變化率與導(dǎo)數(shù)

1、第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1 變化率與導(dǎo)數(shù)（1）教材分析導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一.它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（小）值等問(wèn)題最一般、最有效的工具，因而也是解決諸如運(yùn)動(dòng)速度、物種繁殖率、綠化面積增長(zhǎng)率，以及用料最省、利潤(rùn)最大、效率最高等實(shí)際問(wèn)題的最有力的工具.在本章,我們將利用豐富的背景與大量實(shí)例,學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的基本概念與思想方法;通過(guò)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、解決生活中的最優(yōu)化問(wèn)題等實(shí)踐活動(dòng)，初步感受導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題中的作用.教材安排導(dǎo)數(shù)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生是沒(méi)有學(xué)習(xí)極限概念的教材這樣處理的原因，一方面是因?yàn)闃O限概念高度抽象，不適合在沒(méi)有任何極限認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)所以，讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)這個(gè)特殊

2、的極限去體會(huì)極限的思想，這為今后學(xué)習(xí)極限提供了認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)另一方面，函數(shù)是高中的重要數(shù)學(xué)概念，而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，因此，安排先學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)方便學(xué)生學(xué)習(xí)和研究函數(shù)基于學(xué)生已經(jīng)在高一年級(jí)的物理課程中學(xué)習(xí)了瞬時(shí)速度，因此，先通過(guò)求物體在某一時(shí)刻的平均速度的極限去得出瞬時(shí)速度，再由此抽象出函數(shù)在某點(diǎn)的平均變化率的極限就是瞬時(shí)變化率的的模型，并將瞬時(shí)變化率定義為導(dǎo)數(shù)，這是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的課時(shí)分配 本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容選自人教社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（A版）數(shù)學(xué)選修11第三章第一節(jié)的變化率與導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的概念是第2課時(shí)，主要講解導(dǎo)數(shù)的概念及利用定義求導(dǎo)數(shù).教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn): 通過(guò)運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的

3、探求，抽象概括出函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念難點(diǎn)：使學(xué)生體會(huì)運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的平均速度的極限意義，由此得出函數(shù)在某點(diǎn)平均變化率的極限就是函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，并由此得出導(dǎo)數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念.能力點(diǎn)：掌握利用求函數(shù)在某點(diǎn)的平均變化率的極限實(shí)現(xiàn)求導(dǎo)數(shù)的基本步驟教育點(diǎn)：通過(guò)導(dǎo)數(shù)概念的構(gòu)建，使學(xué)生體會(huì)極限思想，為將來(lái)學(xué)習(xí)極限概念積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)自主探究點(diǎn)：通過(guò)導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)教程，使學(xué)生體會(huì)到從特殊到一般的過(guò)程是發(fā)現(xiàn)事物變化規(guī)律的重要過(guò)程.考試點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù).易錯(cuò)易混點(diǎn)：對(duì)的理解，但.拓展點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.教具準(zhǔn)備 多媒體課件和三角板課堂模式 學(xué)案導(dǎo)學(xué)一、引入新課師生活動(dòng)：教師：請(qǐng)說(shuō)出函數(shù)從x1到

4、x2的平均變化率公式學(xué)生：教師：如果用x1與增量x表示，平均變化率的公式是怎樣的？學(xué)生： 教師：高臺(tái)跳水的例子中，在時(shí)間段里的平均速度是零，而實(shí)際上運(yùn)動(dòng)員并不是靜止的這說(shuō)明平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài).學(xué)生：在教師的講述中思考用什么量來(lái)反映運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)提問(wèn)：用一個(gè)什么樣的量來(lái)反映物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？學(xué)生：體會(huì)并明確瞬時(shí)速度的作用提問(wèn)：我們?nèi)绾蔚玫轿矬w在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度？例如，要求物體在的瞬時(shí)速度，應(yīng)該怎么解決？【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生理解平均速度與瞬時(shí)速度的區(qū)別與聯(lián)系，感受到平均速度在時(shí)間間隔很小時(shí)可以近似地表示瞬時(shí)速度.【設(shè)計(jì)說(shuō)明】應(yīng)使學(xué)生明確平均速度與瞬時(shí)速度的關(guān)系，為

5、下一階段實(shí)驗(yàn)活動(dòng)作鋪墊. 二、探究新知已知跳水運(yùn)動(dòng)員在跳水過(guò)程中距離水面的高度與時(shí)間的函數(shù)，完成下列表格中秒附近的平均速度的計(jì)算并填充好表格，觀察平均速度的變化趨勢(shì) 時(shí)，在內(nèi)，  時(shí)，在內(nèi)，  0.01 -13.149 0.01 -13.0510.001 -13.1049 0.001-13.0951 0.0001 -13.10049 0.0001-13.09951 0.00001 -13.100049 0.00001 -13.0999510.000001&

