概率論與數(shù)理統(tǒng)計 答案

1、第七章 參數(shù)估計1一 隨機地取8只活塞環(huán)，測得它們的直徑為（以mm計）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求總體均值及方差2的矩估計，并求樣本方差S2。解：，2的矩估計是 。2二設X1，X1，Xn為準總體的一個樣本。求下列各總體的密度函數(shù)或分布律中的未知參數(shù)的矩估計量。（1）其中c>0為已知，>1，為未知參數(shù)。（2）其中>0，為未知參數(shù)。（5）為未知參數(shù)。解：（1），得（2）（5）E (X) = mp令mp = ，解得3三求上題中各未知參數(shù)的極大似然估計值和估計量。解：（1）似然函數(shù)（解唯一故為極大似然估計量）（2）

2、。(解唯一)故為極大似然估計量。（5），解得 ，（解唯一）故為極大似然估計量。4四(2) 設X1，X1，Xn是來自參數(shù)為的泊松分布總體的一個樣本，試求的極大似然估計量及矩估計量。解：（1）矩估計 X ( )，E (X )= ，故=為矩估計量。（2）極大似然估計，為極大似然估計量。（其中5六 一地質學家研究密歇根湖湖地區(qū)的巖石成分，隨機地自該地區(qū)取100個樣品，每個樣品有10塊石子，記錄了每個樣品中屬石灰石的石子數(shù)。假設這100次觀察相互獨立，并由過去經驗知，它們都服從參數(shù)為n=10，P的二項分布。P是該地區(qū)一塊石子是石灰石的概率。求p的極大似然估計值，該地質學家所得的數(shù)據(jù)如下樣品中屬石灰石的石

3、子數(shù)012345678910觀察到石灰石的樣品個數(shù)016723262112310解：的極大似然估計值為=0.499四(1) 設總體X具有分布律X123Pk22(1)(1) 2其中(0<<1)為未知參數(shù)。已知取得了樣本值x1=1，x2=2，x3=1，試求的矩估計值和最大似然估計值。解：（1）求的矩估計值 則得到的矩估計值為（2）求的最大似然估計值似然函數(shù) ln L( )=ln2+5ln+ln(1)求導 得到唯一解為8九(1) 設總體X N（， 2），X1，X1，Xn是來自X的一個樣本。試確定常數(shù)c使的無偏估計。解：由于=當。十 設X1，X2， X3， X4是來自均值為的指數(shù)分布總體的

4、樣本，其中未知，設有估計量 （1）指出T1，T2， T3哪幾個是的無偏估計量；（2）在上述的無偏估計中指出哪一個較為有效。解：（1）由于Xi服從均值為的指數(shù)分布，所以E (Xi )= ,D (Xi )= 2,i=1,2,3,4由數(shù)學期望的性質2°，3°有即T1，T2是的無偏估計量（2）由方差的性質2°，3°并注意到X1，X2， X3， X4獨立，知D (T1)> D (T2)所以T2較為有效。14.十四 設某種清漆的9個樣品，其干燥時間（以小時計）分別為6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。設干燥時間總體服從正態(tài)分

5、布N （，2），求的置信度為0.95的置信區(qū)間。（1）若由以往經驗知=0.6（小時）（2）若為未知。解：（1）的置信度為0.95的置信區(qū)間為（），計算得（2）的置信度為0.95的置信區(qū)間為（），計算得，查表t0.025(8)=2.3060.16.十六 隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，得炮彈口速度的樣本標準差為s=11(m/s)。設炮口速度服從正態(tài)分布。求這種炮彈的炮口速度的標準差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：的置信度為0.95的置信區(qū)間為其中=0.05, n=9查表知 19.十九 研究兩種固體燃料火箭推進器的燃燒率。設兩者都服從正態(tài)分布，并且已知燃燒率的標準差均近似地為0.05cm/s，取樣本

6、容量為n1=n2=20.得燃燒率的樣本均值分別為設兩樣本獨立，求兩燃燒率總體均值差12的置信度為0.99的置信區(qū)間。解：12的置信度為0.99的置信區(qū)間為其中=0.01，z0.005=2.58,n1=n2=20, 20.二十 設兩位化驗員A，B獨立地對某中聚合物含氯兩用同樣的方法各做10次測定，其測定值的樣本方差依次為分別為A，B所測定的測定值總體的方差，設總體均為正態(tài)的。設兩樣本獨立，求方差比的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：的置信度為0.95的置信區(qū)間= (0.222, 3.601).其中n1=n2=10，=0.05，F(xiàn)0.025(9,9)=4.03, 。第八章 假設檢驗1.一某批礦砂的5

