變化率與導數(shù)

1、第三章 導數(shù)及其應用3.1 變化率與導數(shù)（1）教材分析導數(shù)是微積分的核心概念之一.它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具，因而也是解決諸如運動速度、物種繁殖率、綠化面積增長率，以及用料最省、利潤最大、效率最高等實際問題的最有力的工具.在本章,我們將利用豐富的背景與大量實例,學習導數(shù)的基本概念與思想方法;通過應用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、解決生活中的最優(yōu)化問題等實踐活動，初步感受導數(shù)在解決數(shù)學問題與實際問題中的作用.教材安排導數(shù)內(nèi)容時，學生是沒有學習極限概念的教材這樣處理的原因，一方面是因為極限概念高度抽象，不適合在沒有任何極限認識的基礎上學習所以，讓學生通過學習導數(shù)這個特殊

2、的極限去體會極限的思想，這為今后學習極限提供了認識基礎另一方面，函數(shù)是高中的重要數(shù)學概念，而導數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，因此，安排先學習導數(shù)方便學生學習和研究函數(shù)基于學生已經(jīng)在高一年級的物理課程中學習了瞬時速度，因此，先通過求物體在某一時刻的平均速度的極限去得出瞬時速度，再由此抽象出函數(shù)在某點的平均變化率的極限就是瞬時變化率的的模型，并將瞬時變化率定義為導數(shù)，這是符合學生認知規(guī)律的課時分配 本節(jié)課的教學內(nèi)容選自人教社普通高中課程標準實驗教科書（A版）數(shù)學選修11第三章第一節(jié)的變化率與導數(shù)，導數(shù)的概念是第2課時，主要講解導數(shù)的概念及利用定義求導數(shù).教學目標重點: 通過運動物體在某一時刻的瞬時速度的

3、探求，抽象概括出函數(shù)導數(shù)的概念難點：使學生體會運動物體在某一時刻的平均速度的極限意義，由此得出函數(shù)在某點平均變化率的極限就是函數(shù)在該點的瞬時變化率，并由此得出導數(shù)的概念知識點：導數(shù)的概念.能力點：掌握利用求函數(shù)在某點的平均變化率的極限實現(xiàn)求導數(shù)的基本步驟教育點：通過導數(shù)概念的構(gòu)建，使學生體會極限思想，為將來學習極限概念積累學習經(jīng)驗自主探究點：通過導數(shù)概念的教學教程，使學生體會到從特殊到一般的過程是發(fā)現(xiàn)事物變化規(guī)律的重要過程.考試點：利用導數(shù)的概念求導數(shù).易錯易混點：對的理解，但.拓展點：導數(shù)的幾何意義.教具準備 多媒體課件和三角板課堂模式 學案導學一、引入新課師生活動：教師：請說出函數(shù)從x1到

4、x2的平均變化率公式學生：教師：如果用x1與增量x表示，平均變化率的公式是怎樣的？學生： 教師：高臺跳水的例子中，在時間段里的平均速度是零，而實際上運動員并不是靜止的這說明平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態(tài).學生：在教師的講述中思考用什么量來反映運動員的運動狀態(tài)提問：用一個什么樣的量來反映物體在某一時刻的運動狀態(tài)？學生：體會并明確瞬時速度的作用提問：我們?nèi)绾蔚玫轿矬w在某一時刻的瞬時速度？例如，要求物體在的瞬時速度，應該怎么解決？【設計意圖】讓學生理解平均速度與瞬時速度的區(qū)別與聯(lián)系，感受到平均速度在時間間隔很小時可以近似地表示瞬時速度.【設計說明】應使學生明確平均速度與瞬時速度的關系，為

5、下一階段實驗活動作鋪墊. 二、探究新知已知跳水運動員在跳水過程中距離水面的高度與時間的函數(shù)，完成下列表格中秒附近的平均速度的計算并填充好表格，觀察平均速度的變化趨勢 時，在內(nèi)，  時，在內(nèi)，  0.01 -13.149 0.01 -13.0510.001 -13.1049 0.001-13.0951 0.0001 -13.10049 0.0001-13.09951 0.00001 -13.100049 0.00001 -13.0999510.000001&

