教學(xué)目的本節(jié)主要是復(fù)習(xí)高中階段學(xué)過的集合以及函數(shù)的

1、第一節(jié) 函 數(shù)教學(xué)目的：本節(jié)主要是復(fù)習(xí)高中階段學(xué)過的集合以及函數(shù)的概念、性質(zhì)；介紹鄰域、分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念。教學(xué)重點(diǎn)：分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)；教學(xué)過程：一、 集合、常量與變量(一) 集合1、集合：集合是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的全體。通常用大寫字母A、B、C等來(lái)表示，組成集合的各個(gè)事物稱為該集合的元素。若事物a是集合M的一個(gè)元素，就記aM（讀a屬于M）；若事物a不是集合M的一個(gè)元素，就記aM或aM（讀a不屬于M）；集合有時(shí)也簡(jiǎn)稱為集。注意：（1）對(duì)于一個(gè)給定的集合，要具有確定性的特征，即對(duì)于任何一個(gè)事物或元素，能夠判斷它屬于或不屬于給定的集合，二者必居其一.（2）對(duì)于一個(gè)給定的

2、集合，其中的元素應(yīng)是互異的，完全相同的元素，不論數(shù)量多少，在一個(gè)集合里只算作一個(gè)元素，就是說(shuō)，同一個(gè)元素在同一個(gè)集合里不能重復(fù)出現(xiàn).（3）若一集合只有有限個(gè)元素，就稱為有限集；否則稱為無(wú)限集2. 集合的表示法表示集合的方法，常見的有列舉法和描述法兩種.列舉法：按任意順序列出集合的所有元素，并用花括號(hào) 括起來(lái)，這種方法稱為列舉法.例 方程x2+2x-3=0根的集合A，可表示為 A=-3,1.描述法：設(shè)P(a)為某個(gè)與a有關(guān)的條件或法則，把滿足P(a)的所有元素a構(gòu)成的集合A表示為 A= a| P(a) ,這種方法稱為描述法.例 由不等式x-3>2的解構(gòu)成的集合A可表示為 A=x|x>

3、5.例 由拋物線y=x2+3上的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的集合為B，可表示為 圖1-1 B=(x,y)|y=x2+3. 3.全體自然數(shù)集記為N,全體整數(shù)的集合記為Z,全體有理數(shù)的集合記為Q,全體實(shí)數(shù)的集合記為R。以后不特別說(shuō)明的情況下考慮的集合均為數(shù)集。 4.集合間的基本關(guān)系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有，必有，就稱A為B的子集，記為,或(讀B包含A)。 顯然：. 若,同時(shí),就稱A、B相等,記為A=B。 5.不含任何元素的集稱為空集,記為,如：=,=,空集是任何集合的子集,即。(二) 區(qū)間與鄰域 1. 區(qū)間 設(shè)a和b都是實(shí)數(shù)，且a<b, 數(shù)集 x | a<x<b 稱為開區(qū)間

4、，記作(a,b)，即 (a , b)=x | a<x<b. a和b稱為開區(qū)間( a , b ) 的端點(diǎn)，這里a( a ,b ) ， b( a ,b ). 數(shù)集 x |a 稱為閉區(qū)間，記作a,b，即 a, b = x| a .a和b稱為閉區(qū)間 a ,b 的端點(diǎn)，這里a a , b ， b a , b . 類似地可以說(shuō)明： a,b )= x | ax<b ,( a ,b =x |a<xb , a,b )和( a ,b都稱為半開區(qū)間. 以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間.數(shù)b-a稱為這些區(qū)間的長(zhǎng)度.從數(shù)軸上看，這些有限區(qū)間是長(zhǎng)度為有限的線段.閉區(qū)間a,b與開區(qū)間（a,b）在數(shù)軸上表示

5、出來(lái)，分別如圖1-7（a）與(b).此外還有無(wú)限區(qū)間，引進(jìn)記號(hào)+（讀作正無(wú)窮大）及-（讀作負(fù)無(wú)窮大），則可類似地表示下面的無(wú)限區(qū)間: a，+)= x | ax， (- ,b )= x | x<b， 這兩個(gè)無(wú)限區(qū)間在數(shù)軸上如圖1-7(c ).(d)所示. 圖1-7 全體實(shí)數(shù)的集合也可記作（-，+），它也是無(wú)限區(qū)間.2.鄰域. 設(shè)是任一正數(shù)，a為某一實(shí)數(shù)，把數(shù)集 x| |x-a | <稱為點(diǎn)a的鄰域，記作U（a, ），即 U(a, )= x| |x-a | <點(diǎn)a稱為這鄰域的中心，稱為這鄰域的半徑.（圖1-8）由于a-<x<a+相當(dāng)于| x-a |<，因此U(a

