初中因式分解的常用方法—特色專題詳解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初中因式分解的常用方法特色專題詳解一、提公因式法. 如多項(xiàng)式其中m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式， m既可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式二、運(yùn)用公式法.運(yùn)用公式法，即用 寫出結(jié)果三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：例2、分解因式：對(duì)應(yīng)練習(xí)：分解因式1、 2、（二）分組后能直接運(yùn)用公式 例3、分解因式： 例4、分解因式： 對(duì)應(yīng)練習(xí)：分解因式3、 4、綜合練習(xí)：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）四、十字相乘法.（一）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式進(jìn)行分解。特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1； （

2、2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。 例5、分解因式：例6、分解因式：對(duì)應(yīng)練習(xí)5、分解因式(1) (2) (3) 對(duì)應(yīng)練習(xí)6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式條件：（1） （2） （3） 分解結(jié)果：=例7、分解因式：對(duì)應(yīng)練習(xí)7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例8、分解因式：對(duì)應(yīng)練習(xí)8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例9、 例10、 對(duì)應(yīng)練習(xí)9、分解因式：（1） （2）綜合練習(xí)10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）思考：分解因

3、式：五、主元法. 例11、分解因式： 對(duì)應(yīng)練習(xí)11、分解因式(1) (2) (3) (4)六、雙十字相乘法。定義：雙十字相乘法用于對(duì)型多項(xiàng)式的分解因式。條件：（1），（2），即： ，則例12、分解因式（1） （2）對(duì)應(yīng)練習(xí)12、分解因式（1） （2）七、換元法。例13、分解因式（1） （2）對(duì)應(yīng)練習(xí)13、分解因式（1）（2） （3）例14、分解因式（1）觀察：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)是關(guān)于的降冪排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對(duì)稱”。這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”。對(duì)應(yīng)練習(xí)14、（1）（2）八、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。 例15、分解因式（1） 對(duì)應(yīng)練習(xí)15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5

4、） （6）九、待定系數(shù)法。例16、分解因式例17、（1）當(dāng)為何值時(shí)，多項(xiàng)式能分解因式，并分解此多項(xiàng)式。 （2）如果有兩個(gè)因式為和，求的值。對(duì)應(yīng)練習(xí)17、（1）分解因式（2）分解因式（3）已知：能分解成兩個(gè)一次因式之積，求常數(shù)并且分解因式。（4）為何值時(shí)，能分解成兩個(gè)一次因式的乘積，并分解此多項(xiàng)式。初中階段因式分解的常用方法（例題再詳解）把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)將初中階段因式分解的常用方法總結(jié)如下：一、提公因式法. 如多項(xiàng)式其中m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式， m既可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式二、運(yùn)用公式法.運(yùn)用公式法

5、，即用 寫出結(jié)果三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：分析：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒(méi)有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a，后兩項(xiàng)都含有b，因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式= = 每組之間還有公因式！ = 思考：此題還可以怎樣分組？此類型分組的關(guān)鍵：分組后，每組內(nèi)可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提。例2、分解因式：解法一：第一、二項(xiàng)為一組； 解法二：第一、四項(xiàng)為一組；第三、四項(xiàng)為一組。 第二、三項(xiàng)為一組。解：原式= 原式= = = = =練習(xí)：分解因式1、

6、 2、（二）分組后能直接運(yùn)用公式 例3、分解因式：分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。 解：原式= = = 例4、分解因式： 解：原式= = =注意這兩個(gè)例題的區(qū)別！練習(xí)：分解因式3、 4、綜合練習(xí)：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式進(jìn)行分解。特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1； （2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。 例5、分解因式：分析：將6分成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于5。 由于

7、6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 1×2+1×3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7練習(xí)5、分解因式(1) (2) (3)練習(xí)6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式條件：（1） （2） （3） 分解結(jié)果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+

8、（-5）= -11解：=練習(xí)7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例8、分解因式：分析：將看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =練習(xí)8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例9、 例10、 1 -2y 把看作一個(gè)整體 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=練習(xí)9、分解因式：（1） （2）綜合練習(xí)10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（1

