數(shù)列與極限部分復習講義

1、數(shù)列與極限部分復習講義上南中學 歐陽民一、復習目標定位1理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項2理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前項和公式，并能解決簡單的實際問題3理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前項和公式，井能解決簡單的實際問題4.會應用歸納法的原理進行歸納和猜想，知道數(shù)學歸納法的原理，理解數(shù)學歸納法的兩個步驟，掌握數(shù)學歸納法的步驟，會用數(shù)學歸納法證明有關自然數(shù)的命題.5.理解直觀描述的數(shù)列極限的意義，掌握數(shù)列極限的四則運算法則；會求無窮等比數(shù)列各項的和，會用數(shù)列知識解決簡單的實際問題；通過數(shù)列概念的

2、建立及其應用，提高數(shù)學抽象能力，發(fā)展數(shù)學建模能力.二、知識點歸納1 一般數(shù)列的通項與前項和的關系：2 等差數(shù)列的通項公式：，(其中為首項、為已知的第項) 當時，是關于的一次式；當時，是一個常數(shù)3 等差數(shù)列的前項和公式：，當時，是關于的二次式且常數(shù)項為；當時（），是關于的正比例式4 等差數(shù)列的通項與前項和的關系：5 等差中項公式： （有唯一的值）6 等比數(shù)列的通項公式：，(其中為首項、為已知的第項，)7 等比數(shù)列的前項和公式：當時，(是關于的正比例式)；當時，=8 等比中項公式： （，有兩個值）9 等差數(shù)列的任意連續(xù)項的和構成的數(shù)列、仍為等差數(shù)列10 等差數(shù)列中，若則11 等比數(shù)列中，若，則12

3、等比數(shù)列的任意連續(xù)項的和構成的數(shù)列、仍為等比數(shù)列（當為偶數(shù)且公比為的情況除外）13 兩個等差數(shù)列與的和差的數(shù)列、仍為等差數(shù)列14 兩個等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)的數(shù)列、仍為等比數(shù)列15 等差數(shù)列的任意等距離的項構成的數(shù)列仍為等差數(shù)列16 等比數(shù)列的任意等距離的項構成的數(shù)列仍為等比數(shù)列17 三個數(shù)成等差的設法：；四個數(shù)成等差的設法：。18 三個數(shù)成等比的設法：；四個數(shù)成等比的錯誤設法：。(因為其公比為>0,對于公比為負的情況不能包括)19為等差數(shù)列，則 ()是等比數(shù)列20（）是等比數(shù)列，則(且) 是等差數(shù)列21.研究一個數(shù)列的極限，關注的是數(shù)列“后面”無限項的數(shù)值問題，改變該數(shù)列“前面”任何

4、項的值，都不會影響這個數(shù)列的極限22.數(shù)列前項和不同于無窮數(shù)列各項和，前者表示有窮項和，后者表示無窮項和（所有項和），兩者表述的項數(shù)范圍不同23.歸納法屬特殊到一般的數(shù)學思想方法，用它推斷出的結論有時正確有時不一定正確（除完全歸納法推出的結論是正確外）.這種推理雖然不嚴謹，有時會推測錯誤的結論，但它卻是探索新問題、學習新知識、發(fā)現(xiàn)新規(guī)律的重要途徑24.數(shù)學歸納法的適用范圍，僅限于有關自然數(shù)（或）的命題.整數(shù)、有理數(shù)和實數(shù)等都是無限集，它們有關的命題用數(shù)學歸納法是不適用的。三、復習教學點睛1 數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的項與數(shù)集中元素的異同。 因此在研究數(shù)列問題時既要注意

