國家教師資格考試-高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力

1、國家教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力溫州大學(xué)溫州大學(xué) 黃友初黃友初大綱要求 高中：大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程的知識是指：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等大學(xué)課程中與中學(xué)數(shù)學(xué)密切相關(guān)的內(nèi)容，包括數(shù)列極限、函數(shù)極限、連續(xù)函數(shù)、一元函數(shù)微積分、向量及其運(yùn)算、矩陣與變換等內(nèi)容及概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識。 其內(nèi)容要求是：準(zhǔn)確掌握基本概念，熟練進(jìn)行運(yùn)算，并能夠利用這些知識去解決中學(xué)數(shù)學(xué)的問題。 初中：大學(xué)?？茢?shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程知識是指：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等大學(xué)專科數(shù)學(xué)課程中與中學(xué)數(shù)學(xué)密切相關(guān)的內(nèi)容。 其內(nèi)容要求是：準(zhǔn)確掌握基本概念，熟練進(jìn)行運(yùn)

2、算，并能夠利用這些知識去解決中學(xué)數(shù)學(xué)的問題。數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析函數(shù)與極限函數(shù)與極限求極限求極限：羅必塔法則、兩個(gè)重要極限、無窮小量的等價(jià)替換、求分段函數(shù)的極限（用定義）、分母（分子）有理化；判斷連續(xù)性判斷連續(xù)性：一般為分段函數(shù)、判斷間斷點(diǎn)的類別。例例1 12723lim.49xxx求解解227723(23)(23)limlim49(49)(23)xxxxxxxx27771limlim(49)(23)(7)(23)xxxxxxx156 為非負(fù)整數(shù)時(shí)有為非負(fù)整數(shù)時(shí)有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)方法：方法

3、：以以分母分母中自變量的最高次冪除分子中自變量的最高次冪除分子,分分母母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.例例2 2).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由準(zhǔn)則由準(zhǔn)則1得得. 1)12111(lim222 nnnnn例例3 3.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.l

4、im存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx1sinlim0 xxxexxx )11(limlim(1)bx cabxaex0lim(1)bcabxxaxe例例4 4解解1lim1xxxx121111limlim111xxxxxexxeex例例5 5.sintan,0:的的三三階階無無窮窮小小為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證證明明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的三階無窮小的三階無窮小為為xxx 2

5、000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e例例6 6例例7 7.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積，則若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積，則可對其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無窮小因子作等價(jià)無可對其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無窮小因子作等價(jià)無窮小代換，而不會改變原式的極限窮小代換，而不會改變原式的極限1.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(

6、0000的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxfxfxxf 例例4 4.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) xoxy2.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱點(diǎn)處無定處無定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2

7、)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 3.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)(00的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)在在右極限至少有一個(gè)不存右極限至少有一個(gè)不存處的左、處的左、在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間例例8 8解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnl

8、im111lim1 xxe.1 e例例9 9解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對數(shù)得取對數(shù)得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)、取對數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)、取對數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)、拉格朗日中值定理、羅爾定理、柯西定理、函數(shù)的導(dǎo)、拉格朗日中值定理、羅爾定理、柯西定理、函數(shù)的極（最）值、凹凸性、曲率極（最）值、凹凸性、曲率0000()()()limxf xxf xfxx

9、 0000()()lim()xf xk xf xkfxn xn 0000( )()limlimxxxf xf xyxxx 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大多需要用定義來求。分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大多需要用定義來求。例例1010.arcsin22222的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例1111.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直

10、接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).-對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法例例1212,.xyxy已知函數(shù)求解解等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得lnlnyxx兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得11lnln1yxxxyx(ln1)(ln1)xyyxxx.,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx dydydtdxdxdt例例1313解解.sincos

11、33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 近似公式 由以上分析我們可知，當(dāng)由以上分析我們可知，當(dāng)|x |很小時(shí)，很小時(shí)，ydy，即即0()yfxx 000()()()f xxf xfxx令令000()()()f xxf xfxx00 xxxxx x 得得000( )()()()f xf xfxxx00 x 當(dāng)時(shí)( )(0)(0)f xffx例例14141.02

12、3求的近似值解解1.021 0.0233110.021.00673 例例1515ln1.01求的近似值解解ln1.01ln(1 0.01)0.01例例16163求 8.02的近似值解解23338.028 1.00251.00250.002522 (1)2.00167331+0.0025羅爾羅爾（R Rolleolle）定理）定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba , ,使得函數(shù)使得函數(shù)