6、#160;-13.1000049 0.000001-13.0999951 師：觀察以上表格，你能發(fā)現(xiàn)平均速度有什么變化趨勢嗎？將結(jié)果投影，引導同學們一起觀察.在學生觀察的基礎上指出：當趨近于時，平均速度都趨近于一個確定的常數(shù)，這個常數(shù)就是瞬時速度 設計意圖 讓學生通過定量分析感受平均速度在時間間隔越來越小時向瞬時速度逼近的過程給學生充分的感性材料, 使學生從感性上獲得求瞬時速度的方法培養(yǎng)學生歸納、概括能力.師:你認為通過實驗所得結(jié)果（常數(shù)）就是瞬時速度嗎？這個數(shù)據(jù)到底是精確值還是近似值？啟發(fā)學生歸納出結(jié)論：時，平均速度所趨近的這個常數(shù)是可以得到的，它不是近似值，是一個精確值

7、，它與變量無關，只與時刻有關 設計意圖 使學生認識到平均速度當時間間隔趨向于零時的極限就是瞬時速度，為給出導數(shù)概念提煉出一個具體的極限模型 一般地,函數(shù)在處的瞬時變化率是,我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù),記作或,即=. 三、理解新知求函數(shù)在點處的導數(shù)的步驟大致分為以下三步：第一步，求函數(shù)增量；第二步，求平均變化率；第三步，求平均變化率的極限，即導數(shù) 設計意圖為準確地運用新知，作必要的鋪墊.四、運用新知例1求在點處的導數(shù) 解:,.注意:括號別忘了寫.變式訓練: 求在點處的導數(shù).解:,即. 設計意圖通過變式訓練,便于學生全面的認識利用定義求導數(shù)的步驟, 提高理解、運用知識的能力例2 已知,求.解:,即.

8、變式訓練: 已知,求.解:,. 設計意圖 由一個問題引申為一類問題，提高學生的解題能力同時,便于學生發(fā)現(xiàn)不同題目解題過程的 區(qū)別與聯(lián)系,有利于學生用聯(lián)系的觀點看問題五、課堂小結(jié) 教師提問：本節(jié)課我們學習了哪些知識，涉及到哪些數(shù)學思想方法？學生作答：1知識：導數(shù)的概念.2思想：特殊與一般、化歸的思想教師總結(jié): 本節(jié)課學習了導數(shù)的概念，導數(shù)的概念表明：當自變量的增量趨向于零時，函數(shù)在某點的平均變化率的無限地趨向于函數(shù)在該點的瞬時變化率，這是非常重要的極限思想求導數(shù)的步驟大致分為以下三步：第一步，求函數(shù)增量；第二步，求平均變化率并化簡；第三步，求平均變化率的極限，即導數(shù) 設計意圖 加強對學生學習方法

9、的指導六、布置作業(yè) 1閱讀教材P7476；2.書面作業(yè) 必做題： P79 習題3.1 A組 1,2,3,4,5.選做題：1.如果質(zhì)點A按照規(guī)律運動，則在時的瞬時速度為 .2.設函數(shù)可導，則 .3. 設函數(shù)，若，則 .4.函數(shù)在處的導數(shù)等于 .5.質(zhì)點M按規(guī)律做直線運動(位移單位:cm，時間單位：s)，求質(zhì)點M在時的瞬時速度，并與運用勻變速直線運動速度公式求得的結(jié)果進行比較. 答案:1. 18 2. 3. 3 4. 0 5. 瞬時速度為,用兩種方法求得的結(jié)果相同.課外思考:函數(shù)在一點處的導數(shù)有什么幾何意義嗎?設計意圖設計作業(yè)1,2，是引導學生先復習，再作業(yè)，培養(yǎng)學生良好的學習習慣.書面作業(yè)的布置，是為了讓學生能夠運用導數(shù)的概念，解決簡單的數(shù)學問題；課外思考的安排，是讓學生深刻思考、領悟?qū)?shù)的意義，為下節(jié)課的學習做鋪墊 七、教后反思 1.“以學生為本”的教育觀是教學設計的根本指導思想.學生通過“經(jīng)歷”、“體會”、“感受”，最后形成概念的學習