向量的線性運(yùn)算的教學(xué)設(shè)計(jì)

1、向量的線性運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析1、本單元的教學(xué)內(nèi)容的范圍本單元包括向量的概念、向量的加法、向量的減法、數(shù)乘向量和向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算，共5小節(jié)內(nèi)容。2本單元的教學(xué)內(nèi)容在模塊內(nèi)容體系中的地位和作用站在數(shù)學(xué)學(xué)科角度來看平面向量，向量的運(yùn)算（包括中學(xué)階段的平面向量與空間向量）是在數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ)上對(duì)運(yùn)算的發(fā)展；向量的兩重性使得向量成為幾何問題代數(shù)化的一個(gè)重要組成部分，這對(duì)數(shù)字化時(shí)代研究幾何問題提供了一個(gè)良好的手段；平面向量為研究三角函數(shù)、解析幾何等提供了工具作用；平面向量是空間向量的基礎(chǔ)。向量的線性運(yùn)算作為平面向量的第一個(gè)單元的教學(xué)內(nèi)容，既是平面向量這一模塊的重要知識(shí)，也是學(xué)習(xí)本模塊其

2、他知識(shí)的基礎(chǔ)。3本單元的教學(xué)內(nèi)容總體教學(xué)目標(biāo)（1）通過實(shí)例，了解平面向量的實(shí)際背景。（2）理解平面向量和相等向量的含義，理解向量的幾何表示。（3）通過實(shí)例，掌握向量的加法、減法以及數(shù)乘向量運(yùn)算及其幾何意義；理解兩個(gè)向量共線的含義。（4）了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。（5）通過學(xué)習(xí)使學(xué)生初步體會(huì)向量所具有的代數(shù)和幾何的兩重性。4本單元的教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)和難點(diǎn)分析本單元的教學(xué)重點(diǎn)包括向量的概念、向量的線性運(yùn)算和平行向量基本定理；難點(diǎn)是向量的概念。通過學(xué)習(xí)使學(xué)生建立起向量的概念是學(xué)習(xí)向量知識(shí)的一個(gè)重要目標(biāo)，因而向量的概念是教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容；向量的線性運(yùn)算不僅是本單元的教學(xué)重點(diǎn)也是本模塊的教學(xué)

3、重點(diǎn)；通過學(xué)習(xí)平行向量基本定理不僅能加深對(duì)向量概念的理解，而且平行向量基本定理在向量知識(shí)體系和數(shù)學(xué)的其他分支中都有廣泛的應(yīng)用，因此平行向量基本定理應(yīng)是本單元的一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)。向量作為一個(gè)新的概念，學(xué)生開始接觸時(shí)自然會(huì)感到困難，加之小節(jié)中不僅概念多，而且還有自由向量和位置向量的干擾，更使得向量的概念難上加難，因此向量的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。當(dāng)然，學(xué)生對(duì)向量的加法、減法運(yùn)算及平行向量基本定理的理解會(huì)產(chǎn)生一定的困難，但學(xué)生如果很好的理解了向量的概念，則著幾個(gè)難點(diǎn)的難度會(huì)隨之降下來。5本單元教材的編寫特色（1） 用點(diǎn)的相對(duì)位置和位移理解向量（自由向量），用位移的合成理解向量的加法。（2） 用放大、縮

4、小理解數(shù)乘向量。用相似三角形的性質(zhì)理解數(shù)乘向量的分配率。二、本單元所需教學(xué)資源的概述教學(xué)中可采用幾何畫板及實(shí)物投影等輔助教學(xué)三、本單元學(xué)時(shí)建議本單元教學(xué)可用5課時(shí)來完成，具體分配如下：向量的概念1課時(shí)；向量的加法1課時(shí)；向量的減法1課時(shí)；數(shù)乘向量1課時(shí)；向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算1課時(shí)。四、本單元的教學(xué)內(nèi)容處理的幾點(diǎn)想法1關(guān)于向量概念的教學(xué)（1）先由學(xué)生已有的位移的概念出發(fā)，引入向量的概念：質(zhì)點(diǎn)從出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，在從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，這時(shí)點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)的位置如何表示？在由位移的概念引出向量的概念之后，再讓學(xué)生聯(lián)想已經(jīng)學(xué)習(xí)過的力、速度、加速度等知識(shí)來加深學(xué)生對(duì)向量概念的理解。注意這里不是先介紹物理中的

