對(duì)稱性在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上對(duì)稱性在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用 “對(duì)稱”不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)容中一個(gè)重要的概念，更是一種重要的思想方法。在“對(duì)稱”中往往體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的“美”來(lái)。對(duì)稱性問題是一類用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的思想去研究圖形位置變化或圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)問題，有時(shí)在代數(shù)中若能運(yùn)用，就更會(huì)有獨(dú)到的效果。這類數(shù)學(xué)問題常常要運(yùn)用“動(dòng)”的思想去觀察、分析、推理、猜想，在運(yùn)動(dòng)中尋找不變的量，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，達(dá)到解決問題的目的。 這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)條件中的圖形運(yùn)動(dòng)，研究圖形在運(yùn)動(dòng)過程中或經(jīng)過運(yùn)動(dòng)后的位置變化與相關(guān)性質(zhì)；另一類是條件中無(wú)圖形的運(yùn)動(dòng)，要利用運(yùn)動(dòng)的思想研究其有關(guān)性質(zhì)。在初中數(shù)學(xué)中，圖形的運(yùn)動(dòng)的基本形式有三種：

2、（1）平移（包括點(diǎn)的移動(dòng)）；（2）圖形的翻折；（3）圖形的旋轉(zhuǎn)。無(wú)論哪種運(yùn)動(dòng)都有一個(gè)極為重要的基本結(jié)論：任何圖形經(jīng)過運(yùn)動(dòng)后，其形狀、大小都保持不變，即對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角都相等，變化的只是圖形的位置，這在解題中是潛在的重要前提。下面通過幾個(gè)例題進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析說(shuō)明“對(duì)稱性”在解題中的運(yùn)用。一、初中數(shù)學(xué)解題中圖形的對(duì)稱性的靈活運(yùn)用。例1、如圖1：ABC中，AB=AC,BAC=，BD平分ABC，且與AC相交于點(diǎn)D。 求：AD:DC的值； A D B C （圖1） 分析：讀完題目，要抓住BD平分BAC的條件，將ABD翻折過來(lái)，點(diǎn)A落在BC邊的點(diǎn)處（如圖2），這樣AD與D重合，則AD=D，問題就歸納為在DC中

3、求D：DC的問題。 A D B C 解法一：如圖2 在BC邊上截取一點(diǎn)，使B=BA， BD平分BAC，即ABD=DB，且BD=BDABDBDAD=D，BD=BAC= DC=BD=， 又AB=AC C=B= ,則DC= 在Rt DC中：D：DC=tgC=tg=, AD:DC= F A D B C E （如圖3） 解法二：如圖3 過D作DEBC于E，DFBA于F； BD平分BAC，DE = DF， 同解法一，BAC=，C=B= 得到FAD=， 在Rt DEC中 DE=DCsinC=DCsin=DC， 在Rt DAF中 DF=ADsinFAD=ADsin=AD DC=AD, AD:DC=說(shuō)明無(wú)論是解

4、法一中作輔助線的作用在于把ABD翻折過來(lái)，還是解法二種的由對(duì)稱性導(dǎo)出的角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，都是應(yīng)用了圖形的對(duì)稱性的翻折的性質(zhì)解決問題。方法簡(jiǎn)單便于聯(lián)想，當(dāng)然還有其它方法，請(qǐng)讀者自己完成。例2：設(shè)x的一個(gè)二次函數(shù)的圖象過A（0，1），B（1，3），C（-1，1）三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。思路如果不仔細(xì)觀察三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，設(shè)一般式求解，計(jì)算就很復(fù)雜，但通過觀察掌握了三個(gè)點(diǎn)的特點(diǎn)，利用點(diǎn)的“對(duì)稱”性，則達(dá)到事半功倍的效果。解A（0，1）、C（-1，1）兩點(diǎn)是拋物線上的兩個(gè)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，所以該拋物線對(duì)稱軸為x=，結(jié)合A（0，1）是拋物線y軸的交點(diǎn)，即函數(shù)的一般表達(dá)式中的常數(shù)項(xiàng)應(yīng)為1，據(jù)此

5、可設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式為Y=a（x+ ）2+1- 將B=（1，3）代入求得a=1所求函數(shù)解析式為y=x2+x+1例3：O的接四邊形ABCD的對(duì)角線ACBD于P，又OEAB于E，求證CD=2OE 思路如何將看似聯(lián)系不緊密的OE、CD拉到一起？或者說(shuō)如何構(gòu)造2AE？這里應(yīng)用“對(duì)稱”效果就很好。證明如圖，以O(shè)為中心作A關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)A，則AA為直徑，連AB、AC，則ACAC，又BDAC，故ACBD.所以CD=AB.另易知AB=2OE，從而CD=2OE。例4：ABC中，C=2B，求證：AB2=AC2+ACBC。思路待證式中出現(xiàn)平方，聯(lián)想到直角三角形，作ADBC，有勾股定理推知，只要證BD2=CD2+ACB