7、個樣品中的鎳含量，經測定為（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。設測定值總體服從正態(tài)分布，問在 = 0.01下能否接受假設：這批礦砂的含鎳量的均值為3.25.解：設測定值總體XN（， 2）， 2均未知步驟：（1）提出假設檢驗H：=3.25; H1：3.25（2）選取檢驗統(tǒng)計量為（3）H的拒絕域為| t |（4）n=5, = 0.01，由計算知查表t0.005(4)=4.6041, （5）故在 = 0.01下，接受假設H02二 如果一個矩形的寬度與長度l的比，這樣的矩形稱為黃金矩形。這種尺寸的矩形使人們看上去有良好的感覺。現(xiàn)代建筑構件（如窗架）、工藝品（如圖片鏡框）、甚至司機的

8、執(zhí)照、商業(yè)的信用卡等常常都是采用黃金矩型。下面列出某工藝品工廠隨機取的20個矩形的寬度與長度的比值。設這一工廠生產的矩形的寬度與長短的比值總體服從正態(tài)分布，其均值為，試檢驗假設（取 = 0.05）H0： = 0.618H1：0.6180.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.6680.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933.解：步驟：（1）H0： = 0.618；H1：0.618（2）選取檢驗統(tǒng)計量為（3）H0的拒絕域為| t |（4）n=20 =

9、0.05，計算知，（5）故在 = 0.05下，接受H0，認為這批矩形的寬度和長度的比值為0.6183.三 要求一種元件使用壽命不得低于1000小時，今從一批這種元件中隨機抽取25件，測得其壽命的平均值為950小時，已知這種元件壽命服從標準差為 =100小時的正態(tài)分布。試在顯著水平 = 0.05下確定這批元件是否合格？設總體均值為。即需檢驗假設H0：1000，H1：<1000。解：步驟：（1）1000；H1：<1000；（ =100已知）（2）H0的拒絕域為（3）n=25， = 0.05，計算知（4）故在 = 0.05下，拒絕H0，即認為這批元件不合格。12.十一 一個小學校長在報紙

10、上看到這樣的報導：“這一城市的初中學生平均每周看8小時電視”。她認為她所領導的學校，學生看電視的時間明顯小于該數(shù)字。為此她向100個學生作了調查，得知平均每周看電視的時間小時，樣本標準差為s=2小時。問是否可以認為這位校長的看法是對的？取 = 0.05。（注：這是大樣本檢驗問題。由中心極限定理和斯魯茨基定理知道不管總體服從什么分布，只要方差存在，當n充分大時近似地服從正態(tài)分布。）解：（1）提出假設H0：8；H1：>8（2）當n充分大時，近似地服從N（0，1）分布（3）H0的拒絕域近似為z（4）n=100， = 0.05，S=2，由計算知（5）故在 = 0.05下，拒絕H0，即認為校長的看

11、法是不對的。14.十三 某種導線，要求其電阻的標準差不得超過0.005(歐姆)。今在生產的一批導線中取樣品9根，測得s=0.007(歐姆)，設總體為正態(tài)分布。問在水平 = 0.05能否認為這批導線的標準差顯著地偏大？解：（1）提出H0： 0.005；H1： >0.005（2）H0的拒絕域為（3）n=9， = 0.05，S=0.007，由計算知查表（4）故在 = 0.05下，拒絕H0，認為這批導線的標準差顯著地偏大。15.十四 在題2中記總體的標準差為。試檢驗假設（取 = 0.05）H0： 2 =0.112，H1： 2 0.112。解：步驟（1）H0： 2 =0.112；H1： 2 0.1

12、12（2）選取檢驗統(tǒng)計量為（3）H0的拒絕域為（4）n=20， = 0.05，由計算知S 2=0.0925 2，查表知（5）故在 = 0.05，接受H0，認為總體的標準差為0.11.16.十五 測定某種溶液中的水份，它的10個測定值給出s=0.037%，設測定值總體為正態(tài)分布， 2為總體方差。試在水平 = 0.05下檢驗假設H0： 0.04%；H1： <0.04%。解：（1）H0： 2 (0.04%)2；H1： 2 < (0.04%)2（2）H0的拒絕域為（3）n=10， = 0.05，S=0.037%，查表知由計算知（4）故在 = 0.05下，接受H0，認為大于0.04%17.十

13、六 在第6五題中分別記兩個總體的方差為。試檢驗假設（取 = 0.05）H0：以說在第6五題中我們假設是合理的。解：（1）H0：（2）選取檢驗統(tǒng)計量為（3）H0的拒絕域為（4）n1=8，n2=10， = 0.05，查表知F0.025(7,9)= 4.20F0.975(7,9)<F< F0.025(7,9)（5）故在 = 0.05下，接受H0，認為18.十七 在第8題七中分別記兩個總體的方差為。試檢驗假設（取 = 0.05）H0：以說明在第8七題中我們假設是合理的。解：（1）H0：（2）選取檢驗統(tǒng)計量（3）n1=n2=12， = 0.05，查表知F0.025(11,11)= 3.34，由計算知（4）故在 = 0.05下，接受H0，認為24.二十三 檢查了一本書的100頁，記錄各頁中印刷錯誤