第十五章極值和條件極值(精)

1、第1頁共3頁第十五章極值和條件極值( 一 )教學(xué)目的：1 ）理解極值與條件極值的概念；2）掌握最小二乘法。(二 ) 教學(xué)重點(diǎn)：1）條件極值的必要條件；2）條件極值的求法.（三）教學(xué)難點(diǎn)1）最小二乘法；2）多元函數(shù)的最大（?。┲祮栴}。§15. 1 極值和最小二乘法一極值定義 1： 設(shè) f x, y在 M 0 x0 , y0 的鄰域內(nèi)成立不等式fx, yf x0 , y0則稱函數(shù) f ( x, y) 在點(diǎn) M0取到極大值， 點(diǎn)M 0x0 , y0稱為函數(shù)的極大點(diǎn)， 若在 M0x , y00的鄰域內(nèi)成立不等式fx, yf x0 , y0則稱函數(shù) f ( x, y) 在點(diǎn) M 0取到極小值，

2、 點(diǎn) M 0x0 , y0 稱為函數(shù)的極小點(diǎn)。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大點(diǎn)和極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。定義 2： 設(shè) D 是 R2 內(nèi)的一個(gè)區(qū)域，x0 , y0 是 D 的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，如果f x0 , y00，f x0 , y00，xy則稱x0 , y0 是 f 的一個(gè)駐點(diǎn)。根據(jù)費(fèi)瑪定理，可知龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院第2頁共3頁定理 1：二元函數(shù)的極值點(diǎn)必為ff0 的點(diǎn)或至少有一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。xy注：定理 1 的條件是必要條件，而不是充分條件。例 1： zxy 在0,0點(diǎn)。例 2： zx 在0,0點(diǎn)。怎樣進(jìn)一步判斷是否有極值？定理 2： 設(shè) f 在點(diǎn) (x0 , y0 ) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有各個(gè)二階連續(xù)偏

3、導(dǎo)數(shù)，并且點(diǎn)(x0 , y0 ) 是 f的一個(gè)駐點(diǎn)，2f ( x0 , y0 ) ， C2f2f ( x0 , y0 ) ， HABA( x0 , y0 ) ， BAC B2，x2y2x yBC則：（ 1）若（ 2）若（ 3）若H0, A0，則 f 在點(diǎn) (x0 , y0 ) 有極小值；H0, A0，則 f 在點(diǎn) (x0 , y0 ) 有極大值；H0 ，則 f在點(diǎn) (x0 , y0 ) 沒有極值；（ 4）若 H0 ，則須進(jìn)一步判斷。例 3：求 zxy(1xy ) (a 0, b 0) 的極值。ab例 4：求 z3axyx3y3 的極值。多元函數(shù)的最大（?。┲祮栴}設(shè)函數(shù)f ( x, y) 在某一

4、有界閉區(qū)域D 中連續(xù)且可導(dǎo)，必在D 上達(dá)到最大（?。┲?。若這樣的點(diǎn) M 0 位于區(qū)域內(nèi)部，則在這點(diǎn)顯然函數(shù)有極大（小）值。因此，在這種情形函數(shù)取到最大（小）值的點(diǎn)必是極值點(diǎn)之一。然而函數(shù)f ( x, y) 的最大（?。┲底羁赡茉趨^(qū)域的邊界上達(dá)到。因此，為找出函數(shù)zf ( x, y) 在區(qū)域 D 上的最大（?。┲担仨氄页鲆磺杏袠O值的內(nèi)點(diǎn)， 算出這些點(diǎn)的函數(shù)值，再與區(qū)域邊界上的函數(shù)值相比較，這些數(shù)值中最大數(shù)（或最小數(shù)）就是函數(shù)在閉區(qū)域D 上的最大（小）值。通常可根據(jù)問題的實(shí)際意義來判斷。例 5：有一塊寬24cm 的矩形薄鐵皮，把兩邊折起來，做成一個(gè)梯形水槽，問x 和各自為何值時(shí)，水槽的流量是最大

5、？龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院第3頁共3頁例6 ： 試 在 x 軸 ，y 軸 與 直 線 xy2圍 成 的 三 角 形 區(qū) 域 上 求 函 數(shù)usin xsin ysin xy 的最大值。二最小二乘法例 7：已知 ( x1 ,T1) ， ( x2 ,T2 ) ， ( xn ,Tn ) 服從線性關(guān)系： y ax b問：如何根據(jù)這組數(shù)據(jù)來合理地確定系數(shù)a 和 b ？解： 總偏差為n2Tiaxib，i1確定系數(shù) a, b ，使總偏差最小。這種確定系數(shù)的方法叫做最小二乘法。令0a0b即可解得 a, b 。nn幾個(gè)疑問： 1）如果 n(xi2 )xi20 怎么辦？ 2）這樣求出的a、b 就是達(dá)到極i 1i 1小值的點(diǎn)？ 3）在選取 a、b 時(shí)，為什么不取各個(gè)偏差的代數(shù)和ni 作為總偏差？i 1例