勾股定理16種經(jīng)典證明方法

1、勾股定理的證明【證法1】做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為 a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是2,21,21,a b 4 ab = c 4 ab22,整理得【證法2】（鄒元治證明）a + b ,所以面積相等.即222a b = c.以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于-ab2.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使 A、E、B三點(diǎn)在一條直線上， B、F、C三點(diǎn)在一條直線上， C G D三點(diǎn)在一條直線上.Rt A HAE 且 Rt AEBF,/A

2、HE = /BEF / AEH + / AHE = 90 o, / AEH + / BEF = 90 o.Z HEF = 180 o 90o= 90 o.四邊形EFGH一個(gè)邊長(zhǎng)為c的 正方形.它的面積等于c2. Rt A GDH Rt A HAE,Z HGD = /EHA Z HGD + Z GHD = 90o,Z EHA + Z GHD = 90o.又 Z GHE = 90o,/ DHA = 90o+ 90 o= 180 o. ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a + b的正方形，它的面積等于 （a+b）.（a +b 2 = 4 父1 ab +c222,2.a bc2.【證法3（趙爽證明）以a、b為直角邊

3、（b>a）,以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角1ab三角形的面積等于 2.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀. Rt A DAH 9 Rt A ABE, / HDA = / EAB / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 90o, ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于EF = FG =GH =HE = b a , / HEF = 90 o.EFGH 是12個(gè)邊長(zhǎng)為b-a的正方形，它的面積等于 （b -a ）.4 ab b -a2,a2【證法b2 =c2.4（1876年美國(guó)總統(tǒng) Garfield 證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全

4、等的直角三角形,則每個(gè)直角三角形的面積等于-ab2.把這兩個(gè)直角三1.21.-a b =2 - ab222,22a +b =c .【證法5】（梅文鼎證明） 做四個(gè)全等的直角三角形，-c22設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b ,斜邊長(zhǎng)為c.把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形,角形拼成如圖所示形狀，使 A E、B三點(diǎn)在一條直線上. Rt A EAD 9 Rt ACBE,/ADE = /BEC / AED + / ADE = 90 o, / AED + / BEC = 90 o./ DEC = 180o90o= 90 o. A DE比一個(gè)等腰直角三角形，1 2它的面積等于2.又 /DAE = 90o, /

5、EBC = 90 o, AD / BC，ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于3a+才使D> E、F在一條直線上.過(guò)C作AC的延長(zhǎng)線交 DF于點(diǎn)P. D、E、F在一條直線上/ EGF = / BED /EGF + /GEF = 90，且 Rt A GEF 9 Rt AEBD,o.Z BED + Z GEF = 90 °/ BEG =180o90o= 90AB = BE = EG = GA = cABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形./ ABC + / CBE = 90 o.Rt A ABC 9 Rt AEBD, / ABC = / EBD /EBD + Z CBE = 90 o./ C

6、BD= 90o./ BDE = 90o, / BCP = 90 o, BC = BD = a .BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形. 同理，HPFG一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形. 設(shè)多邊形GHCB曲面積為S,則2 -1b2 = S 2 -ab,2-1=S 2 ab 2,2 . ,22a b =c .【證法6】（項(xiàng)明達(dá)證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b （ b>a）,斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上過(guò)點(diǎn)Q作QP/ BC,交AC于點(diǎn)P.過(guò)點(diǎn)B作BML PQ垂足為M再過(guò)點(diǎn)F作FN PQ垂足為N. / BCA = 90

7、o, QP/ BC/MPC = 90o,BMI± PQ/BMP = 90o,BCPM是一個(gè)矩形,即/ MBC = 90o. / QBM + / MBA = / QBA = 900,/ ABC + / MBA = / MBC = 900,/QBM = /ABC又 /BMP = 900, / BCA = 90 0, BQ = BA = c , Rt A BMQZ Rt A BCA同理可證 RtAQNF 9 Rt AAEF從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為【證法 4】（梅文鼎證明）.Ebaf/cAP、 bcQ c B【證法7（歐幾里得證明）做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為 a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H

8、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD 過(guò) C作 CL± DE, 交AB于點(diǎn)M,交DE于點(diǎn)L. AF = AC , AB = AD,/ FAB = / GADA FAB 9 A GAD1 2 a A FAB的面積等于2A GAD勺面積等于矩形 ADLM 的面積的一半，abaBb7_MMA-2矩形ADLM勺面積=a同理可證，矩形 MLEB勺面積 正方形ADEB的面積=矩形ADLM勺面積+. c2 =a2 +b2 ,即=b2矩形MLEB的面積a2 b2 =c2【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）【證法9（楊作玫證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為 a、b （b>