6、#160;-13.1000049 0.000001-13.0999951 師：觀察以上表格，你能發(fā)現(xiàn)平均速度有什么變化趨勢(shì)嗎？將結(jié)果投影，引導(dǎo)同學(xué)們一起觀察.在學(xué)生觀察的基礎(chǔ)上指出：當(dāng)趨近于時(shí)，平均速度都趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是瞬時(shí)速度 設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生通過(guò)定量分析感受平均速度在時(shí)間間隔越來(lái)越小時(shí)向瞬時(shí)速度逼近的過(guò)程給學(xué)生充分的感性材料, 使學(xué)生從感性上獲得求瞬時(shí)速度的方法培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括能力.師:你認(rèn)為通過(guò)實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果（常數(shù)）就是瞬時(shí)速度嗎？這個(gè)數(shù)據(jù)到底是精確值還是近似值？啟發(fā)學(xué)生歸納出結(jié)論：時(shí)，平均速度所趨近的這個(gè)常數(shù)是可以得到的，它不是近似值，是一個(gè)精確值

7、，它與變量無(wú)關(guān)，只與時(shí)刻有關(guān) 設(shè)計(jì)意圖 使學(xué)生認(rèn)識(shí)到平均速度當(dāng)時(shí)間間隔趨向于零時(shí)的極限就是瞬時(shí)速度，為給出導(dǎo)數(shù)概念提煉出一個(gè)具體的極限模型 一般地,函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是,我們稱(chēng)它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作或,即=. 三、理解新知求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟大致分為以下三步：第一步，求函數(shù)增量；第二步，求平均變化率；第三步，求平均變化率的極限，即導(dǎo)數(shù) 設(shè)計(jì)意圖為準(zhǔn)確地運(yùn)用新知，作必要的鋪墊.四、運(yùn)用新知例1求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 解:,.注意:括號(hào)別忘了寫(xiě).變式訓(xùn)練: 求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解:,即. 設(shè)計(jì)意圖通過(guò)變式訓(xùn)練,便于學(xué)生全面的認(rèn)識(shí)利用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟, 提高理解、運(yùn)用知識(shí)的能力例2 已知,求.解:,即.

8、變式訓(xùn)練: 已知,求.解:,. 設(shè)計(jì)意圖 由一個(gè)問(wèn)題引申為一類(lèi)問(wèn)題，提高學(xué)生的解題能力同時(shí),便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同題目解題過(guò)程的 區(qū)別與聯(lián)系,有利于學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題五、課堂小結(jié) 教師提問(wèn)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)，涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法？學(xué)生作答：1知識(shí)：導(dǎo)數(shù)的概念.2思想：特殊與一般、化歸的思想教師總結(jié): 本節(jié)課學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的概念表明：當(dāng)自變量的增量趨向于零時(shí)，函數(shù)在某點(diǎn)的平均變化率的無(wú)限地趨向于函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，這是非常重要的極限思想求導(dǎo)數(shù)的步驟大致分為以下三步：第一步，求函數(shù)增量；第二步，求平均變化率并化簡(jiǎn)；第三步，求平均變化率的極限，即導(dǎo)數(shù) 設(shè)計(jì)意圖 加強(qiáng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法

9、的指導(dǎo)六、布置作業(yè) 1閱讀教材P7476；2.書(shū)面作業(yè) 必做題： P79 習(xí)題3.1 A組 1,2,3,4,5.選做題：1.如果質(zhì)點(diǎn)A按照規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則在時(shí)的瞬時(shí)速度為 .2.設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則 .3. 設(shè)函數(shù)，若，則 .4.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于 .5.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位:cm，時(shí)間單位：s)，求質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)的瞬時(shí)速度，并與運(yùn)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度公式求得的結(jié)果進(jìn)行比較. 答案:1. 18 2. 3. 3 4. 0 5. 瞬時(shí)速度為,用兩種方法求得的結(jié)果相同.課外思考:函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有什么幾何意義嗎?設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)作業(yè)1,2，是引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)，再作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.書(shū)面作業(yè)的布置，是為了讓學(xué)生能夠運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的概念，解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題；課外思考的安排，是讓學(xué)生深刻思考、領(lǐng)悟?qū)?shù)的意義，為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做鋪墊 七、教后反思 1.“以學(xué)生為本”的教育觀是教學(xué)設(shè)計(jì)的根本指導(dǎo)思想.學(xué)生通過(guò)“經(jīng)歷”、“體會(huì)”、“感受”，最后形成概念的學(xué)習(xí)