5、力、速度或加速度，而是重點(diǎn)由位移出發(fā)，它的好處在于： 在說明某點(diǎn)相對(duì)于另一個(gè)點(diǎn)的位置時(shí)，更容易讓學(xué)生具體的想到“大小”和“方向”； 從點(diǎn)的位移的角度更便于使學(xué)生理解自由向量； 從位移的角度理解向量的概念的過程也為學(xué)生理解向量的加法打下伏筆。（2）在學(xué)生建立起自由向量的概念之后，對(duì)比自由向量認(rèn)識(shí)位置向量的概念。這里一方面要強(qiáng)調(diào)向量叫做點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)的位置向量，另一方面要指出在研究向量時(shí)，常常要把多個(gè)向量通過平移，使他們有共同的起點(diǎn)，這時(shí)每個(gè)向量就有其終點(diǎn)唯一確定。（3）教材中78第22行“由以上分析，一個(gè)平面向量的直觀形象是平面上同向且等長(zhǎng)的有向線段的集合”這一說法值得商榷。2關(guān)于向量加法的教學(xué)（1

6、）結(jié)合位移的概念（右圖為向量第一節(jié)課圖形）理解向量的加法的三角形法則和多邊形法則。這樣可使學(xué)生理解起來更加自然，從而達(dá)到降低難度的目的。（2）把向量加法的平行四邊形法則放在三角形法則之后，一方面可深化學(xué)生對(duì)向量加法的理解，也為學(xué)生日后學(xué)習(xí)向量的分解作知識(shí)準(zhǔn)備。（3）關(guān)于加法交換率的證明，采用下面的方法學(xué)生接受起來可能會(huì)比課本上的方法更自然（以兩個(gè)向量不共線的情形為例）：已知向量。如圖，作，則。作，則四邊形為平行四邊形，。教學(xué)過程中，可考慮采取小組探究的方式，讓學(xué)生尋找證明的方法。3關(guān)于向量減法的教學(xué)（1）類比數(shù)的運(yùn)算理解向量減法的兩種定義方式方法1：實(shí)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算向量減法是向量加法的

7、逆運(yùn)算；方法2：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量。（2）從三角形法則和平行四邊形法則兩個(gè)角度理解兩個(gè)定義方法1：向量的減法作為加法的逆運(yùn)算。從三角形法則角度看，兩個(gè)向量的減法是把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，他們的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量（下面圖形中的左圖）；方法2：在相反向量的基礎(chǔ)上通過加法定義向量的減法，用平行四邊形法則理解更自然（下面圖形中的右圖）。（3）可選配如下類型的例題、習(xí)題加深學(xué)生對(duì)向量加法和減法運(yùn)算的例解:化簡(jiǎn)：；。4關(guān)于數(shù)乘向量的教學(xué)（1）類比數(shù)的乘法導(dǎo)入，并從圖形的“放大”“縮小”來直觀的理解數(shù)乘向量。（2）對(duì)于數(shù)

8、乘向量的三個(gè)運(yùn)算率，一般不要求學(xué)生證明。對(duì)于分配律可指導(dǎo)學(xué)生課后閱讀，對(duì)于前兩個(gè)運(yùn)算率，學(xué)生程度好的學(xué)校可選取其中之一給出證明，而另外一個(gè)讓有興趣的學(xué)生嘗試課后給出證明方法。因?yàn)檫@個(gè)問題的證明有兩個(gè)重要作用：強(qiáng)化從“大小”和“方向”兩個(gè)角度把握向量概念的意識(shí)；培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想。（3）對(duì)于例3也可采取下面的解法：，。與方向相同，。 本例從向量的形式表現(xiàn)了“兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”。5關(guān)于向量共線的條件與軸上向量的坐標(biāo)運(yùn)算的教學(xué)（1）平行向量基本定理的證明要求學(xué)生理解其中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬯P(guān)系當(dāng)時(shí)，由數(shù)乘向量的定義知；當(dāng)時(shí)，若，由于，顯然存在唯一的實(shí)數(shù)使得成立；若且方向相同，取，則，即存在使得成立?，F(xiàn)假設(shè)有兩個(gè)實(shí)數(shù)使得和成立，于是，。，。且方向相同時(shí)，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立；類似地可證明當(dāng)且方向相反時(shí)，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立。（2）通過例1的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)以下兩點(diǎn)由向量相等的一個(gè)條件可為我們帶來“長(zhǎng)度上的相等”和“方向上的平行”兩個(gè)方面的結(jié)果；研究?jī)蓚€(gè)向量的關(guān)系（相等）時(shí)，常常要把兩個(gè)向量用平面上不共線的兩個(gè)向量來表示。（3）通過例2的教學(xué)要讓學(xué)生掌握平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量平行。