(lunwen)數(shù)碼相機(jī)定位的數(shù)學(xué)模型

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流(lunwen)數(shù)碼相機(jī)定位的數(shù)學(xué)模型.精品文檔.數(shù)碼相機(jī)定位的數(shù)學(xué)模型摘 要隨著數(shù)碼相機(jī)定位在各領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，對相關(guān)問題機(jī)器視覺的研究也成為熱點(diǎn)。因此建立一個(gè)精度較高，穩(wěn)定性好的數(shù)碼相機(jī)定位的數(shù)學(xué)模型，具有很好的現(xiàn)實(shí)意義。問題1要求給出確定靶標(biāo)上圓的圓心在給定相機(jī)像平面的像坐標(biāo)的算法，問題2利用問題1的模型對給定數(shù)據(jù)求解。為此，首先建立了四個(gè)空間直角坐標(biāo)系，在MATLAB中把圖3的數(shù)字信息提取出來，主要是五個(gè)橢圓的邊緣點(diǎn)的信息；同時(shí)為了便于運(yùn)算，通過坐標(biāo)變換將計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)變換為圖像坐標(biāo)；并用提取的圖像邊界坐標(biāo)擬合出5個(gè)橢圓的方程，利用“

2、曲線切線的投影仍與曲線的投影相切，而且切點(diǎn)的投影仍為投影的切點(diǎn)”這一引理，提取出靶標(biāo)上圓及其像上的公切點(diǎn)的坐標(biāo)作為特征點(diǎn)，利用RAC兩步法標(biāo)定過程和最小二乘法建立了計(jì)算世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣和平移向量及徑向畸變系數(shù)的算法。利用16個(gè)公切點(diǎn)作為特征點(diǎn)，通過Matalb編程求得靶標(biāo)上圓的圓心在文中給定相機(jī)像平面的五個(gè)坐標(biāo)(單位：mm)：A(-49.7132, 51.1289 417.1958)，B(-23.3475, 49.1539 417.1958)，C(33.8194, 44.8716, 417.1958)， D(18.8173,-31.5798, 417.1958)，E(-59

3、.7830, -31.1754, 417.1958)。問題3的解決分為兩步：一是通過對模型計(jì)算出的焦距及畸變系數(shù)及上面五個(gè)坐標(biāo)值的分析得出模型的精度較高的結(jié)論；二是采用改變特征點(diǎn)數(shù)的方法或利用“,三個(gè)標(biāo)靶的中心的像應(yīng)在一條直線上”驗(yàn)證模型的穩(wěn)定性。問題4采用二目立體視覺模型確定了給出兩部固定相機(jī)相對位置的數(shù)學(xué)模型和方法。本文建立的算法可操作性強(qiáng)，精度較高，穩(wěn)定性好，對解決類似問題的計(jì)算有一定的推廣價(jià)值。關(guān)鍵詞：擬合橢圓 特征點(diǎn)提取 RAC兩步法 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣公切點(diǎn)數(shù)碼相機(jī)定位的數(shù)學(xué)模型一問題的提出數(shù)碼相機(jī)定位的數(shù)學(xué)模型來源于2008年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的A題。一般地在物平面上畫若干個(gè)圓（稱

4、為靶標(biāo)），它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了，它們的像一般會變形為橢圓，從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)設(shè)計(jì)靶標(biāo)如下，取1個(gè)邊長為100mm的正方形，分別以四個(gè)頂點(diǎn)（對應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，如圖1所示，用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像，如圖2所示。圖1 靶標(biāo)示意圖圖2 靶標(biāo)的像(1) 建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo), 這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；(2) 對由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo), 該相

5、機(jī)的像距（即光學(xué)中心到像平面的距離）是1577個(gè)像素單位(1毫米約為3.78個(gè)像素單位)，相機(jī)分辨率為1024×768；(3) 設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ?，并對方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；(4) 建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對位置的數(shù)學(xué)模型和方法。二模型的假設(shè)及符號說明1模型的假設(shè)(1) 假設(shè)題目中給出的圖3的尺寸是實(shí)際物理尺寸；(2) 圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)是圖3的中心，稱為主心坐標(biāo)；(3) 相機(jī)不需做任何的運(yùn)動；(4) 標(biāo)定物為共面點(diǎn)，將靶標(biāo)所在的面作為世界坐標(biāo)系的坐標(biāo)平面；(5) 相機(jī)的有效焦距不變。2. 符號說明(1) ：表示世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換矩陣，；(2) ：表

