第七章參數(shù)估計(jì)53056

1、第七章參數(shù)估計(jì)基本要求掌握點(diǎn)估計(jì)的幾種常用方法，了解無偏性、一致性、有效性是評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)，理解置信區(qū)間的概念和含義，會(huì)計(jì)算一些不同情況的區(qū)間估計(jì)。重點(diǎn) 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)難點(diǎn)總體均值與方差的置信區(qū)間求法。引言 統(tǒng)計(jì)推斷就是利用樣本資料信息對(duì)總體作推斷，由于信息的有限性，樣本的隨機(jī)性，做出的推斷不可能絕對(duì)準(zhǔn)確，這種不確定性可用概率大小來衡量。例如，某批產(chǎn)品的次品率是個(gè)未知數(shù)，可以從中抽取100件，如有5件次品，則這100件產(chǎn)品的次品率為，可以用樣品的次品率作為整批產(chǎn)品次品率的估計(jì)。又如，某地成年人的身高，可隨機(jī)抽取個(gè)成年人，這個(gè)成年人的平均身高可作為該地成年人平均身高的估計(jì)。參數(shù)估計(jì) 在已知

2、總體分布的類型時(shí)，總體分布中的一些參數(shù)往往未知，利用樣本的資料信息來估計(jì)總體分布中的一些未知參數(shù)（平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、比率等）。第一節(jié)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)引例 某地水稻面積為10000畝，隨機(jī)抽取4塊稻田，畝產(chǎn)分別為300，350，400，450，求該地平均畝產(chǎn)量及總產(chǎn)量的估計(jì)。設(shè)平均畝產(chǎn)量，樣本均值，平均畝產(chǎn)量估計(jì)，總產(chǎn)量的估計(jì)。由于樣本的隨機(jī)性，的具體值不同，就存在一個(gè)估計(jì)“好壞”的標(biāo)準(zhǔn)，即要求保證估計(jì)量有較大的概率取值在被估計(jì)參數(shù)的附近，而且估計(jì)量的方差盡量小。點(diǎn)估計(jì) 設(shè)總體的分布函數(shù)為，其中是一個(gè)未知的數(shù)或一個(gè)向量。若總體樣本,，構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，作為參數(shù)的估計(jì)，稱T為的估計(jì)量，記作，即，它是一個(gè)隨

3、機(jī)變量。是樣本,的一個(gè)觀測(cè)值，將代入中得到T的具體數(shù)值，稱為的估計(jì)值。同一個(gè)未知參數(shù)可用不同的方法求得其估計(jì)量。點(diǎn)估計(jì)的步驟 （1）構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量以此作為的估計(jì)量；（2）評(píng)價(jià)估計(jì)量的好壞。一、矩法估計(jì)階樣本原點(diǎn)矩；階樣本中心矩 （）階總體原點(diǎn)矩；階總體中心矩（為正整數(shù)）方法 樣本矩作為總體矩的估計(jì)量。理論背景：樣本,是獨(dú)立同分布，因而,也是獨(dú)立同分布，由大數(shù)定律知，（依概率）所以對(duì)充分大的，有由于中心矩可用原點(diǎn)矩表示，所以只討論原點(diǎn)矩。設(shè)為個(gè)參數(shù)組成的維向量，即（總體原點(diǎn)矩估計(jì)）（樣本原點(diǎn)矩）（,），由此得到個(gè)聯(lián)立方程，解之得，稱之為矩法估計(jì)量。例1 求總體均值、方差的矩估計(jì)解，；，所以，即矩法估

4、計(jì)中總體均值的估計(jì)量為樣本均值，總體方差估計(jì)量為樣本方差。例2 兩點(diǎn)分布，設(shè)，求的矩估計(jì)。解，所以，（概率（頻率）例3總體，求的矩估計(jì)。解，所以，二、極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)以概率最大為依據(jù)。如老獵人和新手同時(shí)朝一只野兔射擊，野兔被擊中但只中一槍，我們可認(rèn)為是老獵人打中的。方法 設(shè)總體分布已知，為密度函數(shù)，則樣本,的概率密度為直觀想法：哪一組參數(shù)值使現(xiàn)在的樣本,出現(xiàn)的可能性最大，哪一組參數(shù)可能就是真正的參數(shù)。樣本落在的鄰域內(nèi)的概率為，極大似然法就是使樣本落在鄰域內(nèi)的概率達(dá)到最大的參數(shù)作為估計(jì)量。記（稱為似然函數(shù)）定義作為的函數(shù)，它在時(shí)最大，則稱為的極大似然估計(jì)。即當(dāng)關(guān)于可微時(shí)，（稱為似然方程組