9、0）思考：分解因式：五、主元法. 例11、分解因式： 5 -2解法一：以為主元 2 -1 解：原式= (-5)+(-4)= -9 = 1 -(5y-2) = 1 (2y-1) = -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)解法二：以為主元 1 -1 解：原式= 1 2 = -1+2=1= 2 (x-1)= 5 -(x+2) = 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)練習(xí)11、分解因式(1) (2)(3) (4)六、雙十字相乘法。定義：雙十字相乘法用于對(duì)型多項(xiàng)式的分解因式。條件：（1），（2），即： ，則例12、分解因式（1） （2）解：（1）應(yīng)用雙十字相乘法： ，原式= （2）應(yīng)用雙十字

10、相乘法： ，原式=練習(xí)12、分解因式（1） （2）七、換元法。例13、分解因式（1） （2）解：（1）設(shè)2005=，則原式= = =（2）型如的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。 原式=設(shè)，則原式= =練習(xí)13、分解因式（1）（2） （3）例14、分解因式（1）觀察：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)是關(guān)于的降冪排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對(duì)稱”。這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”。方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式=設(shè)，則原式= = = = （2）解：原式= 設(shè)，則 原式= =練習(xí)14、（1）（2）八、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。 例15、分解因式（1） 解法1拆項(xiàng)

11、。 解法2添項(xiàng)。原式= 原式= = = = = = = =（2）解：原式=練習(xí)15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）九、待定系數(shù)法。例16、分解因式分析：原式的前3項(xiàng)可以分為，則原多項(xiàng)式必定可分為解：設(shè)=對(duì)比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得，解得原式=例17、（1）當(dāng)為何值時(shí)，多項(xiàng)式能分解因式，并分解此多項(xiàng)式。 （2）如果有兩個(gè)因式為和，求的值。（1）分析：前兩項(xiàng)可以分解為，故此多項(xiàng)式分解的形式必為解：設(shè)= 則=比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)可得：，解得：或當(dāng)時(shí)，原多項(xiàng)式可以分解；當(dāng)時(shí)，原式=；當(dāng)時(shí)，原式=（2）分析：是一個(gè)三次式，所以它應(yīng)該分成三個(gè)一次式相乘，因此第三個(gè)因式必為形如的一次二項(xiàng)式。解

12、：設(shè)= 則=，解得，=21練習(xí)17、（1）分解因式（2）分解因式（3）已知：能分解成兩個(gè)一次因式之積，求常數(shù)并且分解因式。（4）為何值時(shí)，能分解成兩個(gè)一次因式的乘積，并分解此多項(xiàng)式。補(bǔ)充：一定要記住的公式大全：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a2±2abb2(a±b）2； 注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍。 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)； 完全立方公式：a3&#

13、177;3a2b3ab2±b3=(a±b)3 公式：a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)*十字相乘法初步公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) *（可不記）十字相乘法通用公式：如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)因式分解方法（重要：因式分解法的結(jié)果一定是多個(gè)因式相乘）：方法一：分組分解法步驟 類型一 分組后能直接提取公因式 1.分組后能直接提取公因式 2.提完公因式之后，每組之間應(yīng)該還可以提公因式（此時(shí)，應(yīng)注意觀察）。 類型二 分組后能直接運(yùn)用上面的公式方法二： （當(dāng)用方法一不行時(shí)，這時(shí)可考慮用十字相乘法） 十字相乘法.（一）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式類型一 直接利用公式進(jìn)行分解。類型二 *十字相乘法通用公式：如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d) 總結(jié)：不管用什么方法，最后的結(jié)果都是由多個(gè)因式相乘了，因此，當(dāng)自己解完題后不是因式相乘了，那么應(yīng)該反回去再檢察題目，看看能不能用其他的方法來(lái)解決該題目。 因式分解鞏固練習(xí)（精選） 練習(xí)一 分組分解法類型一（用兩種方法來(lái)解）1. 2.3. 4. 練習(xí)二 分組分解法類型二5. 6.7. 8. 練習(xí)三 十字相乘法 9. 10.