6、示世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的平移向量，；(3) ：表示相機(jī)的有效焦距，；(4) ：表示世界坐標(biāo)系下物點(diǎn)的坐標(biāo)；(5) ：表示圖像坐標(biāo)系下物點(diǎn)有徑向畸變的實(shí)際像坐標(biāo)；(6) ：表示圖像坐標(biāo)系下物點(diǎn)的針孔成像的理想坐標(biāo)；(7) ：表示相機(jī)坐標(biāo)系下物點(diǎn)的坐標(biāo)；(8) ：主點(diǎn)坐標(biāo)，即圖像坐標(biāo)系下坐標(biāo)原點(diǎn)的像素坐標(biāo)；(9) ：表示計(jì)算機(jī)坐標(biāo)系下的像的像素坐標(biāo)。(10) ：表示徑向畸變系數(shù)。(11) 、：每個(gè)像素在軸與軸方向上的物理尺寸。三問題的分析為了確定靶標(biāo)上圓的圓心在文中給定相機(jī)像平面的像坐標(biāo)，要把圖3中的數(shù)據(jù)信息提取出來。由于圖3中的數(shù)據(jù)信息是以像素為單位的，為了與圖2的毫米單位一致，同時(shí)便于運(yùn)算，

7、通過坐標(biāo)變換，將計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)變換為圖像坐標(biāo)，并用圖像邊界坐標(biāo)的信息擬合出5個(gè)橢圓的方程，從而可以求出橢圓的幾何中心。1坐標(biāo)系的建立計(jì)算過程中需要建立如下的四個(gè)坐標(biāo)系，如圖4所示。(1) 相機(jī)坐標(biāo)系：原點(diǎn)定義在相機(jī)的光學(xué)中心，軸與光軸重合；(2) 圖像坐標(biāo)系：原點(diǎn)（主點(diǎn)）定義為相機(jī)光軸與圖像平面的交點(diǎn)，軸和軸與，軸平行，為相機(jī)的有效焦距；(3) 計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)系：原點(diǎn)位于CCD圖像平面的左上角，軸和軸分別與軸和軸平行。、分別表示該像素在數(shù)組中的列數(shù)和行數(shù)，且以像素為單位。在計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)系中，主點(diǎn)坐標(biāo)記為，假設(shè)主點(diǎn)坐標(biāo)是圖像坐標(biāo)的中點(diǎn)，本文中可表示為。(4) 世界坐標(biāo)系：原點(diǎn)位于靶標(biāo)所在正方形

8、的中心，和軸分別平行、（軸的正向?yàn)橄蛄康恼较颍?，因此物點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為。OO2圖4 考慮畸變的徑向攝像機(jī)模型圖設(shè)為物點(diǎn)在小孔成像的理想圖像坐標(biāo)中的像點(diǎn)坐標(biāo)，是由透鏡徑向畸變引起的物點(diǎn)實(shí)際圖像點(diǎn)，考慮畸變的徑向攝像機(jī)模型圖，如圖4所示。一般情況下，CCD鏡頭畸變主要為一階徑向畸變，在這里我們只考慮一階徑向畸變。用一個(gè)二階多項(xiàng)式近似：式中為畸變系數(shù)，為畸變坐標(biāo)。2提取圖像數(shù)據(jù)(1) 提取圖3并以.bmp格式保存。(2) 在MATLAB中用imread命令讀入該圖片并轉(zhuǎn)換成RGB圖像矩陣。(3) 使用rgb2gray和im2bw命令將上述圖像矩陣轉(zhuǎn)化成二值圖像矩陣。(4) 使用bwlabel命令對

9、二值圖像矩陣進(jìn)行分塊標(biāo)識（每個(gè)橢圓域標(biāo)記為一塊，共5塊）。(5) 對每一塊橢圓域用edge命令提取邊緣點(diǎn)，并求出這些邊緣點(diǎn)在計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。3計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)與圖像坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換如圖4所示，計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)系以像素為單位，為便于計(jì)算，需將其轉(zhuǎn)換為圖像坐標(biāo)系。設(shè)坐標(biāo)系原點(diǎn)在坐標(biāo)系中坐標(biāo)為，每個(gè)像素在軸與軸方向上的物理尺寸為、，則圖像中任意一個(gè)像素在兩個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)有如下關(guān)系：(1)用齊次坐標(biāo)與矩陣形成，將式(1)表示為逆關(guān)系可寫成(2)已知相機(jī)分辨率為，若題中給定圖3尺寸為實(shí)際物理尺寸，則考慮到題中給出，為方便計(jì)算，取，即1毫米均表示3.78個(gè)像素單位。設(shè)取在靶標(biāo)像平面的中心位置，根據(jù)式(2

10、)，可將像平面五個(gè)橢圓邊緣點(diǎn)坐標(biāo)變換到圖像坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。4橢圓擬合1橢圓擬合是對已提取的圖3的五個(gè)橢圓邊緣點(diǎn)的數(shù)據(jù)，進(jìn)行曲線擬合。設(shè)橢圓曲線的一般表達(dá)式為其橢圓的中心點(diǎn)可由式(3)求得：，(3)為了用數(shù)據(jù)作曲線擬合，首先設(shè)，利用線性最小二乘法擬合，用MATLAB編程得到五個(gè)擬合橢圓曲線方程系數(shù)如表1所示，橢圓A的擬合曲線如圖5所示。表1 擬合橢圓曲線方程系數(shù)abcdegA1.8731×10-4-1.7016×10-51.9356×10-40.0196-0.02071.0000B3.2762×10-4-4.5683×10-53.2859

