向量與解析幾何

1、第一節(jié) 向量代數(shù)一、空間直角坐標系二、向量概念+坐標模方向角方向余弦；三、向量運算設；1 加（減）法2 數(shù)乘3 數(shù)量積（點乘）（）定義·=（）坐標公式·=+（）重要應用·=04向量積（叉乘）（）定義與和皆垂直，且，構成右手系（）坐標公式=（）重要應用=，共線5、混合積（）定義（，）（）·（）坐標公式（，）=（）表示以，為棱的平行六面體的體積例1、點P到過A，B的直線之間的距離 d例2、點P到A,B,C所在平面的距離d因為四面體PABC的體積V而，則V例3、過點A，B與過點C，D的異面直線之間的距離d因為，則d第二節(jié) 平面與直線（甲） 內容要點一、空間解析

2、幾何1 空間解析幾何研究的基本問題。（1）已知曲面（線）作為點的幾何軌跡，建立這曲面（線）的方程，（2）已知坐標x，y和z 間的一個方程（組），研究這方程（組）所表示的曲面（線）。2 距離公式空間兩點與間的距離d為3 定比分點公式是AB的分點：,點A,B的坐標為，則，當M為中點時，二、平面及其方程1 法（線）向量，法（線）方向數(shù)。與平面垂直的非零向量，稱為平面的法向量，通常記成。法向量的坐標稱為法（線）方向數(shù)。對于給定的平面，它的法向量有無窮多個，但它所指的方向只有兩個。2 點法式方程已知平面過點，其法向量A,B,C,則平面的方程為或其中3 一般式方程其中A, B, C不全為零. x, y,

3、z前的系數(shù)表示的法線方向數(shù)，A,B,C是的法向量特別情形：，表示通過原點的平面，平行于z軸的平面，平行平面的平面 x0表示平面。4 三點式方程設,三點不在一條直線上。則通過A,B,C的平面方程為5 平面束設直線L的一般式方程為，則通過L的所有平面方程為+，其中6 有關平面的問題兩平面為：與間夾角垂直條件平行條件重合條件設平面的方程為，而點為平面外的一點，則M到平面的距離d：三直線及其方程1 方向向量、方向數(shù)與直線平行的非零向量，稱為直線L的方向向量,方向向量的坐標稱為方向數(shù)。2 直線的標準方程（對稱式方程）其中為直線上的點，為直線的方向數(shù)。3 參數(shù)式方程4 兩點式設,為不同的兩點，則通過A和B

4、的直線方程為5 一般式方程（作為兩平面的交線）6 有關直線的問題兩直線為:垂直條件平行條件四、平面與直線相互關系平面的方程為：直線L 的方程為：L與間夾角L 與垂直條件L 與平行條件 L 與重合條件L 上有一點在上（乙） 典型例題例1求通過和直線的平面方程。解通過的所有平面的方程為其中為任意實數(shù)，且不同時為0。今把代上上面形式的方程得由于方程允許乘或除一個不為0的常數(shù)，故取,得，代入方程得即 4xyz30它就是既通過點又通過直線的平面方程。例2 求過直線且切于球面的平面解過所給直線除平面外的其它所有平面方程為即式子一球面與平面相切，因此球心到平面距離應等于半徑于是得代入式子一得兩個所求的平面第

5、三節(jié) 曲面與空間曲線（甲） 內容要點一、曲面方程1、一般方程2、參數(shù)方程二、空間曲線方程1、一般方程2、參數(shù)方程三、常見的曲面方程1、球面方程設是球心，R是半徑，P（x，y，z）是球面上任意一點，則,即。2. 旋轉曲面的方程（）設L是平面上一條曲線，其方程是 L繞z軸旋轉得到旋轉曲面，設P（x，y，z）是旋轉面上任一點，由點旋轉而來（點是圓心）.由得旋轉面方程是（）求空間曲線繞z軸一周得旋轉曲面的方程第一步：從上面聯(lián)立方程解出第二步：旋轉曲面方程為繞y軸一周或繞x軸一周的旋轉曲面方程類似地處理3、二次曲面曲面名稱方程曲面名稱方程橢球面旋轉拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面單葉雙曲面雙葉雙曲面二次錐面橢

6、圓柱面雙曲柱面拋物柱面四、空間曲線在坐標平面上的投影曲線C的方程曲線C在平面上的投影先從曲線C的方程中消去Z得到，它表示曲線C為準線，母線平行于Z軸的柱面方程，那么就是C在平面上的投影曲線方程。（乙）典型例題例1、求以點A（0，0，1）為頂點，以橢圓為準線的錐面方程。解過橢圓上任一點P的母線方程為因為點在橢圓上，所以。而t，將其代入橢圓方程，得錐面的方程為。例2、求旋轉拋物面與平面=1的交線在平面上投影方程解從曲線方程中消去z ，得曲線向平面得投影柱面方程。于是曲線在平面商得投影曲線的方程為例3、求直線 L：在三個坐標面上的投影；解在三個坐標面上的投影分別為<1>在平面上：<2>在平面<3>在平面上例4、求直線L：在平面上的投影直線的方程，并求繞y