6、, ）= x| a-<x<a+,也就是開區(qū)間( a-,a+) 圖1-8因?yàn)閨 x-a |表示點(diǎn)x與點(diǎn)a間的距離，所以U(a, ）表示：與點(diǎn)a距離小于的一切點(diǎn)x的全體.例如: | x-2 |<1,即為以點(diǎn)a=2為中心，以1為半徑的鄰域，也就是開區(qū)間(1,3)有時(shí)用到的鄰域需要把鄰域中心去掉.點(diǎn)a的鄰域去掉中心a后，稱為點(diǎn)a的去心的鄰域，記作U(, ），即U(, ）= x | 0<|x-a |<.這里0<|x-a|就表示xa.例如: 0<| x-2 |<1,即為以點(diǎn)a=2為中心,半徑為1的去心鄰域(1,2)(2,3). (三)常量與變量 在自然科學(xué)中

7、，我們會(huì)遇到各種不同的量，然而在觀察這些量時(shí)，發(fā)現(xiàn)有著非常不同的狀態(tài)，有的量在過程中不起變化，保持一定的數(shù)值，此量稱為常量；又有些量有變化，可取各種不同的數(shù)值，這種量稱為變量?！纠繑S同一鉛球數(shù)次，發(fā)現(xiàn)鉛球的質(zhì)量、體積為常量，而投擲距離、上拋角度、用力大小均為變量。注1：常量與變量是相對(duì)而言的，同一量在不同場(chǎng)合下，可能是常量，也可能是變量，如在一天或在一年中觀察某小孩的身高；從小范圍和大范圍而言，重力加速度可是常量和變量，然而，一旦環(huán)境確定了，同一量不能既為常量又為變量，二者必居其一。 2：常量一般用a,b,c等字母表示，變量用x,y,u,t等字母表示，常量a為一定值，在數(shù)軸上可用定點(diǎn)表示，變

8、量x代表該量可能取的任一值，在數(shù)軸上可用動(dòng)點(diǎn)表示，如：表示可代表中的任一個(gè)數(shù)。二、 函數(shù)的概念定義：設(shè)和為兩個(gè)變量，為一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)每一個(gè)，按照一定的法則變量總有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，就稱為的函數(shù)，記為.數(shù)集稱為該函數(shù)的定義域，叫做自變量，叫做因變量。 當(dāng)取數(shù)值時(shí)，依法則的對(duì)應(yīng)值稱為函數(shù)在時(shí)的函數(shù)值。所有函數(shù)值組成的集合稱為函數(shù)的值域。關(guān)于函數(shù)定義的幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）我們這里所講的函數(shù)是指單值函數(shù)，也就是說(shuō)，對(duì)于每一個(gè)x值只能對(duì)應(yīng)變量y的一個(gè)值.（2）符號(hào)“f”的意義符號(hào)“f”表示自變量x與函數(shù)y的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系.例如y=f(x)=5x2+3x-1，它的對(duì)應(yīng)關(guān)系”f”是自變量的平方乘以5加上

9、自變量的3倍減去1，我們不妨簡(jiǎn)化為y=f( )=5( )2+3( )-1。如x=3時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是 f(3)=532+33-1.同樣當(dāng)x=a時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是 f(a)=5a2+3a-1.表示函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的符號(hào)也常常用“g”、“F”等表示，這時(shí)函數(shù)就記作y=g(x)、y=F(x)等.（3）確定函數(shù)的兩個(gè)要素定義域和對(duì)應(yīng)法則 函數(shù)概念反映著自變量和因變量之間的依賴關(guān)系.它涉及到定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域.很明顯，只要定義域和對(duì)應(yīng)法則確定了，值域也就隨之確定.因此，定義域和對(duì)應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩個(gè)要素，只要兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，那么，這兩個(gè)函數(shù)就相同；如果定義域或?qū)?yīng)法則有一個(gè)不相同，那