5、函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性；2 數(shù)列前項和與通項的關系式；3 求通項常用方法； 作新數(shù)列法：作等差數(shù)列與等比數(shù)列 累差疊加法最基本形式是 歸納、猜想法4 數(shù)列前項和常用求法；重要公式 等差數(shù)列中 裂項求和 將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即，然后累加時抵消中間的許多項 應掌握以下常見的裂項 錯項相消法 并項求和法數(shù)列通項與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法5求數(shù)列的最大、最小項的方法；如，如研究函數(shù)的增減性 如6. 數(shù)列極限的理解；7. 等比數(shù)列的各項和及其應用 ；8. 數(shù)學歸納法及應用 。四、題型、方法1、等差數(shù)列中，通項，前項和（為公差，）.證明某數(shù)列是等差（比）

6、數(shù)列，通常利用等差（比）數(shù)列的定義加以證明，即證：是常數(shù)(=常數(shù)，)，也可以證明連續(xù)三項成等差（比）數(shù)列.即對于任意的自然數(shù)有：（）。例數(shù)列滿足：.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項公式。分析：注意證明數(shù)列是等差數(shù)列，則要證明是常數(shù)，而，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列。又，則，所以。2、等差數(shù)列前項和、次項和、再后項和（即連續(xù)相等項的和）仍成等差數(shù)列；等比數(shù)列前項和（和不為0）、次項和、再后項和仍成等比數(shù)列.類比還可以得出：等比數(shù)列的前項的積、次項的積、再后項的積仍成等比數(shù)列。例1已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項的和，則；分析：注意到是等差數(shù)列的連續(xù)4項的和，它們成等差數(shù)列，可以得到，所以。例2已

7、知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項的積，則。分析：由成等比，則，所以。3、在等差數(shù)列中，若，則；在等比數(shù)列中，若，則等差（等比）數(shù)列中簡化運算的技巧多源于這條性質。例數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為整數(shù)，則的值為。分析：由得或，又此數(shù)列的公比為整數(shù)，所以公比，則。4、等差數(shù)列當首項且公差，前n項和存在最大值.當首項且公差，前項和存在最小值，求等差數(shù)列前項和的最值可以利用不等式組來確定的值；也可以利用等差數(shù)列的前項的和是的二次函數(shù)（常數(shù)項為0）轉化成函數(shù)問題來求解。例1若是等差數(shù)列，首項，則（1）使前項和最大的自然數(shù)是；（2）使前項和的最大自然數(shù)；分析：由條件可以看出，可知最大，則使最大的自然數(shù)為2006；由知

8、，所以，則使的最大自然數(shù)為4012。例2在等差數(shù)列中，滿足且是數(shù)列前項的和，若取得最大值，則。分析：首項、公差（比）是解決等差（比）數(shù)列的最基本出發(fā)點，等差（比）數(shù)列的運算多可以通過首項與公差（比）來解決.由知，則.當時，當時，所以。5、數(shù)列是等比數(shù)列，其前項的和是關于的分段函數(shù)，在求和過程中若公比不是具體數(shù)值時，則要進行討論.例1數(shù)列是等比數(shù)列，前項和為，且，求的取值范圍。分析：注意到等比數(shù)列的公比是不為零的常數(shù)，前項和存在的前提條件是，且，知，則，有，則。例2數(shù)列是等比數(shù)列，首項，公比，求的值。分析：涉及到等比數(shù)列的前項和的問題不能直接的應用公式，要考慮到公比的取值情況.當時，此時；當時，

9、則=。6、等差數(shù)列、等比數(shù)列的“基本元”是首項、公差（比），若不知如何用性質求解時，可以把問題轉化成“基本元”解決.學會用任意兩項關系：若是等差數(shù)列，則對于任意自然數(shù)有；若是等比數(shù)列，則對于任意的自然數(shù)，有，在這兩關系式中若取，這就是等差（比）數(shù)列的通項公式。例1已知數(shù)列是等差數(shù)列，首項，且.若此數(shù)列的前項和為，問是否存在最值？若存在，為何值？若不存在，說明理由。分析：對于本題來說，等差數(shù)列的基本性質用不上，可以化歸為首項與公差來解決。設此數(shù)列的公差為，則，即，由知，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故有最大值而無最小值.由等差數(shù)列的通項公式知：，當時，當時，.所以最大.綜上知，當時，最大，不存在最小值。例