11、5;10-40.0177-0.03361.0000C3.8868×10-4-9.8457×10-53.6314×10-4-0.0219-0.02951.0000D6.2735×10-4-2.3887×10-56.9264×10-4-0.03110.04821.0000E2.3416×10-4-5.3764×10-52.8754×10-40.02650.01471.0000圖5橢圓A的擬合曲線將橢圓方程標(biāo)準(zhǔn)化，由式(3)得到A、B、C、D、E五個(gè)靶標(biāo)的像的幾何中心點(diǎn)的坐標(biāo)如表2所示。表2 五個(gè)靶標(biāo)的像的幾何

12、中心點(diǎn)的坐標(biāo)ABCDE-49.9705-23.493533.886818.7601-60.092651.402449.430345.1492-31.5326-31.2101Z=1577/3.78 單位：mm5用橢圓的公切線提取特征點(diǎn)(1) 引理：曲線切線的投影仍與曲線的投影相切，而且切點(diǎn)的投影仍為投影的切點(diǎn)。3(2)兩橢圓公切線的計(jì)算設(shè)像平面上任意兩個(gè)橢圓（基于圖像坐標(biāo)系）的曲線方程為：(4)(5)其公切線方程為：(6)將式(6)代入式(4)并整理得：(7)其中，根據(jù)切線的判別法則：，得：(8)其中，同理，將式(6)代入式(5)，可得與式(8)形式相同的結(jié)果：(9)其中，錯誤求解(8)、(9)

13、聯(lián)立的方程組，可得出四組，即確立了任意兩個(gè)橢圓的四條公切線。對于題中給出的靶標(biāo)，我們僅提取出如圖6所示的四條外圍公切線的投影（如圖7所示），并計(jì)算出八個(gè)公切點(diǎn)的坐標(biāo)。圖7對應(yīng)的MATLAB求解如圖8所示。圖7EDCBA(8)(16)(7)(15)(14)(13)(6)(5)(11)(3)(12)(4)(1)(2)(9)(10)ABCCYwXwDEOw圖6圖8圖6對應(yīng)的MATLAB求解四條外圍公切線的投影方程分別為：: y=8.8393x+590.9984: y=-0.0840x+58.1670: y=4.8613x-166.4789: y=0.0040x-40.3090四條內(nèi)圍公切線的投影方程

14、分別為：: y=7.5705x+345.7467: y=-0.0650x+37.2174: y=5.2918x-83.1902: y=-0.0121x-22.577716個(gè)公切點(diǎn)及其對應(yīng)像的坐標(biāo)如表3所示。表316個(gè)公切點(diǎn)及其對應(yīng)像的坐標(biāo)序號(1)(2)(3)(4)原坐標(biāo)(-50，-62)(-62，-50)(-62，50)(-50，62)像坐標(biāo)(-61.1197，-40.5540)(-70.3928，-31.2242)(-60.9633，52.1263)(-48.5424，62.2443)序號(5)(6)(7)(8)原坐標(biāo)(50，62)(62，50)(62，-50)(50，-62)像坐標(biāo)(35

15、.9167，55.1501)(43.3636，44.3244)(27.7327，-31.6618)(17.1397，-40.2403)序號(9)(10)(11)(12)原坐標(biāo)(-38，-50)(-50，-38)(-50，38)(-38，50)像坐標(biāo)(-49.8120，-31.3566)(-58.8831，-21.8669)(-51.1894，40.5449)(-39.0025，50.4772)序號(13)(14)(15)(16)原坐標(biāo)(38，50)(50，38)(50，-38)(38，-50)像坐標(biāo)(24.3757，45.8002)(32.0257，35.1357)(20.5297，-22.8

16、256)(9.7596，-31.5445)四、模型的建立與求解1問題(1)的求解算法為了數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)，采用zhang提出的RAC兩步法標(biāo)定過程，由于此方法考慮了鏡頭畸變，使精度有了一定的提高。此方法采用徑向排列約束關(guān)系求出世界的坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系得旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量，然后求得利用從而求出世界的坐標(biāo)系與相機(jī)坐標(biāo)系之間的對應(yīng)關(guān)系，同時(shí)又求得鏡頭畸變系數(shù)。設(shè)表示在已建立的世界坐標(biāo)系下物點(diǎn)的坐標(biāo)，表示物點(diǎn)在相機(jī)坐標(biāo)系下的像坐標(biāo)。則世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為：(10)其中，表示旋轉(zhuǎn)矩陣，表示平移向量。下面采用徑向約束的兩步法（Two-stage）進(jìn)

