脈沖響應(yīng)不變法及雙線性換法

1、概念講解    利用模擬濾波器理論設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可從不同的角度出發(fā)。脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n) 模仿模擬濾波器的沖擊響應(yīng)ha(t), 使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，即h(n)=ha(nT)T為采樣周期。如以Ha(s)及H（z）分別表示ha(t)的拉氏變換及h(n)的z變換，即Ha(s)=Lha(t)H(z)=Zh(n) 則根據(jù)采樣序列z變換與模擬信號(hào)拉氏變換的關(guān)系，得:     上式表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾

2、波器變換為數(shù)字濾波器時(shí)，它所完成的S平面到Z平面的變換，正是以前討論的拉氏變換到Z變換的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系，即首先對(duì)Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過(guò)z=est的映射關(guān)系映射到Z平面上。    z=est的映射關(guān)系表明，S平面上每一條寬為2/T的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的整個(gè)全部平面上。每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內(nèi)，每一橫帶的右半部分映射到Z平面單位圓以外，j軸映射在單位圓上，但j軸上的每一段2/T都對(duì)應(yīng)于繞單位圓一周，如下圖所示：圖 脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系    應(yīng)當(dāng)指出，Z=est的映射關(guān)系反映的是Ha(s)的周期延

3、拓與H（z）的關(guān)系，而不是Ha(s)本身與H（z）的關(guān)系，因此，使用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)，從Ha(s)到H(z)并沒(méi)有一個(gè)由S平面到Z平面的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系，即沒(méi)有一個(gè)s=f(z)的代數(shù)關(guān)系式。另外，數(shù)字濾波器的頻響也不是簡(jiǎn)單的重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓，周期為S=2/T=2fs，即正如第一章采樣定理中所討論的，如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率S/2以內(nèi)，即Ha(j)=0 |/T這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響（在折疊頻率以內(nèi)） |     但任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交

4、疊，即混淆，這時(shí)，數(shù)字濾波器的頻響將不同于原模擬濾波器的頻響而帶有一定的失真。模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。     脈沖響應(yīng)不變法特別適用于用部分分式表達(dá)的傳遞函數(shù)，模擬濾波器的傳遞函數(shù)若只有單階極點(diǎn)，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)NM，則可表達(dá)為部分分式形式： 其拉氏反變換為： 其中u(t)為單位階躍函數(shù)。對(duì)ha(t)采樣就得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列再對(duì)h(n)取Z變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：第二個(gè)求和為等比級(jí)數(shù)之和， ，要收斂的話，必有 ，所以有 比較部分分式形式的Ha(s)

5、和上式H(z)可以看到，S平面上的極點(diǎn)s=si,變換到Z平面上是極點(diǎn) ,而Ha(s)與H(z)中部分分式所對(duì)應(yīng)的系數(shù)不變。如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn)si都在S左半平面，即Resi0,那么變換后H(z)的極點(diǎn) 也都在單位圓以內(nèi)，即| |= 1，因此數(shù)字濾波器保持穩(wěn)定。值得注意的是，這種Ha(s)到H(z)的對(duì)應(yīng)變換關(guān)系，只有將Ha(s)表達(dá)為部分分式形式才成立。 雖然脈沖響應(yīng)不變法能保證S平面與Z平面的極點(diǎn)位置有一一對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，但這并不是說(shuō)整個(gè)S平面與Z平面就存在這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，特別是數(shù)字濾波器的零點(diǎn)位置與S平面上的零點(diǎn)就沒(méi)有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是隨著Ha(s)的極點(diǎn)si與系數(shù)Ai的

6、不同而不同。H(ej) 是Ha(j)的周期延拓（周期為fs），因Ha(j)并不是帶限，即在超過(guò)fs頻率部分并不為0，所以就產(chǎn)生了混迭。當(dāng)為低通或帶通濾波器時(shí)，fs越大，則Ha(j)的下一周期相隔越遠(yuǎn)，混迭也就越小。當(dāng)為帶阻或高通濾波器時(shí)，Ha(j)在超過(guò)fs/2頻率部分全為通帶，這樣就不滿足抽樣定理，發(fā)生了完全的混迭，所以脈沖響應(yīng)不變法不能設(shè)計(jì)帶阻或高通濾波器。 小結(jié)· 在要求時(shí)域脈沖響應(yīng)能模仿模擬濾波器的場(chǎng)合，一般使用脈沖響應(yīng)不變法。 · 脈沖響應(yīng)不變法的一個(gè)重要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性的，與是線性關(guān)系。因此如果模擬濾波的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過(guò)變換后濾波器的頻

