高數(shù)提高講義-第二講導數(shù)與微分

1、第二講 導數(shù)與微分一、考試要求1、理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)與微分的關系，理解（了解 ）導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的物理意義（經濟意義，含邊際和彈性），會用導數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的 可導性與連續(xù)性之間的關系。2、掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，了解微分的四則運算法 則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。3、了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)。4、會求分段函數(shù)的導數(shù)。會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程（*）所確定的函數(shù)及反函數(shù)的導數(shù)。二、內容提要1 、 導數(shù)與微分的定義（1）導數(shù)的定義：（ 2 ）左右導數(shù)：（3）幾

2、何意義：切線法線（4）微分的定義：若則 dy=A2 、 導數(shù)與微分的運算法則3 、 求導方法（ 1 ）復合函數(shù)求導：設 y=f（u）, u= （x）, 則 y=f （x）（ 2 ）參數(shù)方程求導：,（ 3 ）隱函數(shù) F（x,y）=0 求導：三種方法：直接求導、公式法、微分形式不變性（ 4 ） 對數(shù)求導 （適用于冪指函數(shù)、多項連乘除的情形）（5） 高階導數(shù)（6） 抽象函數(shù)、隱函數(shù)求二階導數(shù)三、重要公式與結論1、-般地，i)lifg(X)f(Xo)X3) limX Xo人 g(x)Xofg(x)f(Xo)0XXof g(x)fh(x)f (Xo)2) limX Xf (Xo)f (Xo)X Xo這里

3、 lim g(x) lim h(x)xoX XoX Xo *f(x)在X處可微 f(x)在X處可導lim 致XoX Xo X Xog(x) h(x) limX XoX Xo.f(x) limX 0 X Xo.f (X) limX 0 X Xo.f (X) limX 0 X Xof (X) limkX Xo(X Xo)f (X) limkX Xo(X Xo)可導的偶(奇)函數(shù)，其導函數(shù)為奇(偶)函數(shù)可導的周期函數(shù)，其導函數(shù)為同周期的函數(shù).yf (x)在(x, y)處有 y A(x, y) xA( x , y)(一階微分方程)可導 連續(xù) limX Xo若f(x)在x= Xo處連續(xù)，且f (Xo)o

4、, f (Xo)A廠(x)在x= Xo處連續(xù)，且f (x)在x= Xo處連續(xù)，且f(x)在x= Xo處連續(xù)，且f(x)在x= Xo處連續(xù)，且注：則可微設 f (Xo) o, f (Xo)，則設 lim g(x)，則 g(x)xx XoA(kA(of (X)f(Xo)(Xo)(Xo)1)o(o, f (Xo) Ao, f (Xo) Af (Xo) o, f (Xo) o1) f (Xo) o, fX)f (X)在Xo處可導的充分必要條件為Xo在Xo處可導的充分必要條件為f (Xo) 叫 g(X)8、常見導數(shù)不存在的情形1八 f (X) X Xo在x= Xo處導數(shù)不存在，但 X Xo (X Xo)

5、在Xo處可導(Xo) 不存在2) f(X).1x sin ,x0,x 0,x 0在x=0處當a 1時導數(shù)存在；a 1時導數(shù)不存在四、典型題型與例題題型一、有關導數(shù)的定義及性質1、分段函數(shù)在分界點處的導數(shù)2、已知極限求f (X0)，或已知f (x0 )求極限3、涉及抽象函數(shù)的導數(shù) f(X)4、抽象函數(shù)沒給岀可導的條件，考察在某點處的可導性或導函數(shù)例 1、設 f (0)0，則 f (x)在 x0處可導的為( )(c)lim 丄 f (1h 0h2lim 4r f (hh 0h2cosh)存在sinh)存在(B)lim f (1 eh)存在h 0 h(D)lim 丄 f(2h)h 0hf (h)存在

6、例2、設0處連續(xù)，且x00f1，則例 3、( 0634 )設 f x 在 x0處連續(xù)，且f(h2) h21，則(A) f (0)0且 f (0)(B) f (0)1 且 f (0)(C) f (0)0且 f (0)(D) f(0)1 且 f (0)例 4、(04123)設函數(shù)f (x)連續(xù)，且f(0)0，則存在0，使得(A) f (x)在(0,)內單調增加(B) f (x)在(，0)內單調減少(c)對 x (0,)有f (x)f (0)(D )對 x (,0)有 f (x)f(0)例5、設f(x)是以4為周期的函數(shù)，且f2，則 limh 0 f(3h4h)f ( 1)2例6、設f（x）可導，y