17、行計(jì)算：第一步：計(jì)算和1)過渡參數(shù)的求解利用徑向排列約束原理及公式(10)得到：(11)由于，式(11)可表示為(12)即:(13)若對每一個(gè)特征點(diǎn)來說，知道了其空間坐標(biāo)和相應(yīng)于圖像坐標(biāo)系下坐標(biāo)，就有一個(gè)方程(13)與之對應(yīng)，取5個(gè)以上的點(diǎn)，式(12)即成為超定方程組，利用最小二乘法求解得到和。利用最小二乘法求解式(13)的具體方法：取個(gè)物點(diǎn)，和個(gè)對應(yīng)的圖像坐標(biāo)點(diǎn)，得超定方程組為：其中則的最小二乘估計(jì)為。記：。2) 的求解求出上述過度參數(shù)后，就可以根據(jù)R正交性求出的大小。當(dāng)參數(shù)，不兩兩同時(shí)為0時(shí)：B=否則為其余兩個(gè)參數(shù)的平方和的倒數(shù)。3）判斷的符號在運(yùn)用徑向平行約束時(shí)，包括兩平行向量同向和反向

18、的兩種情況，故的符號有兩種可能。可采用下列方法判斷：先設(shè)為正，由過渡參數(shù)求出，由此將標(biāo)定點(diǎn)再投影到圖像平面上。計(jì)算出對應(yīng)得圖像坐標(biāo)，比較兩者的符號，如果與同號，那么為正；否則為負(fù)，則上面求出的其余外部參數(shù)都作相應(yīng)的改變。4）根據(jù)R的正交性，計(jì)算R的其余參數(shù)（如果的符號為正，則在前加負(fù)號）如果下面計(jì)算的為負(fù)號，則的符號與上面相反。4）過渡焦距，過渡徑向畸變系數(shù)和過渡平移分量的求解由于經(jīng)整理可得如下含未知數(shù)，得線性方程組：(14)式中，。用最小二乘法聯(lián)合解(14)這個(gè)線形方程組，即可得到，的解。進(jìn)一步判斷的符號，如果為負(fù)，則將反號。進(jìn)一步解得，其余參數(shù)符號按上面3)所述作相應(yīng)得改變。至此，與，已經(jīng)

19、求出。第二步：計(jì)算平移分量和徑向畸變系數(shù)由于，與已知，根據(jù)(14)式可以得到：(15)式中，。用最小二乘法聯(lián)合解(15)這個(gè)線形方程組，即可得到，的解。以上即為兩步法的完整的求解過程。這樣通過式(10)得到物點(diǎn)在相機(jī)坐標(biāo)系下坐標(biāo)，再利用關(guān)系式(16)得到物點(diǎn)的像在相機(jī)坐標(biāo)系下坐標(biāo)，問題(1)得到解決。2問題（2）的求解(1) 利用上述方法計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo)在前面利用橢圓的公切線，已經(jīng)找出的8個(gè)公切點(diǎn)的世界坐標(biāo)和圖像坐標(biāo)如下：序號(1)(2)(3)(4)原坐標(biāo)(-50，-62)(-62，-50)(-62，50)(-50，62)像坐標(biāo)(-61.1197，-40.5540)(-70

20、.3928，-31.2242)(-60.9633，52.1263)(-48.5424，62.2443)序號(5)(6)(7)(8)原坐標(biāo)(50，62)(62，50)(62，-50)(50，-62)像坐標(biāo)(35.9167，55.1501)(43.3636，44.3244)(27.7327，-31.6618)(17.1397，-40.2403)把它們作為特征點(diǎn)代入公式(13)、(15)得到超定方程組，利用MATLAB編程求解超定方程組得到 和最后利用公式 和，得到五個(gè)靶標(biāo)的中心點(diǎn)的像在相機(jī)坐標(biāo)系下坐標(biāo)如表4所示。 表4 利用8個(gè)特征點(diǎn)求得五個(gè)靶標(biāo)的中心點(diǎn)的像在相機(jī)坐標(biāo)系下坐標(biāo)ABCDEX-49.8

21、498-23.400333.940518.9014-59.9297Y51.286149.299744.9934-31.6823-31.2713Z=1577/3.78 單位：mm(2) 計(jì)算結(jié)果的分析 的值：通過模型(14)計(jì)算的過渡值為，而實(shí)際的給出的，值的相對誤差：,說明了計(jì)算方法的可靠性。 的值：通過模型(14)計(jì)算徑向畸變系數(shù)的值為,說明在此問題的求解過程中可以忽略徑向畸變帶來的誤差。 靶標(biāo)中心點(diǎn)的像的坐標(biāo)：通過對表2和表4的比較可以看出，靶標(biāo)的像的幾何中心和靶標(biāo)的像的中心坐標(biāo)并不一致，但誤差并不是很大，說明如果要求精度不高時(shí)，也可以用靶標(biāo)的像的幾何中心代替靶標(biāo)的像的中心。3問題(3)：