10、么這兩個(gè)函數(shù)就不相同.例如：函數(shù) f(x)=與g(x)=1，因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)椋?，0）(0,+），而g(x)的定義域?yàn)椋?，+），所以f(x)與g(x)是不同的函數(shù).（4）函數(shù)定義域的求法 對(duì)于由實(shí)際問題得到的函數(shù)，其定義域應(yīng)該由問題的具體條件來(lái)確定.如例1函數(shù)S=r2中，自變量r是圓的半徑，故此函數(shù)的定義域就是 (0,+）.例2中，自變量Q表示銷售的臺(tái)數(shù)，故此函數(shù)的定義域是全體自然數(shù).若函數(shù)由公式給出時(shí)，不考慮函數(shù)的實(shí)際意義，這時(shí)函數(shù)的定義域就是使式子有意義的自變量的一切實(shí)數(shù)值.例 1 求函數(shù)f(x)=的定義域 .解 應(yīng)使 即 所以此函數(shù)的定義域?yàn)?, +）.例2 求函數(shù)f(x)=ar

11、csin + 的定義域解 應(yīng)使 即 也就是 -4x <5所以此函數(shù)的定義域?yàn)镈=-4,5）.注 1：函數(shù)通常還可用等表示。 2：約定：函數(shù)的定義域就是自變量所能取的，使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值的全體。例3 的定義域?yàn)?，值域?yàn)?。? 的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，從而顯然。 3、若對(duì)每一個(gè)，只有唯一的一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，就稱函數(shù)為單值函數(shù)；若有不止一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，就稱為多值函數(shù)。如：等。以后若不特別聲明，只討論單值函數(shù)。 4、函數(shù)的表示法有三種：解析法、圖象法、列表法。其中解析法較普遍，它是借助于數(shù)學(xué)式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)法則，上例均為解析法，注意例3的法則是：當(dāng)自變量在上取值，其函數(shù)值為；當(dāng)取0時(shí)，；當(dāng)在上取值

12、時(shí)，其函數(shù)值為。（這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，在以后經(jīng)常遇見，希望注意?。┍M管有幾個(gè)不同的算式，但它們合起來(lái)只表示一個(gè)函數(shù)！ 5、對(duì)中任一固定的，依照法則有一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)在坐標(biāo)平面上就確定了一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)取遍中的每一數(shù)時(shí)，便得到一個(gè)點(diǎn)集，我們稱之為函數(shù)的圖形。換言之，當(dāng)在中變動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡就是的圖形。【例5】 例3的圖形如下圖 三、 函數(shù)的幾種特性1 函數(shù)的有界性：設(shè)在上有定義，若對(duì)，使得：，就稱在上有界，否則稱為無(wú)界。注：1、若對(duì)，使得，就稱在上有上(下)界。在上有界在上同時(shí)有上界和下界。2、在上無(wú)界也可這樣說(shuō)：對(duì)，總，使得。2、函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對(duì)，當(dāng)時(shí)總有

13、：（1），就稱在上單調(diào)遞增，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式成立時(shí)，就稱在上嚴(yán)格單調(diào)遞增。（2），就稱在上單調(diào)遞減，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式成立時(shí)，就稱在上嚴(yán)格單調(diào)遞減。注：1、此處的定義與書上有區(qū)別，希望注意！1、 2、這樣的函數(shù)分別稱為單調(diào)函數(shù)和嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。2、 3、調(diào)遞增有時(shí)簡(jiǎn)稱單增、遞增或不減，其它也一樣。例6 在上是嚴(yán)格單減函數(shù)。例7 例3中的函數(shù)在定義域上不是單調(diào)的，但在上是嚴(yán)格單減的，在上是嚴(yán)格單增的。3、函數(shù)的奇偶性：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)稱于原點(diǎn)的數(shù)集，即若，有，(1) 若對(duì)，有恒成立，就稱為偶函數(shù)。(2) 若對(duì)，有恒成立，就稱為奇函數(shù)。例8 ，,是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。 ，是非奇非偶函數(shù)。例9 是奇函數(shù)

14、。注：1、偶函數(shù)的圖形是關(guān)于軸對(duì)稱的，奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。2、若是奇函數(shù)，且，則必有。3、兩偶函數(shù)和為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)和為奇函數(shù)；兩偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)的積也為偶函數(shù)；一奇一偶的積為奇函數(shù)。4、周期性：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻?，使得?duì)，有，且恒成立，就稱為周期函數(shù)，稱為的周期。例10 分別為周期為的周期函數(shù)，為周期為1的函數(shù)。注1：若為的周期，由定義知也都是的周期，故周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期，通常說(shuō)的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（為什么？）例如：，設(shè)有最小正周期。 2：周期函數(shù)在一每個(gè)周期（為任意數(shù)，為任意常數(shù)）上，有相同的形狀。四、 反函數(shù) 設(shè)的定義