10、2已知正項等比數(shù)列中，首項，且.若此數(shù)列的前項積為，問是否存在最值？說明理由。分析：與例1聯(lián)系起來，這是數(shù)列中的“類比”問題.其解決的思想方法是一樣的，對于單調正項數(shù)列，前項積最大（小），則應滿足。設此數(shù)列公比為，則，則.由知：時，時，.所以當時，最大，沒有最小值。特別注意等差數(shù)列與正項等比數(shù)列之間存在的類比關系實際上是運算上的變化，這種變化可以由等差數(shù)列與等比數(shù)列的一個性質來揭示.我們知道：若數(shù)列是正項等比數(shù)列，記，則數(shù)列是等差數(shù)列.反之若數(shù)列是等差數(shù)列，記，則數(shù)列是等比數(shù)列。7、已知數(shù)列的前項和，求數(shù)列的通項公式時，要注意分段，當滿足時，才能用一個公式表示。例已知數(shù)列的前項和，若是等差數(shù)列

11、，求的通項公式。分析：證明一個數(shù)列是等差數(shù)列或是等比數(shù)列，要從等差、等比數(shù)列的定義出發(fā)。等差、等比數(shù)列的性質不能作為證明的理由。由知，時，當時，.當時，而.若數(shù)列是等差數(shù)列，則，所以，則。8、形如：+的遞推數(shù)列，求通項用疊加（消項）法；形如：的遞推數(shù)列，求通項用連乘（約項）法。例數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。分析：解決這種遞推數(shù)列的思想方法實質上是等差、等比數(shù)列求通項公式的思想方法.等差數(shù)列的基本遞推關系：，等比數(shù)列的遞推關系：。由題知：相加得：，又，所以，而滿足此式，則。9、一次線性遞推關系：數(shù)列滿足：是常數(shù)）是最重要的遞推關系式，可以看出當時，此數(shù)列是等差數(shù)列，當（時，此數(shù)列是等比數(shù)列.解決

12、此遞推的方法是通過代換（令化成等比數(shù)列求解。例已知數(shù)列滿足：，求此數(shù)列的通項公式。分析：由得：知數(shù)列是等比數(shù)列，首項為2，公比為2，所以，知。10、在解以數(shù)列為模型的數(shù)學應用題時，要選擇好研究對象，即選擇好以“哪一個量”作為數(shù)列的“項”，并確定好以哪一時刻的量為第一項；對較簡單的問題可直接尋找“項”與“項數(shù)”的關系，對較復雜的問題可先研究前后項之間的關系（即數(shù)列的遞推公式），然后再求通項。例某企業(yè)去年底有資金積累萬元，根據(jù)預測，從今年開始以后每年的資金積累會在原有的基礎上增長20%，但每年底要留出萬元作為獎勵金獎給職工.企業(yè)計劃用5年時間使資金積累翻一番，求的最大值。分析：與年數(shù)相關的應用題在

13、解答過程中要注意項數(shù)與年數(shù)之間的關系，在設數(shù)列時就要指明.特別注意年底、年初的不同。設從今年開始每年底該企業(yè)的資金積累為萬元，則（萬元），則.所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，。由題知，則，求得：。即的最大值大約為8%。11、常見的極限要記牢：，注意存在與是不相同的，特別注意此式的結構形式；若是關于的多項式函數(shù)，要會求。例1求下列各式的值：（1）。分析：對于指數(shù)型的分式型極限，一般是分子、分母同除以冪底數(shù)絕對值較大的冪，這樣可以求出極限。（1）當時，原式；當時，原式。例2若，則；。分析：對于分子分母是關于的整式的分式型極限，若分子的最高的冪指數(shù)大于分母的最高的冪指數(shù)，則此式極限不存在；當分子的最高的冪指數(shù)與分母的最高的冪指數(shù)相同時，