22、模型的檢驗(yàn) 通過上面的計(jì)算結(jié)果的分析可以看出算法的精度較高。下面用以下兩種方法檢驗(yàn)上述模型的穩(wěn)定性(1) 利用改變特征點(diǎn)數(shù)的方法驗(yàn)證模型的穩(wěn)定性在計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo)時(shí)，前面利用8個(gè)公切點(diǎn)作為特征點(diǎn)計(jì)算了結(jié)果?，F(xiàn)在加大和減少特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)計(jì)算模型，如果加大和減少特征點(diǎn)對計(jì)算結(jié)果的影響不大說明，我們建立的模型是穩(wěn)定的。通過對靶標(biāo)上的的16個(gè)外公切點(diǎn)作為特征點(diǎn)，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo)及相應(yīng)的參數(shù)，。 和表5 利用16個(gè)特征點(diǎn)求得五個(gè)靶標(biāo)的中心點(diǎn)的像在相機(jī)坐標(biāo)系下坐標(biāo)ABCDEX-49.7132-23.347533.819418.8173-59.7830Y51.12894

23、9.153944.8716-31.5798-31.1754Z=1577/3.78 單位：mm計(jì)算結(jié)果與利用8個(gè)特征點(diǎn)求得的結(jié)果比較更精確，但差別并不大，說明我們的算法的穩(wěn)定性。(2) 利用成像原理檢驗(yàn)引理：一條空間直線的投影到任意一個(gè)不與之垂直的平面上像仍是一條直線。已知,三個(gè)標(biāo)靶的中心在一條直線上，從而其像的三個(gè)中心坐標(biāo)也應(yīng)該在一條直線上。若利用我們的模型求得的結(jié)果，的中心在一條直線或近似一條直線，說明模型較穩(wěn)定。檢驗(yàn)方法：取中心的三個(gè)坐標(biāo)，擬合直線， 很小，說明算法穩(wěn)定。算例：利用16個(gè)特征點(diǎn)，根據(jù)模型(13)求得的,E中心的像坐標(biāo)如表5所示，即有： (-49.7132, 51.1289)

24、， (-23.3475, 49.1539)， (33.8194, 44.8716)的擬合方程為：，殘差。從圖9中可以看出三點(diǎn)幾乎構(gòu)成一條直線。同理對特征點(diǎn)數(shù)為8的情形，擬合直線如圖10所示。對應(yīng)的的擬合方程為：，殘差。圖9對16個(gè)特征點(diǎn)的情形三點(diǎn)擬合的直線圖10對8個(gè)特征點(diǎn)的情形三點(diǎn)擬合的直線4問題（4）的模型(1) 二目立體視覺模型二目立體測試系統(tǒng)利用兩臺不同角度和位置安放的相機(jī)來模擬人眼的功能，獲取像點(diǎn)與相機(jī)的三維空間中物體的幾何信息。未來利用二目立體測量系統(tǒng)獲得三維幾何信息，需要是兩個(gè)相機(jī)在一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系下工作，因此不僅要得到單個(gè)相機(jī)的相機(jī)模型，還需要精確確定兩個(gè)相機(jī)的相互位置關(guān)系，即

25、建立精確的立體視覺模型。 立體視覺模型以單相機(jī)模型為基礎(chǔ)來表示兩個(gè)相機(jī)的位置幾何關(guān)系。如果左相機(jī)的外部參數(shù)為，右相機(jī)的外部參數(shù)為，則兩個(gè)相機(jī)之間的幾何關(guān)系表示如下（以左相機(jī)為基準(zhǔn)）：(2) 雙目視覺特征點(diǎn)三維重建算法利用基于視差原理的雙目視覺測量原理。對一般情況進(jìn)行考慮，如圖11所示，假定左相機(jī)位于世界坐標(biāo)系的原點(diǎn)處且無旋轉(zhuǎn)，圖像坐標(biāo)系為，焦距為，右相機(jī)坐標(biāo)系為，圖像坐標(biāo)系為，焦距為，根據(jù)相機(jī)透視變換模型有與之間可通過空間轉(zhuǎn)換矩陣表示為：，P圖11與之間的旋轉(zhuǎn)矩陣和原點(diǎn)之間的平移變量矢量。對于坐標(biāo)系中的空間點(diǎn)，兩相機(jī)像平面點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系為：由此，空間點(diǎn)三維坐標(biāo)可表示為： 當(dāng)已知兩相機(jī)焦距、及空間