9、a）,斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形 .過(guò)A作AF± AC AF交GT于F, AF交DT于R 過(guò)B作BP! AF,垂足為 P.過(guò)D作DE與CB的延長(zhǎng)線垂直，垂足為 E, DE交AF于H / BAD = 900, / PAC = 90 0, / DAH = / BAC又 /DHA = 900, / BCA = 90 0, AD = AB = c , Rt A DHA 9 Rt A BCA DH = BC = a , AH = AC = b .由作法可知，PBCA是一個(gè)矩形，所以 Rt A APB 9 Rt A BCA 即 PB = CA = b , A

10、P= a,從而 PH = b a. Rt A DGT 9 Rt A BCA , Rt A DHA 9 Rt A BCA Rt A DGT 9 Rt A DHA .DH = DG = a , / GDT = / HDA .又 Z DGT = 900, / DHF = 90 0,Z GDH = ZGDT + ZTDH = / HDA+ ZTDH = 90o,DGFH是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.GF = FH = a . TF± AF, TF = GT GF = b a .TFPB是一個(gè)直角梯形，上底 TF=b-a,下底BP= b,高FP=a + （ba）. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖），則以

11、c為邊長(zhǎng)的正方形的面積為2c = S1S2 s3 s4s51n 21S8S3S4= -b，iba La，iba 1 b 一一ab2=2,S5 =S8S9S3S4二b21, c-2ab -S8= b2 - Si -S8把代入,c2 =S1s2b2 -S1 -S8S8S9.2=b S2s9 = b2a2.a2 b2 = c2【證法10】（李銳證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為 a、b （b>a）,斜邊的長(zhǎng)為c.做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為 成如圖所示形狀，使 A、E、G三點(diǎn)在一條直線上.用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖） .a、b、c的正方形，把它們拼 /TBE = / ABH = 90 o, ZTBH =

12、 Z ABE又 / BTH = / BEA = 90 o, BT = BE = b , Rt A HBT 9 Rt A ABEHT = AE = a .GH = GT HT = ba.又 /GHF + Z BHT = 90 o, / DBC + / BHT = / TBH + / /GHF = /DBC DB = EB ED = ba, / HGF = / BDC = 90o,BHT = 90 o, Rt A HGF Rt A BDC 即 S7 = S2 .過(guò) Q作 QML AG 垂足是 M 由/BAQ = Z BEA = 90 o,可知 Z ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c

13、,所以 Rt A ABE Rt A QAM.又 Rt A HBT Rt A ABE 所以 Rt A HBT 省 Rt A QAM,即 S8 =S5.又Rt A ABE 叁 Rt A QAM 又得 QM = AE = a , / AQM = / BAE/ AQM + / FQM = 90o, / BAE + / CAR = 90o, / AQM = / BAE/ FQM = / CARZ QMF = Z ARC = 90o, QM = AR = a ,Rt A QMF Rt A ARC 即 S4 = S6 .=Si又S72a-S2b2+ S2 +S3 +S4 +S5a2 =S +S6b2 =S3

14、 +S7 +S8S8 = S5S4 = S6=Si S6 s3 s7 s8_SlS4s3 s2s52=c ,.22b = c .【證法11（利用切割線定理證明）【證法12（利用多列米定理證明）【證法13（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）【證法14（利用反證法證明）【證法15（辛卜松證明）把正方形ABCD；iJ分成上,22, 2方左圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為（a+b） =a +b +2ab；把正方形 ABCDiJ分成上方右圖所示的幾個(gè)部分，則正方形 ABCM面積為2.22a b 2ab = 2ab c,21 ,2a b = 4 ab c22= 2ab c22,22a +b =c【證法1

15、6（陳杰證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b （b>a）,斜邊的長(zhǎng)為c.做兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為 a、b的正方形（b>a）,把它們拼成如圖所示形狀，使 E、H、M三點(diǎn)在一條直線上.用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖） 在EH = b上截取ED = a ,連結(jié)DA DC則 AD = c . EM = EH + HM = b + a , ED = a ,DM = EM ED = -a La = b .又 /CMD = 90o, CM = a,/AED = 90o, AE = b , Rt A AED 9 Rt ADMC/ EAD = / MDC DC = AD = c . / ADE + / ADC+ / MDC =18GO,/ ADE + / MDC = / ADE + / EAD = 90 o,Z ADC = 90o.作AB/ DC CB/ DA則ABC虛一個(gè)邊長(zhǎng)為 c的正方形. /BAF + / FAD = Z DAE + /FAD = 90 o,/ BAF=/ DAE連結(jié)FB,在A ABF和A ADE中， AB =AD = c , AE = AF = b ，/