13、)(xf在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零， 即即0)( f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上可導(dǎo)上可導(dǎo)在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf一、羅爾一、羅爾(Rolle)(Rolle)定理定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)

14、內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結(jié)論亦可寫成結(jié)論亦可寫成三、柯西(Cauchy)中值定理柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF 在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且)(xF在在),(ba內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在),(ba內(nèi)內(nèi)至少至少有一點(diǎn)有一點(diǎn))(ba , ,使等式使等式 )()()()(

15、)()( FfaFbFafbf 成立成立. . 例例1717.)1ln(1,0 xxxxx 時(shí)時(shí)證明當(dāng)證明當(dāng)證證),1ln()(xxf 設(shè)設(shè), 0)(上滿足拉氏定理的條件上滿足拉氏定理的條件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即(0,1)2( )(1)( )0.ff例18：設(shè)f（x）在0,1上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1)，證明存在使得解：令( )( )(1)( )F xf xx xfx羅爾定理，因此在（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得(

16、)0( )(1)( )0Fff ( )(1)( )( )(1)( )0ffff 顯然F(x)滿足2( )(1)( )0ff 2( )(1)( )0ff泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在含有在含有0 x的某個(gè)開區(qū)間的某個(gè)開區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù), ,則則當(dāng)當(dāng)x在在),(ba內(nèi)時(shí)內(nèi)時(shí), , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一個(gè)的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng))(xRn之和之和: : )()(!)()(!2)()()()(00)(20

17、0000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中其中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在0 x與與x之間之間) ). .)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,

18、)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在一階和二階導(dǎo)數(shù)一階和二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有內(nèi)具有在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf ).(xss 單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)),(yyxxN 設(shè)設(shè)如圖，如圖，NTMTMNMN ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dydxMT ,12dxy dyyNT , 0.12dxyds 故故,)(為單調(diào)增函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)xss .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTRA0 xxxx xyo) S S) .M .MC0Myxo.sKM

19、M 的平均曲率為的平均曲率為弧段弧段（設(shè)曲線設(shè)曲線C是光滑的，是光滑的，.0是是基基點(diǎn)點(diǎn)M, sMM （. 切切線線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為MM定義定義sKs 0lim曲線曲線C在點(diǎn)在點(diǎn)M處的曲率處的曲率,lim0存在的條件下存在的條件下在在dsdss .dsdK 2、曲率的計(jì)算公式、曲率的計(jì)算公式注意注意: (1) 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;(2) 圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù)圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù),且且半徑越小曲率越大半徑越小曲率越大.,)(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)設(shè)設(shè)xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctany 有有.12dxyds .1,1 kk即即積

20、分積分不定積分、定積分、定積分的應(yīng)用不定積分、定積分、定積分的應(yīng)用注意：換元法注意：換元法.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 23x xdx解解2221332x xdxxdx23xu令令得得223xududx原式原式11322111122312uuduCuC將將x代替代替u得：得：322213(3)3x xdxxC例例 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecln sectanttCtax22ax 2

21、2ln.xxaCaa 2,2t.duvuvudv 例例 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12一、直角坐標(biāo)系情形一、直角坐標(biāo)系情形xxxx x 一一般

22、般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy 類類似似地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(yx 、直直線線cy 、dy 及及y軸軸所

23、所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為xyo)(yx cddyy2)( dcVxoab二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積xdxx 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算.)(xA表表示示過過點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的的已已知知連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù),)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積

24、級數(shù)級數(shù)級數(shù)的收斂與發(fā)散；級數(shù)的收斂與發(fā)散；冪函數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域、和函數(shù)冪函數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域、和函數(shù)且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收斂收斂, ,則則 1nnu收斂；收斂；反之，若反之，若 1nnu發(fā)散，則發(fā)散，則 1nnv發(fā)散發(fā)散. .均為正項(xiàng)級數(shù)，均為正項(xiàng)級數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvu比較審斂法比較審斂法的極限形式:設(shè)1nnu與1nnv都是正項(xiàng)級數(shù), 如果則(1) 當(dāng)時(shí), 二級數(shù)有相同的斂散性; (2) 當(dāng)時(shí)，若收斂, 則收斂; (3) 當(dāng)時(shí), 若1nnv發(fā)散, 則1nnu發(fā)散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu比值審