26、低昂在左右相機(jī)中的圖像坐標(biāo)時(shí)，通過標(biāo)定出的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矢量就可以得到被測物體點(diǎn)的三維空間坐標(biāo)。五、模型的評價(jià)及推廣優(yōu)點(diǎn)：算法簡單，適合用計(jì)算機(jī)編寫程序計(jì)算，誤差積累少，精度較高，穩(wěn)定性好，算法可操作性強(qiáng)。缺點(diǎn)：對算法精度的分析只是利用數(shù)值分析得直觀方法，缺少理論依據(jù)，有待進(jìn)一步分析。鑒于以上特點(diǎn)，本文建立的模型對解決類似問題的計(jì)算有一定的推廣價(jià)值。參考文獻(xiàn)1 張廣軍，機(jī)器視覺，北京：科學(xué)出版社，2005；2 譚曉軍、余志、李軍，一種改進(jìn)的立體攝像機(jī)標(biāo)定方法，測繪學(xué)報(bào)，第35卷第2期，2006.5；3 4 蘇金明，王永利，MATLAB圖形圖像，北京：電子工業(yè)出版社，2005.11；5 黃宣國，

27、空間解析幾何與微分幾何，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003.96 胡培成等，一種改進(jìn)的基于圓環(huán)點(diǎn)的攝像機(jī)自標(biāo)定方法，光電工程，第34卷12期；7 鄒鳳嬌，蘇顯渝，李美菊，基于共面點(diǎn)的攝像機(jī)線性標(biāo)定法，光電工程，第32卷第4期，2005.48 何文章等，數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)，哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)出版社，2002附錄主程序，文件名：QiuYuanXin_Over.mclc;clear;tic %啟動計(jì)時(shí)器I=imread('Xiang2.bmp');J=rgb2gray(I);K=im2bw(J,100/255);K=K;I1,num1=bwlabel(K);clear I Jfor nu

28、m=1:num1 %依次對塊進(jìn)行處理r,c = find(I1=num); %尋找塊內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)n1,m1=size(r);n,m=size(K);M=zeros(n,m);for i=1:n1 M(r(i),c(i)=1; %構(gòu)建單個(gè)橢圓的圖像endM1=edge(M,'sobel'); %尋找邊界線%imshow(M1)y,x=find(M1=1);y=(abs(y-n)-n/2)/3.78; %坐標(biāo)變換x=(x-m/2)/3.78;xishu,bi,r,rint,s=NiHeTuoYuan(x,y); %橢圓擬合s_tuoyuan(num,:)=s;%figure,rcop

29、lot(r,rint) %存儲擬合方程的系數(shù)%系數(shù)順序：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f(=1)=0XS(num,:)=xishu;xc,yc=TuoYuanZhonxin(xishu); %求橢圓中心點(diǎn)if num=1 %存儲擬合橢圓的中心點(diǎn)坐標(biāo) TZhongXinx=xc; TZhongXiny=yc;else len1=length(TZhongXinx); TZhongXinx(len1+1)=xc; TZhongXiny(len1+1)=yc;endrp=abs(max(x)-min(x); %繪制擬合橢圓x1=(min(x)-rp/3):0.5:(max(x)+rp/3);%

30、確定橫軸的范圍和步長xn,ynu,ynd=NHTYBian(xishu,x1);if num=1 %存儲各橢圓邊的擬合點(diǎn)坐標(biāo) NiheBianx=xn;NiheBianyu=ynu;NiheBianyd=ynd;else len1=length(NiheBianx); len2=length(xn); for g=(len1+1):(len2+len1) NiheBianx(g)=xn(g-len1); NiheBianyu(g)=ynu(g-len1); NiheBianyd(g)=ynd(g-len1); endendfigure,plot(x,y,'+',xc,yc,&#

31、39;+',xn,ynu,'o',xn,ynd,'o');axis('equal')clear rp xc yc r c n1 m2 n m M M1 xn ynu ynd len1 len2endclear I J K I1 rint s %清理內(nèi)存disp('擬合橢圓方程的系數(shù)')XSdisp('擬合橢圓的中心點(diǎn)坐標(biāo)')TZhongXin=TZhongXinx',TZhongXiny' %求橢圓A,B,C幾何中心的擬合直線 xcc=TZhongXinx;ycc=TZhongXiny;x=

32、xcc(2) xcc(3) xcc(5); y=ycc(2) ycc(3) ycc(5);n=length(y);X=x',ones(n,1);Y=y'nhxs,bi,r,rint,sz=regress(Y,X);disp('橢圓A,B,C幾何中心的擬合直線系數(shù)')nhxssz%figure,rcoplot(r,rint)%y1=nhxs(1).*x+nhxs(2);%figure,plot(x,y,'+',x,y1)clear xcc ycc x y n X Y bi r rinmn1=QeiXian(XS(1,:),XS(2,:);mn2=Q

