春季期末概率統(tǒng)計A試卷

1、 1. （15分）NBA籃球賽中有這樣的規(guī)律，兩支實力相當?shù)那蜿牨荣悤r，每節(jié)主隊得分與客隊得分之差為正態(tài)隨機變量，均值為1.5，方差為6，并且假設四節(jié)的比分差是相互獨立的，問：（1） 主隊得勝的概率有多大？（2） 在前半場主隊落后5分的情況下，主隊得勝的概率有多大？（3） 在第一節(jié)主隊贏5分的情況下，主隊得勝的概率有多大？（是標準正態(tài)分布函數(shù)）解：記 A=主隊得勝，Xi=第i節(jié)主隊與客隊的得分之差（i=1,2,3,4），則X1，X2，X3，X4相互獨立，且都服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的可加性可得：，（1）.(3) .2. （10分）質量檢驗員逐個地檢查某種產(chǎn)品，每次花10秒鐘檢查一個，但也可能有

2、的產(chǎn)品需要再花10秒鐘重復檢查一次，假設每個產(chǎn)品需要復查的概率為0.5，試用中心極限定理估算一下在8小時內(nèi)檢驗員能檢查完1600個產(chǎn)品的概率。()解：設表示檢查第i個產(chǎn)品所花費的時間，則.,.令表示檢查完1600個產(chǎn)品所花的總時間，由獨立同分布的林德伯格中心極限定理可知即檢驗員在8小時內(nèi)檢查完1600個產(chǎn)品的概率是0.9713.3. (10分) 設總體服從正態(tài)分布，是來自總體的簡單隨機樣本，求（1） n=5時樣本均值與總體均值之差絕對值大于1的概率；（2）.(=0.8686, )解：（1）當n=5時，即所以 .(2) .4. （20分）設總體服從正態(tài)分布，未知。在總體的10個觀測值的平均值時，

3、（1）求的置信水平為0.95的置信區(qū)間；（2）要想使的置信水平為0.95的置信區(qū)間的長度不超過1，則n至少取多大? (3) 如果總體的樣本容量n=64，則當區(qū)間是的置信水平為的置信區(qū)間時，應多大？(, )解：（1）由于已知，所以正態(tài)總體數(shù)學期望的置信水平為的置信區(qū)間為由題設知，所以的置信水平為0.95的置信區(qū)間為.(2) 當樣本容量為n時，的置信水平為0.95的置信區(qū)間為，于是要使該區(qū)間的長度不超過1，即，必有，即觀測值的個數(shù)n最少為123.(3) 如果總體的樣本容量n=64時，的置信水平為的置信區(qū)間為，則有，即，查表可得，即.5. （15分）設總體的分布密度為，是取自總體的簡單隨機樣本，求（

4、1）求的無偏估計量；（2）求的方差.解：（1），令 。因為,所以是的無偏估計量。（2）因為,所以 。6. （15分）設有12名志愿受試者服用減肥藥，服藥前和服藥一個療程后，各測量1次體重(公斤)，數(shù)據(jù)如下：服藥前：101，131，131，143，124，137，126，95，90，67，84，101服藥后：100，136，126，150，128，126，116，105，87，57，74，109經(jīng)計算：志愿受試者服藥前的平均體重為，樣本方差為；志愿受試者服藥后的平均體重為，樣本方差為。并設志愿受試者服藥前的體重近似服從正態(tài)分布，服藥后的體重近似服從正態(tài)分布。試判斷此減肥藥是否有效？解：設志愿受試者服藥前后的體重分別近似服從,。該問題可歸結為下述的假設檢驗問題利用雙側檢驗法，取檢驗統(tǒng)計量，其中當原假設為真時， ，其拒絕域為。依題意有,由于，不能拒絕，即不能認為此減肥藥有效。7. （15分）以家庭為單位, 某種商品年需求量與該商品價格之間的一組調(diào)查數(shù)據(jù)如下表:假設商品的需求量與價格之間存在