25、斂法比值審斂法( (達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾 D DAlembertAlembert 判別法判別法) )： 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù), ,如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. .交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法定義: 正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù). nnnnnnuu 111)1()1(或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯(cuò)級數(shù)滿足條件如果交錯(cuò)級數(shù)滿足條件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂, ,且其和且其和1us , ,其余項(xiàng)其余項(xiàng)nr的絕對

26、值的絕對值1 nnur. .)0( nu其中其中任意項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收斂收斂即即 x,)1 , 0(收斂收斂 x121( 1)() .2nnnnxn,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,11 nn級數(shù)為級數(shù)為,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散收斂故收斂域?yàn)楣适諗坑驗(yàn)?0,1.(0,1.例例 求級數(shù)求級數(shù) 11)1(nnnnx的和函數(shù)的和函數(shù). 解,)1

27、()(11 nnnnxxs, 0)0( s顯顯然然兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1時(shí)時(shí)又又 x.1)1(11收斂收斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即高等代數(shù)高等代數(shù)行列式、逆矩陣、初等變換、求秩、解方程、線性相行列式、逆矩陣、初等變換、求秩、解方程、線性相關(guān)和線性無關(guān)、二次型、特征值和特征向量關(guān)和線性無關(guān)、二次型、特征值和特征向量59323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三階行列式

28、的計(jì)算三階行列式的計(jì)算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD . .列標(biāo)列標(biāo)行標(biāo)行標(biāo)333231232221131211aaaaaaaaaD 60333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號元素的乘積冠以負(fù)號說明說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 61

29、例： 1201201112301112求D=解： 1201001052331111D1211523111 1325781003278 (24 14)10 62例：已知 求3521110513132413D解： 11121314AAAA11213141MMMM111213141111110513132413AAAA4112131411121314115211105013131413MMMMAAAA運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì) ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 例 設(shè)A為三階矩陣 若已知|A|2 求|A|A2AT| 解 (2)664|A|3|A2|AT| |A|A2AT| |A|3|A2AT|

30、 |A|3|A|A|A|A|6 64定理定理1 1 矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A.的伴隨矩陣的伴隨矩陣為矩陣為矩陣其中其中AA 112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA這里這里 是行列式是行列式|A|A|中中 元素的代數(shù)余子式元素的代數(shù)余子式（注意注意：不是余子式）。：不是余子式）。ijAija65 .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 且且可逆可逆則則數(shù)數(shù)可逆可逆若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆則則為同階方陣且均可逆為同階方陣且均可逆若若,3ABBA 1ABB1 1 A .1

31、11 AA 66例：設(shè)為三階方陣，|A|=1/2，計(jì)算 1(3 )2AA解：1111|2AAAA AAA 111111114(3 )22( 1/2)333AAAAAAA314|3A11111| |12nnAAIAAAAIAA 1(3 )2AA314128|327A 67證證明明, 022 EAA由由 EEAA2 得得, 0 AEEAA 212 EAA.,2,:, 022并求它們的逆矩陣并求它們的逆矩陣都可逆都可逆證明證明滿足方程滿足方程設(shè)方陣設(shè)方陣EAAEAAA 例例.可可逆逆故故A1 A68022 EAA又由又由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA341

32、21 且且.43AE .211EAA 12 EA , 13412 EAEA69. ,343122321 1 AA求求設(shè)設(shè) 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 70 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r71做初等變換，做初等變換，對矩陣對矩陣 510231202231A例題例題,0

33、00031202231510231202231 顯然，非零行的行數(shù)為顯然，非零行的行數(shù)為2， . 2 AR( )()r Ar A b( )()r Ar A b( )()r Ar A b1、若2、若3、若，則該線性方程組無解。而且都等于n，則該線性方程組有且只有唯一組解。而且都小于n，則該線性方程組有無窮多組解。例：解方程組 12341234123423023550470 xxxxxxxxxxxx121312131213235507311073114171073110000A解： 13423433441317731177xxxxxxxxxx 12131013/71/7013/711/7013/7

34、11/70000000033447007xxxx取和112233441313117007xxxxxxxx 得和12( 13, 3,7,0) ,(1,11,0,7) 即為方程的基礎(chǔ)解系 方程的解為 112212,kkk kR，如果一個(gè)方程組的系數(shù)矩陣的秩為，那它的基礎(chǔ)解系有個(gè)解向量。 例：求解下列非齊次線性方程組： 1234123412343133445980 xxxxxxxxxxxx解：對方程組的增廣矩陣作如下初等變換： 113111131111311313440467104671159800467100000A335101131124437137101012442440000000000 因