33、eiXian(XS(2,:),XS(5,:);mn3=QeiXian(XS(5,:),XS(4,:);mn4=QeiXian(XS(1,:),XS(4,:);WaiGongQeiXian=mn1(1,:);mn2(3,:);mn3(2,:);mn4(2,:)X1,Y1=Qeidian(XS(1,:),mn4(2,:);mn1(1,:);X2,Y2=Qeidian(XS(2,:),mn1(1,:);mn2(3,:);X5,Y5=Qeidian(XS(5,:),mn2(3,:);mn3(2,:);X4,Y4=Qeidian(XS(4,:),mn3(2,:);mn4(2,:);Q1=X1(:,1),

34、Y1(:,1);Q2=X2(:,1),Y2(:,1);Q3=X5(:,1),Y5(:,1);Q4=X4(:,1),Y4(:,1);WaiQeiDian=Q1;Q2;Q3;Q4;WaiQeiDian=real(WaiQeiDian)NeiGongQeiXian=mn1(2,:);mn2(2,:);mn3(1,:);mn4(3,:)X1,Y1=Qeidian(XS(1,:),mn1(2,:);mn4(3,:);X2,Y2=Qeidian(XS(2,:),mn2(2,:);mn1(2,:);X5,Y5=Qeidian(XS(5,:),mn3(1,:);mn2(2,:);X4,Y4=Qeidian(X

35、S(4,:),mn4(3,:);mn3(1,:);Q1=X1(:,1),Y1(:,1);Q2=X2(:,1),Y2(:,1);Q3=X5(:,1),Y5(:,1);Q4=X4(:,1),Y4(:,1);NeiQeiDian=Q1;Q2;Q3;Q4;NeiQeiDian=real(NeiQeiDian)clear Q1 Q2 Q3 Q4 X1 X2 X3 X4 X5 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5X=WaiQeiDian(:,1);Y=WaiQeiDian(:,2); %求直線作圖邊界xmin=min(X); xmax=max(X);ymin=min(Y);ymax=max(Y);lix=xmin

36、:0.1:xmax;liy=ymin:0.1:ymax;clear X Y%外切線。XJ=WaiGongQeiXian;lw1s=line(XJ(1,1),XJ(1,2),liy,2);lw2h=line(XJ(2,1),XJ(2,2),lix,1);lw3s=line(XJ(3,1),XJ(3,2),liy,2);lw4h=line(XJ(4,1),XJ(4,2),lix,1);%內(nèi)切線。XJ=NeiGongQeiXian;ln1s=line(XJ(1,1),XJ(1,2),liy,2);ln2h=line(XJ(2,1),XJ(2,2),lix,1);ln3s=line(XJ(3,1),X

37、J(3,2),liy,2);ln4h=line(XJ(4,1),XJ(4,2),lix,1);clear XJfigure,plot(NiheBianx,NiheBianyu,'+',NiheBianx,. NiheBianyd,'+',lw1s,liy,lw3s,liy,ln1s,liy,. ln3s,liy,lix,lw2h,lix,lw4h,lix,ln2h,lix,ln4h,. NeiQeiDian(:,1),NeiQeiDian(:,2),'o',. WaiQeiDian(:,1),WaiQeiDian(:,2),'o'

38、)axis('equal');clear lw1s lw2h lw3s lw4h ln1s ln2h ln3s ln4hdisp('基于8個(gè)特征點(diǎn)的相機(jī)內(nèi)外部參數(shù)與圓中心像點(diǎn)求解')%順序?yàn)?%求相機(jī)內(nèi)外參數(shù)% 2(A) 3(B) 5(C)% 1(E) 4(D)Xf1=WaiQeiDian(:,1);Yf1=WaiQeiDian(:,2);%Word為世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，Z坐標(biāo)取0Word1=dlmread('Yuanxindata8.m');xw=Word1(:,1);yw=Word1(:,2);fb=1577/3.78R1 T1 f1 k11

39、 k1=TwoStage(Xf1,Yf1,xw,yw,fb)fc1=abs(fb-f1)*100/fbclear xw ywW1=-50 -50 0;-50 50 0;-20 50 0;50 -50 0;50 50 0;image1=WordToImage(R1,T1,fb,W1)ximage=image1(:,1);yimage=image1(:,2);x=ximage(2) ximage(3) ximage(5);y=yimage(2) yimage(3) yimage(5);n=length(y);X=x',ones(n,1);Y=y'pl1,bi,r,rint,s1=r

40、egress(Y,X);pl1,s1%figure,rcoplot(r,rint)y1=pl1(1).*x+pl1(2)figure,plot(x,y,'+',x,y1,'LineWidth',2),axis('equal')disp('基于16個(gè)特征點(diǎn)的相機(jī)內(nèi)外部參數(shù)與圓中心像點(diǎn)求解')Xf2=WaiQeiDian(:,1);NeiQeiDian(:,1);Yf2=WaiQeiDian(:,2);NeiQeiDian(:,2);%Word為世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，Z坐標(biāo)取0Word2=dlmread('Yuanxindata