7、 f（x）自變量x在x1處取得增量x 0.1時相應的函數(shù)增量y的線性主部為0.1，則f（）（A） -1（ B） 0.1（ C） 1（ D）0.52,求曲線y=f（x）過ln f （x） 3例7、設函數(shù)f（x）在x=1處連續(xù)，且是周期為 2的周期函數(shù)，滿足limX 1xcos2點x= -1處的切線方程為 2例8、曲線y x與曲線y a ln x(a 0)相切，則a =(A)4e(B)3e(C)2e(D)e題型二、分段函數(shù)的導數(shù)方法：1、利用f （x0） A2、設 f（X。）0, f（X。）f（X。）f（X。） A，則f （x）在x0處可導的充分必要條件為f (x)03、設 lim g(x)，則

8、g(x)x X。在X0處可導的充分必要條件為lim g(x) 0X x0XXqln( 1 x) xX0x2 例9、設f（X）aX0在x 0處可導，求a,b,csin bxcx,X0X例10、設 f (x)0不連續(xù)(C)例11、例12、1x arcta n , x 0x，則f (x)在x 0處x 0可導但f(X)在X求函數(shù)f (x) (x處可導的0不連續(xù)(034 )設 f (x)x3(A)充分必要條件(C)充分但非必要條件題型三、變限積分求導h(x)方法：1、(、f (t)dtg(x) 2、若被積表達式中含有 x,再令u例13、F(x)(B)連續(xù)但不可導(D)可導且f(X)在x 0連續(xù)2)x s

9、in x的不可導點。(x)，其中(x)在x 1處連續(xù)，則 (1)0是f(x)在x 1(B)必要但非充分條件(D)既非充分也非必要條件fh(x)h (x) fg(x)g (x)h(x)g(x)a(x)f (x,t)dt ，提出 a(x),(x,t)，使被積表達式中不含有x20 tf(xt)dt 求 F (x)例 14、.設 f（X）sin xUduu,x0,求 f (0).0,例15、設f（X）連續(xù)，（X）10 f (Xt )dt ,limf (X)X 0 XA （為常數(shù)），求（x）,并討論(x)在 x 0處的連續(xù)性題型四、利用導數(shù)公式及法則求導1、熟記16個求導公式2、四則運算法則3、反函數(shù)求

10、導法則4、復合函數(shù)求導法則5、隱含數(shù)求導法則6、參數(shù)方程所確定函數(shù)的導數(shù)（極坐標） 注：1、直接求導或微分2、多項乘積的導數(shù)可考慮對數(shù)求導法3、區(qū)別 f g（x）, fg（x）例16、設方程xy y確定y是x的函數(shù)，求dydx3、公式法x arctan tdv例17、設函數(shù)V V(x)確定，求2y ty e5dx例18、(022 )已知曲線的極坐標方程是 r 1 cos求該曲線上對應處的切線與法線的直角坐標方程。題型五、高階導數(shù)方法：1、數(shù)學歸納法2、重要函數(shù)的高階倒數(shù)公式3、萊布尼茲公式4、冪級數(shù)展開(泰勒公式)f(x) an(x Xo)nn 0例 19、( 0023 )求 f (x)法一、

11、用萊布尼茲公式，nx2ln(1 x)的 f (n)(0)。2時 f (n)(0)0nx)(n k)|x0n 2 時，f(n)(0) C；(x2)(k)l n(1k 0Cn 2ln(1x)(n 2) |x 0n(n 1)( 1)n 3(n3)!(1nx)|x 0(1)03 n!n 2法二、泰勒公式f(x) x22 x3 xx23n 2(*仁 o(xn 2)(1)(n1)o(xn)【分析】利用函數(shù)y In 1【評注】此題也可用In 1x的麥克勞林展開式，比較系數(shù)得到結果0,n2f (n)(0)n3 n!(1),n2n 2例20、（ 102 ）函數(shù)yIn1 2x 在x0處的n階導數(shù)y n 0 =【答案】應填2nn