7、響可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系。      例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法得到的仍是線性相位的低通數(shù)      字濾波器。 · 如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)在S左半平面，映射到H(Z)也是穩(wěn)定的。 · 脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)：有頻譜周期延拓效應(yīng)，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通。而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小，至于高通和帶限濾波器,由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。所以用脈沖響應(yīng)不變法實(shí)現(xiàn)高通和帶限濾波器時(shí)，應(yīng)

8、增加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻帶，然后再用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)，只有在一定需要頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)才采用。概念講解    脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從S平面到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換zesT的多值對(duì)應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的,為了克服這一缺點(diǎn)，設(shè)想變換分為兩步： 第一步：將整個(gè)S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里； 第二步：通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。 由此建立S平面與Z平面一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。圖 雙線性變換的映射關(guān)系  

9、60; 為了將s平面的j軸壓縮到s1平面j軸上的- 一段上，可通過(guò)以下的正切變換實(shí)現(xiàn)： 這里C是待定常數(shù)，下面會(huì)講到用不同的方法確定C，可使模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字濾波器的頻率特性在不同頻率點(diǎn)有對(duì)應(yīng)關(guān)系。     經(jīng)過(guò)這樣的頻率變換，當(dāng)1由 時(shí)                          由 即映射了整個(gè)j軸。

10、     將這一關(guān)系解析延拓至整個(gè)s平面，則得到s平面 平面的映射關(guān)系： 再將s1平面通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z平面，即令 通常取C=2/T 最后得S平面與Z平面的單值映射關(guān)系：    現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)看一看常數(shù)C的取值方法：    雙線性換法的主要優(yōu)點(diǎn)是S平面與Z平面一一單值對(duì)應(yīng)，S平面的虛軸(整個(gè)j)對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓的一周，S平面的=0處對(duì)應(yīng)于Z平面的=0處， 對(duì)應(yīng) 即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終 止于折迭頻率處，所以雙線性變換不存在混迭效應(yīng)。     上面講到，用不同的方法確定待

11、定常數(shù)C，可以使模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字濾波器的頻率特性在不同頻率點(diǎn)有對(duì)應(yīng)關(guān)系。也就是說(shuō)，常數(shù)C可以調(diào)節(jié)頻帶間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。確定C的常用方法有兩種：    保證模擬濾波器的低頻特性逼近數(shù)字濾波器的低頻特性。此時(shí)兩者在低頻處有確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即因?yàn)楹投急容^小，所以有另外，根據(jù)歸一化數(shù)字頻率與模擬頻率的關(guān)系， ，所以有=cT/2，所以，c=2/T    保證數(shù)字濾波器的某一特定頻率，如截止頻率 ，與模擬濾波器的某一待定頻率c嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，即當(dāng)截止頻率較低時(shí)，有 ，所以一般取 。     現(xiàn)在我們看看，這一變換是否

12、符合我們一開始所提出的由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，從S平面到Z平面映射變換的二個(gè)基本要求： 當(dāng) 時(shí)，代入即S的虛軸映射到Z平面正好是單位圓。 代入z表達(dá)式，得當(dāng) 時(shí)，z<1; 時(shí)，z>1 ，即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過(guò)雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的?？辞懊骐p線性變換的映射關(guān)系圖。小結(jié)： · 與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點(diǎn)：靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系得到S平面與Z平面的單值一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，整個(gè)j軸單值對(duì)應(yīng)于單位圓一周，這個(gè)關(guān)系就是式 所表示的，其中和為非線性關(guān)系。如圖圖中看到，在零頻率附近，接近于線性關(guān)系

13、，進(jìn)一步增加時(shí)，增長(zhǎng)變得緩慢， (終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。圖 雙線性變換的頻率非線性關(guān)系· 雙線性變換法的缺點(diǎn)：與的非線性關(guān)系，導(dǎo)致數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變)。例如，一個(gè)模擬微分器，它的幅度與頻率是線性關(guān)系，但通過(guò)雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器。若 則  · 另外，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，濾波器就不再有線性相位特性。雖然雙線性變換有這樣的缺點(diǎn)，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計(jì)工具。這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們?cè)谕◣?nèi)要求逼近一個(gè)衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個(gè)衰減為的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過(guò)雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。 · 雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡(jiǎn)單。由于s與z之間的簡(jiǎn)單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過(guò)代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。置換過(guò)程頻響： 這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當(dāng)著眼于濾波器的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他情況下，對(duì)于IIR的