41、16.m');xw=Word2(:,1);yw=Word2(:,2);R2 T2 f2 k21 k2=TwoStage(Xf2,Yf2,xw,yw,fb)fc2=abs(fb-f2)*100/fbimage2=WordToImage(R2,T2,fb,W1)ximage=image2(:,1);yimage=image2(:,2);x=ximage(2) ximage(3) ximage(5);y=yimage(2) yimage(3) yimage(5);n=length(y);X=x',ones(n,1);Y=y'pl2,bi,r,rint,s2=regress(Y

42、,X);pl2,s2%figure,rcoplot(r,rint)y1=pl2(1).*x+pl2(2)figure,plot(x,y,'+',x,y1,'LineWidth',2),axis('equal')clear bi r rint X Y x y y1 ximage yimage i lix liy m1 n . num num1 x1 xh xH yH xw ywtoc %程序運(yùn)行完畢，關(guān)閉計(jì)時(shí)器，并顯示程序運(yùn)行時(shí)間函數(shù)程序，文件名：NiHeTuoYuan.mfunction xishu,bi,r,rint,s=NiHeTuoYuan

43、(X,Y)%橢圓擬合n=length(Y); Xnew=X.2 X.*Y Y.2 X Y;Ynew=-ones(n,1);B,bi,r,rint,s=regress(Ynew,Xnew);%系數(shù)順序：ax2+bxy+cy2+dx+ey+1=0xishu=B',1;函數(shù)程序，文件名：TuoYuanZhonxin.mfunction X,Y=TuoYuanZhonxin(xishu)%求橢圓中心點(diǎn)坐標(biāo)a=xishu(1);b=xishu(2);c=xishu(3);d=xishu(4);e=xishu(5);temp=b.*b-4*a.*c;X=(2*c*d-b*e)/temp; %橢圓中

44、心點(diǎn)橫坐標(biāo)Y=(2*a*e-b*d)/temp; %橢圓中心點(diǎn)縱坐標(biāo)函數(shù)程序，文件名：NHTYBian.mfunction xn,ynu,ynd=NHTYBian(xishu,x)a=xishu(1);b=xishu(2);c=xishu(3);d=xishu(4);e=xishu(5);longx=length(x);j=1;for i=1:longx pd=(b*x(i)+e)2-4*c*(a*x(i)2+d*x(i)+1); if pd>=0 ynu(j)=(-(b*x(i)+e)+sqrt(pd)/(2*c); ynd(j)=(-(b*x(i)+e)-sqrt(pd)/(2*c)

45、; xn(j)=x(i);j=j+1; endend函數(shù)程序，文件名：QeiXian r.mfunction mn=QeiXian(k,l)s1=k(5)2-4*k(3)*k(6);s2=4*k(3)*k(4)-2*k(2)*k(5);s3=k(2)2-4*k(1)*k(3);s4=2*k(4)*k(5)-4*k(2)*k(6);s5=2*k(2)*k(4)-4*k(1)*k(5);s6=k(4)2-4*k(1)*k(6);q1=l(5)2-4*l(3)*l(6);q2=4*l(3)*l(4)-2*l(2)*l(5);q3=l(2)2-4*l(1)*l(3);q4=2*l(4)*l(5)-4*

46、l(2)*l(6);q5=2*l(2)*l(4)-4*l(1)*l(5);q6=l(4)2-4*l(1)*l(6);syms m0 n0fun1=s1*m02+s2*m0*n0+s3*n02+s4*m0+s5*n0+s6;fun2=q1*m02+q2*m0*n0+q3*n02+q4*m0+q5*n0+q6;M0,N0=solve(fun1,fun2,m0,n0);mn1=M0,N0;mn=double(mn1);函數(shù)程序，文件名：Qeidian.mfunction X,Y=Qeidian(k,mn)syms x yline,row=size(mn);for i=1:linefun1=mn(i,

47、1)*x+mn(i,2)-y;fun2=k(1)*x2+k(2)*x*y+k(3)*y2+k(4)*x+k(5)*y+k(6);X1,Y1=solve(fun1,fun2,x,y);line1,row1=size(X1);X(i,:)=double(X1');Y(i,:)=double(Y1');end函數(shù)程序，文件名：TwoStage.mfunction R,T,f,k1,k=TwoStage(Xd,Yd,Xw,Yw,fb)C=Yd.*Xw Yd.*Yw Yd -Xd.*Xw -Xd.*Yw;Y=Xd;X=CY;l1=X(1);l2=X(2);l3=X(3);l4=X(4);l5=X(5);clear Y X C%求+tyC=l1,l2;l4,l5;A=l12+l22+l42+l52;B=(l1*l5-l2*l4)2;if rank(C)=2 ty2=(A-sqrt(A2-4*B)/(2*B);else z=C(abs(C)>0); ty2=1.0/(z(1)2+