高中數(shù)學第6章（第1課時）不等式的性質(zhì)(1)

1、高中數(shù)學教案 第6章 不等式的性質(zhì)（第1課時） 課 題：不等式的性質(zhì)（1）教學目的：1了解不等式的實際應(yīng)用及不等式的重要地位和作用；2掌握實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，學會比較兩個代數(shù)式的大小教學重點：比較兩實數(shù)大小 教學難點：差值比較法：作差變形判斷差值的符號 授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、引入：人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的研究不等關(guān)系，反映在數(shù)學上就是證明不等式與解不等式實數(shù)的差的正負與實數(shù)的大小的比較有著密切關(guān)

2、系，這種關(guān)系是本章內(nèi)容的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)因此，本節(jié)課我們有必要來研究探討實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系生活中為什么糖水中加的糖越多越甜呢?轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，則糖水更甜了，為什么? 分析：起初的糖水濃度為，加入m克糖 后的糖水濃度為，只要證>即可怎么證呢?引人課題二、講解新課：1不等式的定義：用不等號連接兩個解析式所得的式子，叫做不等式說明：（1）不等號的種類：、（）、（）、（2）解析式是指：代數(shù)式和超越式（包括指數(shù)式、對數(shù)式和三角式等）（3）不等式研究的范圍是實數(shù)集R2判斷兩個實數(shù)大小

3、的充要條件對于任意兩個實數(shù)a、b，在ab，a= b，ab三種關(guān)系中有且僅有一種成立判斷兩個實數(shù)大小的充要條件是：由此可見，要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號就可以了，這好比站在同一水平面上的兩個人，只要看一下他們的差距，就可以判斷他們的高矮了三、講解范例：例1比較(a3)（a）與（a2）（a4）的大小分析：此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項之后，判斷差值正負(注意是指差的符號，至于差的值究竟是多少，在這里無關(guān)緊要)并根據(jù)實數(shù)運算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小 把比較兩個實數(shù)大小的問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算符號問題本題知識點：整式乘法，去括號

4、法則，合并同類項解：由題意可知：（a3）（a）（a2）（a4）（a22a1）（a22a）0（a3）（a）（a2）（a4）例2已知x0，比較（x21）2與x4x21的大小分析：此題與例1基本類似，也屬于兩個代數(shù)式比較大小，但是其中的x有一定的限制，應(yīng)該在對差值正負判斷時引起注意，對于限制條件的應(yīng)用經(jīng)常被學生所忽略本題知識點：乘法公式，去括號法則，合并同類項解：由題意可知：（x21）2（x4x21）（x42x21）（x4x21）x42x21x4x21x2x0 x20（x21）2（x4x21）0（x21）2x4x21例2引伸：在例2中，如果沒有x0這個條件，那么兩式的大小關(guān)系如何?在例2中，如果沒有

5、x0這個條件，那么意味著x可以全取實數(shù)，在解決問題時，應(yīng)分x0和x0兩種情況進行討論，即：當x0時，（x21）2x4x21當x0時，（x21）2x4x21此題意在培養(yǎng)學生分類討論的數(shù)學思想，提醒學生在解決含字母代數(shù)式問題時，不要忘記代數(shù)式中字母的取值范圍，一般情況下，取值范圍是實數(shù)集的可以省略不寫得出結(jié)論：例1，例2是用作差比較法來比較兩個實數(shù)的大小，其一般步驟是：作差變形判斷符號這樣把兩個數(shù)的大小問題轉(zhuǎn)化為判斷它們差的符號問題，至于差本身是多少，在此無關(guān)緊要例3已知a>b>0，m>0，試比較與的大小解：a>b>0，m>0，a-b>0，a+m>0

6、>從而揭示“糖水加糖甜更甜”的數(shù)學內(nèi)涵例4 比較a4-b4與4a3(a-b)的大小 解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)(a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)=- (a-b)2 (當且僅當db時取等號)a4-b44a3(a-b)說明：“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法例5 已知x>y，且y0，比較與1的大小解： x>y，x-y>0 當y<

7、0時，<0，即<1 當y>0時，>0，即>1說明：變形的目的是為了判定符號，此題定號時，要根據(jù)字母取值范圍，進行分類討論四、課堂練習：1在以下各題的橫線處適當?shù)牟坏忍枺?1)（）2 2；（2）（）2 （1）2；（3） ；(4)當ab0時，loga logb答案：(1) （2） （3） （4）2選擇題若a0，1b0，則有( )Aaabab2 Bab2aba Cabaab2 Dabab2a分析：利用作差比較法判斷a，ab，ab2的大小即可a0，1b0ab0，b10，1b0，0b21，1b20abaa（b1）0abaabab2ab（1b）0abab2aab2a（1b2）

8、0aab2故abab2a答案：D3比較大?。?1)（x）（x）與（x）2；(2)log與log解：(1)（x）（x）（x)2（x212x3）（x212x3）10（x）（x）（x）2(2)解法一：(作差法)loglog0loglog解法二：(中介法，常以“1，0，1”作中介)函數(shù)ylogx和ylogx在（0，）上是減函數(shù)且loglog1，loglog1loglog4如果x0，比較（1）2與（1）2的大小解：（1）2（1）2（1）（1）（1）（1）或（x21）（x21）4x0 0 40（1）2（1）25已知a0，比較（a2a1）（a22a1）與（a2a1）·（a2a1）的大小解：（a2a

9、1）（a2a1）（a2a1）（a2a1）（a21）2（a）2（a21）2a2a2a0，a20 a20故（a2a1）（a2a1）（a2a1）（a2a1）五、小結(jié) ：本節(jié)學習了實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，并以此關(guān)系為依據(jù)，研究了如何比較兩個實數(shù)的大小，其具體解題步驟可歸納為：第一步：作差并化簡，其目標應(yīng)是n個因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時須進行討論第三步：得出結(jié)論在某些特殊情況下(如兩數(shù)均為正，且作商后易于化簡)還可考慮運用作商法比較大小它與作差法的區(qū)別在于第二步，作商法是判斷商值與1的大小關(guān)系六、課后作業(yè)：1已知，比較與的大小解： -= 2比較2sinq與sin2q的大小(0<q<2p)解： 2sinq-sin2q=2sinq(1-cosq)當qÎ(0,p)時2sin