6、C，移項(xiàng)后整理知，只要證BD-CD=AC。證明如圖，作ADBC，以D為中心作C關(guān)于D的對(duì)稱點(diǎn)C，則有AC=AC,故C=ACC，又C=2B，ACC=B+BAC，于是B=BAC，故BC=AC=AC此時(shí)BD-CD=BD-CD=BC=ACBC（BD-CD）=ACBC（BD+CD）（BD-CD）=ACBCBD2=CD2+ACBCAD2+BD2=AD2+CD2+ACBCAB2=AC2+ACBC命題得證。例5：已知銳角AOB，P點(diǎn)位于角的部，試在角的兩邊上各確定一點(diǎn)M、N，使PMN的周長(zhǎng)最小。思路將三條線圍成的封閉折線打開，結(jié)合兩點(diǎn)間以線段最短的性質(zhì)加以研究。解如圖，作P點(diǎn)關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)P；再作P點(diǎn)關(guān)于B

7、O的對(duì)稱點(diǎn)P，由對(duì)稱性易知：PM=PM，PN=P”N，此時(shí)PM+MN+PN= PM+MN+ P”N。欲使周長(zhǎng)最小，M、N應(yīng)在PP”上，取M、N點(diǎn)為PP、與AO與BO的交點(diǎn)，此時(shí)PMN的周長(zhǎng)最小。例6：已知平行四邊形ABCD中，BC=，AC=3+，AB=2，將平行四邊形折疊，使A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，求折痕的長(zhǎng)度。思路首先要找出折痕位置，根據(jù)A與C重合的折疊要求，我們知道折痕為AC的中垂線。解如圖，過對(duì)角線交點(diǎn)O作EFAC分別交AB、CD于E、F，再作CGAB交AB延長(zhǎng)線于G，設(shè)CG=x，在RtAGC中有（3+）2=x2+（2+）BD2整理得：4x2=12+6 2x= 2x=3+ 即x=所以CAG=30

8、，在RtOAE中，OE=OAtg30=于是EF=2OE=1+。下面的三個(gè)題留作思考題，請(qǐng)讀者朋友思考：1、如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AD9，AB=3，將其折疊，使其點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C至點(diǎn)C/，折痕為EF求BEF的面積2、已知O的半徑為5，兩條平行弦長(zhǎng)分別為6和8，則兩條平行弦間的距離是 _。3、矩形ABCD中，AB=5，BC=12，將對(duì)角線BD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D落在BC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，那么tgBA的值等于 。二、初中數(shù)學(xué)題型的設(shè)計(jì)中對(duì)稱變換法的運(yùn)用。加強(qiáng)初中數(shù)學(xué)思想和方法的訓(xùn)練應(yīng)該落實(shí)到平時(shí)的教學(xué)中，總復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注重雙基、注重?cái)?shù)學(xué)思想方法培養(yǎng)的基礎(chǔ)上，能力的培養(yǎng)也必不可少。當(dāng)然能力的培養(yǎng)是多

9、方面的，這里主要是談?wù)勅绾卧陬}型的設(shè)計(jì)中，體現(xiàn)對(duì)稱變化法，使數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)更加有效，達(dá)到舉一反三、事半功倍的效果。例1、如圖ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，連BE延長(zhǎng)交AC于F，求AF：FC的值； A F E G B D C 分析：1、要解決這個(gè)問題，方法多種。一般地只要過點(diǎn)作相應(yīng)的平行線，構(gòu)造“A”字型或“X”字型，通過三角形全等，得到AF=DG,把AF：FC的問題轉(zhuǎn)化為DG：FC=BD:BC=1:2即可。2、學(xué)會(huì)對(duì)稱變換。在ADC中，由AD中點(diǎn)E，就可“對(duì)稱”的聯(lián)想到AC中點(diǎn)時(shí)，問題得到了變式轉(zhuǎn)化為：如下圖在ABC中，D為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，連結(jié)BF交AD于E，求AE：ED的值；過F點(diǎn)作FGAD交BC于G，過程請(qǐng)讀者思考后自己完成。 A E F B D G C例2、如圖：G是RtABC斜邊AB上任意一點(diǎn)，GDAB于G，交BC的延長(zhǎng)線于D，交AC于F，以AB為直徑的半圓交GD于E，求證; D E C F A G B 分析：1、 要解決本題方法多種，利用基本的三角形的相似即可。如AFGBDG，得到 =，再連接AE、BE