15、域?yàn)?，值域?yàn)椋虼?，?duì)，必，使得，這樣的可能不止一個(gè)，若將當(dāng)作自變量，當(dāng)作因變量，按函數(shù)的概念，就得到一新函數(shù)，稱之為函數(shù)的反函數(shù)，而叫做直接函數(shù)。注1：反函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?2：由上討論知，即使為單值函數(shù)，其反函數(shù)卻未必是單值函數(shù)，以后對(duì)此問題還作研究； 3：在習(xí)慣上往往用表示自變量，表示因變量，因此將中的與對(duì)換一下，的反函數(shù)就變成，事實(shí)上函數(shù)與是表示同一函數(shù)的，因?yàn)?，表示函?shù)關(guān)系的字母沒變，僅自變量與因變量的字母變了，這沒什么關(guān)系。所以說(shuō)：若的反函數(shù)為，那么也是的反函數(shù)，且后者較常用； 4：反函數(shù)的圖形與直接函數(shù)的圖形是對(duì)稱于（證明很簡(jiǎn)單，大家自己看書）； 例11 函數(shù)的反函數(shù)分別為

16、：或分別為。五、初等函數(shù)（一）冪函數(shù)形如（為常數(shù)）的函數(shù)叫做冪函數(shù)。其定義域較為復(fù)雜，下作一些簡(jiǎn)單的討論：（1） 當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?；?） 當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?；?） 當(dāng)為其它有理數(shù)時(shí)，要視情況而定。例12 的定義域?yàn)椋?的定義域?yàn)椋?的定義域?yàn)?。?） 當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，規(guī)定其定義域?yàn)?，其圖形也很復(fù)雜，但不論取何值，圖形總過（1，1）點(diǎn)，當(dāng)>0時(shí)，還過（0，0）點(diǎn)。（二）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)：形如的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)?，其圖形總在軸上方，且過（0，1）點(diǎn)，（1） 當(dāng)時(shí)，是單調(diào)增加的；（2） 當(dāng)時(shí)，是單調(diào)減少的；以后我們經(jīng)常遇到這樣一個(gè)指數(shù)函數(shù)的意義以后講，其圖形大

17、致如下圖所示，特別地，與關(guān)于軸對(duì)稱。2、對(duì)數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，記為為常數(shù)，,稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)?，由前面反函?shù)的概念知：的圖形和的圖形是關(guān)于對(duì)稱的，從此，不難得的圖形，的圖形總在軸右方，且過（1，0）點(diǎn)（1） 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且在（0，1）為負(fù)，上為正；（2） 當(dāng)1時(shí)，單調(diào)遞減，且在（0，1）為正， 上為負(fù)；特別當(dāng)取時(shí)，函數(shù)記為，稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)。（三）三角函數(shù)與反三角函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)主要是：正弦函數(shù)：余弦函數(shù)：正切函數(shù)：余切函數(shù)：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為周期為的周期函數(shù)，正切函數(shù)和余切函數(shù)均為周期為的周期函數(shù)。正弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)都是奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)；另外還有兩個(gè)

18、：正割和余割，其圖形在此不做討論了。反三角函數(shù)：反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，它們分別為：反正弦函數(shù)：反余弦函數(shù)：反正切函數(shù)：反余切函數(shù)：顯然反三角函數(shù)都是多值函數(shù)，單我們可選取其一個(gè)單值分支，叫做主值，選法如下：將限制在上，得一單值函數(shù)，記為，它就是所取主值函數(shù)，叫做主值區(qū)間，顯然，同理：將限制在上，得將限制在上，得將限制在上，得從圖中不難看出和是單調(diào)遞增的，和是單調(diào)遞減的。六 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)設(shè)，定義域?yàn)?，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，且，這樣對(duì)于，由可算出函數(shù)值，所以，由又可算出其函數(shù)值，因此對(duì)于，有確定的值與之對(duì)應(yīng)，從而得一個(gè)以為自變量，為因變量的函數(shù)，我們稱之為以為外函數(shù)，為內(nèi)函數(shù)復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)，記為，其中為中間變量。例13 就是和復(fù)合而成； 就是和復(fù)合而成。注1：并非任何兩函數(shù)都可以復(fù)合的，例如：和不能復(fù)合； 和也不能復(fù)合。 2：復(fù)合可推廣到三個(gè)或更多的函數(shù)上去，如：就是復(fù)合成的。3：在函數(shù)復(fù)合中，未必都有