5、），解之得由于、極值點(diǎn)相同，所以似然方程組可簡(jiǎn)化成當(dāng)X為離散型時(shí)，事件“”發(fā)生的概率為例4 設(shè)總體，求的極大似然估計(jì)解，解之得，與矩法估計(jì)的結(jié)果（例1）相同。例5總體，求的極大似然估計(jì)。解無法用微分法求極值。因?yàn)?，所以，這以矩估計(jì)不同例6 設(shè)總體X的概率密度為，,為樣本，求參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)例7總體，求的極大似然估計(jì)。解無法用微分法求極值，必須從極大似然法估計(jì)的定義出發(fā)，求的最在值，即盡可能小，但，否則，所以，兩種點(diǎn)估計(jì)中，矩估計(jì)直觀簡(jiǎn)單；極大似然估計(jì)效果比較好，但要知道總體分布，且計(jì)算較復(fù)雜?？傮w為正態(tài)分布、泊松分布、二項(xiàng)分布時(shí)，總體分布中的未知參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)相同。第二節(jié)

6、 估計(jì)量?jī)?yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)同一個(gè)未知參數(shù)可能有若干種不同的估計(jì)，需要對(duì)參數(shù)的估計(jì)的優(yōu)良性進(jìn)行評(píng)價(jià)。估計(jì)量是隨機(jī)變量，不同的觀測(cè)結(jié)果就會(huì)得到不同的參數(shù)估計(jì)值，因而一個(gè)好的估計(jì)應(yīng)在多次重復(fù)試驗(yàn)中體現(xiàn)出其優(yōu)良性。一、無偏性一個(gè)好的估計(jì)量其不同的估計(jì)值應(yīng)在未知參數(shù)真值的附近，由此引出無偏性標(biāo)準(zhǔn)。定義 設(shè)為的一個(gè)估計(jì)量，若，則稱為的無偏估計(jì)量。意義 若多次相互獨(dú)立地重復(fù)用無偏估計(jì)量進(jìn)行實(shí)際估計(jì)，所得估計(jì)值的算術(shù)平均值與的真值基本上相同。在科學(xué)技術(shù)中，稱為用估計(jì)時(shí)產(chǎn)生的系統(tǒng)偏差，的實(shí)際意義是指估計(jì)量沒有系統(tǒng)偏差，只有隨機(jī)偏差。例1，可修改為，例2 設(shè)總體X服從二點(diǎn)分布，設(shè)，為未知參數(shù)，,是樣本，證明：是的無偏估

7、計(jì)。例3 設(shè)總體X服從區(qū)間上的均勻分布，其中為未知參數(shù)，又,為樣本，證明是的無偏估計(jì)。例4設(shè)總體X的均值 與方差均為未知參數(shù)，為樣本。證明為的無偏估計(jì)。為的一個(gè)估計(jì)量，為的一個(gè)實(shí)值函數(shù)，我們通常用作為的估計(jì)，但是的無偏估計(jì)，不一定是的無偏估計(jì)。例如，樣本標(biāo)準(zhǔn)差不是總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)。二、有效性均方誤差：越小越優(yōu)，即對(duì)的偏離程度越小越好。當(dāng)為的無偏估計(jì)時(shí)，這時(shí)方差越小越優(yōu)。定義 設(shè)、為的兩個(gè)無偏估計(jì)量，若，則稱比有效的無偏估計(jì)量。設(shè)為的無偏估計(jì)量，如果，都有，則稱為的有效估計(jì)量。例5為總體的樣本，比較下列無偏估計(jì)量的好壞。（1）、（2）、（3）例6 證明（線性估計(jì)量），當(dāng)時(shí)三、一致性一個(gè)好的估

8、計(jì)量應(yīng)是無偏的，且是具有較小方差的，同時(shí)當(dāng)樣本容量無限增大時(shí)，估計(jì)量能在某種意義上無限地接近于未知參數(shù)的真值。由此引入一致性（相合性）標(biāo)準(zhǔn)。定義 設(shè)為未知參數(shù)的估計(jì)量，若對(duì)任意的，均有，則稱為參數(shù)的一致估計(jì)量。第三節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、置信區(qū)間引例某批輪胎壽命（公里），從中隨機(jī)抽取100只輪胎，其平均壽命為32000公里，求輪胎平均壽命的區(qū)間估計(jì)。解 點(diǎn)估計(jì)（公里），由查正態(tài)表得對(duì)于有，查表可得 1-正態(tài)表，時(shí)查例如，取，由解得，又由得，稱為置信水平，稱為的置信區(qū)間。定義 總體分布有一個(gè)未知參數(shù)，由樣本,確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和，對(duì)于給定的，滿足，則稱隨機(jī)區(qū)間為的置信區(qū)間，稱為置信水平（度、系數(shù)、概率

9、），稱為顯著水平，分別稱為置信下限、上限。意義 保證參數(shù)有的概率落在區(qū)間中。通常取、參數(shù)的區(qū)間估計(jì)的原則：在保證有一定的置信度下，盡可能地提高精確度。構(gòu)造未知參數(shù)的置信區(qū)間的方法：（1）抽樣得樣本,，構(gòu)造一個(gè)包含的函數(shù)，分布已知的，且分布與無關(guān)；（2）對(duì)給定的置信水平，根據(jù)的分布函數(shù)，確定使；（3）由解得，即的置信水平為的置信區(qū)間。二、均值的置信區(qū)間正態(tài)總體（），在置信水平下，對(duì)總體未知均值的區(qū)間估計(jì)。（1）總體方差已知時(shí)，由引例易知，的置信區(qū)間 置信系數(shù)越大，越小，越大，區(qū)間估計(jì)的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，精確度越低；樣本容量越大，區(qū)間估計(jì)的長(zhǎng)度越短，精度越高。（2）總體方差未知時(shí)，所以，的置信區(qū)間 查表中

