都是非零常數，則有：（1）若與都收斂，則也收斂；（2）若和中一個收斂，另一個發(fā)散，則發(fā)散；（3）若與都發(fā)散，則的斂散性不確定。3.設（或）。如果，則，且和都發(fā)散。4.（1）若冪級數在處收斂，則對任何滿足的，絕對收斂；（2）若冪級數在處發(fā)散，則對任何滿足的，發(fā)散。5.冪級數的變換公式。（1）設的收斂域為，其和函數為，設是定義在上的一個已知函數，則的收斂域為，且其和函數為；（2）最常用的變換是，其中為某個正常數。6.對于任意項級數，若發(fā)散，且是由比值或根值判別法判定的，則也發(fā)散。7.幾何級數在時收斂，且；當時，發(fā)散。8.時發(fā)散。第九講經濟應用重要

7、公式與結論1.復利與連續(xù)復利公式。分期復利計息公式：，其中為年利率。連續(xù)復利計息公式：。例9.1設一筆本金存入銀行，年復利率為，在下列情況下，分別計算年后的本利和：（1）一年結算一次；（2）一年分期計息，每期利率按計算；（3）銀行連續(xù)不斷地向顧客付息利，即，此種計息方式稱為連續(xù)復昨。詳解（1）一年結算一次時，一年后的本利和為，第二年后的本利和為，依此遞推關系，年后的本利和為（2）一年結算次，年共結算次，每期利率為，則年后的本利和為（3）計算連續(xù)復利時，年后的本利和為（2）中結果在時的極限在上述問題中，相同的利率（稱為名義利率），由于復利種類不同，產生不同的利息，即產生不同的實際利率（也稱為有效收益率），用表示。設存期為年，年名義復利率為，每年結算次，相應的實際年復利率為，則若以相同的年名義利率計算連續(xù)復利，則2. 貼現公式。以元存入銀行，年復利率為年后變?yōu)樵?。稱為本金的終值；反之，若要年后有元，現在只需存入銀行元，即年后的元只相當于現在的元，稱為年后資金的現值，此時，也稱為貼現率。若一年計算復利次，則本金在年后的終值為；年后的資金的現值為若計算連續(xù)復利，則本金在年后的終值為；年后的資金的現值為3.系列收付款項的現值與終值公式。系列收付款項是指期內多次發(fā)生的收付款業(yè)務，設從期初開始，第期末發(fā)生的款