35、此方程的系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩相等都等于24因此方程組有無窮多組解。 由上面矩陣可將方程組化為： 134134234234335533244424371137244424xxxxxxxxxxxx 得到方程組的一個(gè)特解: 51,0,044對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系有422個(gè)，我們?nèi)?334410,01xxxx分別得到一組線性無關(guān)的基礎(chǔ)解系： 1122123344332437,241001xxxxxxxx 故方程組的解為 1 122Xkk12,k kR說明說明., 0. 1言言的的特特征征值值問問題題是是對對方方陣陣而而特特征征向向量量 x 2.,0,0.nAIA xIAA階方陣 的特征值 就是

36、使齊次線性方程組有非零解的值即滿足方程的 都是矩陣 的特征值一、特征值與特征向量的概念., , 1的特征向量的特征向量的對應(yīng)于特征值的對應(yīng)于特征值稱為稱為量量非零向非零向的特征值的特征值稱為方陣稱為方陣這樣的數(shù)這樣的數(shù)那末那末成立成立使關(guān)系式使關(guān)系式維非零列向量維非零列向量和和如果數(shù)如果數(shù)階矩陣階矩陣是是設(shè)設(shè)定義定義 AxAxAxxnnA 3.0IA1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa次方程次方程為未知數(shù)的一元為未知數(shù)的一元稱以稱以n 0IA. 的的為為A特征方程特征方程,次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式的的它是它是n 記記 fIA稱其稱其. 的的為方陣為方陣A特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式 則則有

37、有的的特特征征值值為為階階方方陣陣設(shè)設(shè),. 4 21nijaAn ;)1(221121nnnaaa .)2(21An 例例 設(shè)設(shè),314020112 A求求A A的特征值與特征向量的特征值與特征向量解解211020413IA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值為的特征值為得得A 由由解方程解方程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系的的全全體體特特征征向向量量為為故故對對應(yīng)應(yīng)于于11 ).0( 1 kpk 由由解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 02,232 xEA ,0000001141140001142 E

38、A得基礎(chǔ)解系為：得基礎(chǔ)解系為：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量為為所所以以對對應(yīng)應(yīng)于于 ).0,(323322不不同同時(shí)時(shí)為為kk pkpk 相似矩陣與相似變換.,., , 111的相似變換矩陣的相似變換矩陣變成變成稱為把稱為把可逆矩陣可逆矩陣進(jìn)行相似變換進(jìn)行相似變換稱為對稱為對行運(yùn)算行運(yùn)算進(jìn)進(jìn)對對相似相似與與或說矩陣或說矩陣的相似矩陣的相似矩陣是是則稱則稱使使若有可逆矩陣若有可逆矩陣階矩陣階矩陣都是都是設(shè)設(shè)定義定義BAPAAPPABAABBAPPPnBA 定理定理：設(shè)是階方陣，則相似于一個(gè)對角陣的充分必要條件是恰有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 其中為的個(gè)線性無關(guān)的特

39、征向量拼成的矩陣， 且這個(gè)對角陣主對角線上的個(gè)元素就是的特征值。 推論推論：階陣有個(gè)不同的特征值，則必相似于一個(gè)對角陣。 階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是對于每一個(gè)重根，對應(yīng)的特征矩陣的秩是。11nnBP APBP A P定義定義：設(shè)有n個(gè)變元 12,nx xx的二次多項(xiàng)式： 21211 1121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x2222222nna xa x x2nnnna x稱為是n個(gè)變元的實(shí)二次型。 具有以下特點(diǎn)： 1、每一項(xiàng)中變元的次數(shù)加起來都等于2。 2、前面的系數(shù)等于，前面的系數(shù)等于 2ixiia()ijx x ij2ija3、都是實(shí)數(shù)。 ija212

40、11 1121211221212222221122( ,)nnnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x若把實(shí)二次型寫成以下形式： 因此上式的系數(shù)就是一個(gè)方陣，因?yàn)?ijjiaa是一個(gè)對稱實(shí)方陣，系數(shù)矩陣為： 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa111211212222121212( ,)( ,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf x xxx Axx xxaaax同時(shí)，我們也可以把二次型寫成矩陣形式： 例：求實(shí)對稱矩陣對應(yīng)的二次型： 11011021022A122123123211223331101(