10、的及自由度而得。例1設(shè)總體X服從正態(tài)分布，其中已知，,為樣本，記，,對(duì)于給定的值()，若的置信水平為的置信區(qū)間的下限為，則該區(qū)間的上限為( )（A）（B） （C） （D）例2 某藥品每片中有效成分含量X（單位：）服從正態(tài)分布?，F(xiàn)從該藥品中任意抽取8片進(jìn)行檢驗(yàn)，測(cè)得其有效成分含量為分別計(jì)算該藥品有效成分含量均值的置信度為及的置信區(qū)間。（）例3 隨機(jī)地從一批釘子中抽取16枚，測(cè)得它們的直徑（，）（單位：厘米），并求得其樣本均值，樣本方差，已知，設(shè)釘子的直徑分布為正態(tài)分布，試求總體均值的置信水平為的置信區(qū)間。例4 已知某市新生嬰兒體重X（單位：）服從正態(tài)分布。其中未知，試用該市新生嬰兒體重的如下樣本

11、求出該市新生嬰兒平均體重的置信度為的置信區(qū)間。（）三、方差的置信區(qū)間正態(tài)總體（），在置信水平下，對(duì)總體未知方差的區(qū)間估計(jì)。，總體方差的置信區(qū)間 注意：查分布表中及自由度而得。例5 求例4中總體方差的置信度為的置信區(qū)間。例6自動(dòng)包裝機(jī)包裝某食品，每袋凈重。現(xiàn)隨機(jī)抽取10袋，測(cè)得每袋凈重（克），（，10），計(jì)算得，若未知，求的置信度為95%的置信區(qū)間，求的置信度為95%的置信區(qū)間。（附）四、雙樣本場(chǎng)合，正態(tài)總體，、，和獨(dú)立,來自總體，,來自總體、在置信水平下，對(duì)的區(qū)間估計(jì)。（1）方差已知時(shí)，的置信區(qū)間為（2）方差未知時(shí)，這是因?yàn)椤?，所以時(shí)，即的置信區(qū)間為例7 欲比較甲、乙兩種棉花品種的優(yōu)劣，現(xiàn)假設(shè)

12、用它們紡出的棉紗強(qiáng)度分別服從和，試驗(yàn)者從這兩種棉花中分別抽取,和,，其均值為，求的置信區(qū)間（）（，的置信區(qū)間為）例8 某公司利用兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)灌裝礦泉水，現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取樣本,和,，它們是每瓶礦泉水的體積（毫升），其均值為，樣本方差為，假設(shè)這兩條生產(chǎn)線灌裝的礦泉水的體積分別服從和，求的置信區(qū)間（）（，的置信區(qū)間為）上述兩例中，的置信區(qū)間包括了零，即可能大于，也可能小于，此時(shí)認(rèn)為和并沒有顯著差異。（3）雙樣本場(chǎng)合，正態(tài)總體，、，均值未知，和獨(dú)立,來自總體，,來自總體、在置信水平下，對(duì)的區(qū)間估計(jì)。因?yàn)榈闹眯艆^(qū)間為其中，查分布表中及第一自由度，第二自由度而得。四、非正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)當(dāng)樣本容量比

13、較大時(shí)，總體均值的置信區(qū)間仍可用正態(tài)總體來討論，這時(shí)的置信區(qū)間是近似的。設(shè)總體均值為，方差為，,為樣本，由于這些樣本是獨(dú)立同分布的，由中心極限定理知，對(duì)充分大的樣本容量，近似有在置信水平下：（1）總體方差已知時(shí)，的置信區(qū)間近似為（2）總體方差未知時(shí)，用的一個(gè)估計(jì)，例如來代替，得的置信區(qū)間近似為（樣本容量比較大，因而正態(tài)分布和分布近似）實(shí)踐表明，當(dāng)時(shí)，近似程度是可以接受的。例9 某公司欲估計(jì)自己生產(chǎn)的電池壽命，現(xiàn)從其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取50只電池做試驗(yàn)，得（單位：100小時(shí)），求該公司生產(chǎn)的電池平均壽命的置信系數(shù)為的置信區(qū)間。（，）五、二項(xiàng)分布和泊松分布的參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（），由中心極限定理知，對(duì)充分大的樣本容量，近似有，（）這樣得出的置信區(qū)間有未知參數(shù)，實(shí)際應(yīng)用中，可以用代替，即因而在置信水平下，的置信區(qū)間近似為例10 商品檢驗(yàn)部門隨機(jī)抽查了某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品100件，發(fā)現(xiàn)其中合格產(chǎn)品84件，試求該產(chǎn)品合格率的置