41、,)( ,)102221022xf x x xx x xxxx xx xxx 解：解析幾何解析幾何向量的點(diǎn)乘、叉乘，以及它們所表示的意義；向量的點(diǎn)乘、叉乘，以及它們所表示的意義；曲線方程、曲面方程；曲線方程、曲面方程；直線與直線的夾角、直線與平面的夾角、平面與平面的直線與直線的夾角、直線與平面的夾角、平面與平面的夾角。夾角。ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積點(diǎn)積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.結(jié)論結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的

42、模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積乘積. .zzyyxxbabababa 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ba0 zzyyxxbababa例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求，求（1）ba ；（2）a與與b的夾角；的夾角；（3）a在在b上的投影上的投影.解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 向向量量a與與b的的向向量量積積為為 bac sin|bac (其中其中 為為a

43、與與b的夾角的夾角)定義定義c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系. .關(guān)于向量積的說明：關(guān)于向量積的說明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.可用三階行列式表示可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出補(bǔ)充補(bǔ)充|ba 表表示示以以a和和b為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積.abbac 例例 4 4 在頂點(diǎn)為在頂點(diǎn)為)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1,

44、 3 , 1( C的三角形中，求的三角形中，求AC邊上的高邊上的高BD.ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面積為的面積為|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BDxozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設(shè)設(shè)1)1(zz （2）點(diǎn)）點(diǎn)M到到z軸的距離軸的距離|122yyxd 旋轉(zhuǎn)過程中的特征：旋轉(zhuǎn)過程中的特征：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0

45、,22 zyxfyoz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線0),( zyf繞繞z軸旋軸旋轉(zhuǎn)一周的轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程.得方程得方程同同理理：yoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf例例6 6 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程（1）雙雙曲曲線線12222 czax分分別別繞繞x軸軸和和z軸軸；繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czyax122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面（2）橢橢圓圓

46、012222xczay繞繞y軸軸和和z軸軸；繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面（3）拋拋物物線線 022xpzy繞繞z軸軸；pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中表表示示母母線線平平行行于于z軸軸的的柱柱面面，其其準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為xoy面面上上曲曲線線C.（其他類推）（其他類推）實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22

47、拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點(diǎn)都滿足曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)特點(diǎn)：一、空間曲線的一般方程 )()()(tzztyytxx 當(dāng)當(dāng)給給定定1tt 時(shí)時(shí)，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)),(111zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全部部點(diǎn)點(diǎn).空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方

48、程二、空間曲線的參數(shù)方程 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的的投影柱面投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平

49、面上的任一點(diǎn)為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的點(diǎn)法式方程n,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量,CBAn 已知點(diǎn)已知點(diǎn)).,(000zyx例例 1 1 求過三點(diǎn)求過三點(diǎn))4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的平面方程的平面方程.解解6, 4, 3 AB1, 3,

50、2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx例例 2 2 求過點(diǎn)求過點(diǎn))1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCz

51、ByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般方程平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.例例 3 3 設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn)設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn))2, 3, 6( ，且與平面，且與平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.設(shè)平面為設(shè)平面

52、為, 0 DCzByAx由平面過原點(diǎn)知由平面過原點(diǎn)知, 0 D由由平平面面過過點(diǎn)點(diǎn))2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)

53、方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而與與三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積為為一一個(gè)個(gè)單單位位的的平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體

54、積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 三、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /

55、.212121CCBBAA 例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM

56、兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.例例7 7 設(shè)設(shè)),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz外外一一點(diǎn)點(diǎn)，求求0P到到平平面面的的距距離離. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|

57、222000CBADCzByAxd 點(diǎn)到平面距離公式點(diǎn)到平面距離公式xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L一、空間直線的一般方程xyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空間

58、直線的對稱式方程與參數(shù)方程pzznyymxx000 直線的對稱式方程直線的對稱式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量的余弦稱為方向向量的余弦稱為直線的直線的方向余弦方向余弦.直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程例例1 1 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點(diǎn)在直線上任取一點(diǎn)),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)),2, 0 , 1( 因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取

59、21nns ,3, 1, 4 對稱式方程對稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx例例 2 2 一一直直線線過過點(diǎn)點(diǎn))4 , 3, 2( A，且且和和y軸軸垂垂直直相相交交，求求其其方方程程.解解因因?yàn)闉橹敝本€線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾

60、角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例 3 3 求過點(diǎn)求過點(diǎn))5, 2, 3( 且與兩平面且與兩平面34 zx和和152 zyx的交線平行的直線方程的交線平行的直線方程.解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為,pnms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取2