關(guān)于圖形旋轉(zhuǎn)探究實踐的課例與反思

1、關(guān)于圖形旋轉(zhuǎn)探究實踐的課例與反思松江四中 牟善民圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學(xué)幾何圖形的三種基本運動形式，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。這類問題常常要運用“動”的思路去觀察、分析、推理、猜想、探究相關(guān)圖形的位置變化情況或圖形的有關(guān)性質(zhì)，對提高數(shù)學(xué)思維能力與發(fā)展空間觀念有著重要的作用，也是近年中考試題的一個熱點。這部分題目的主要解題思路是在圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等運動變化中尋找變量和不變量，把握規(guī)律、探求關(guān)系，把圖形的對稱性與分類討論的思想結(jié)合起來。圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)有一個重要的性質(zhì)：任何圖形經(jīng)過移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，除了圖形的位置發(fā)生變化外，圖形的形狀、大小保持不變，這個性質(zhì)在解決圖形運動的有關(guān)

2、問題中常用。 針對上述原因，在初三數(shù)學(xué)第一輪基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)后，進(jìn)行第二輪專題復(fù)習(xí)時，針對本學(xué)校身為農(nóng)村中學(xué)，學(xué)生的基礎(chǔ)較差，靈活運用知識的能力不強(qiáng)，設(shè)計了本節(jié)課的內(nèi)容，重點是解決圖形運動形式中的旋轉(zhuǎn)問題。我首先為同學(xué)們準(zhǔn)備了一道填空題。一、 引入 如圖，是等腰直角三角形，是斜邊，點是外一點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，使點與點重合，得到。如果=3，那么的長等于 師：請同學(xué)們觀察圖形，說說有什么特點？生1：與重合。師：如何求的長度？生2：線段是一條邊，=3師：好，在中，我們還知道哪些條件？生3：繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與重合，則=3師：非常好！但是想求出的長是不是缺少條件呀？生4：直角三角形！師：是嗎？哪個同

3、學(xué)說一說原因？生5：是直角三角形！因為繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后與重合，所以=90°師：回答的很好！為什么有些同學(xué)剛才沒有想到呢？實際上大家對圖形觀察不細(xì)心，你們再觀察一下圖形，在圖形的旋轉(zhuǎn)問題中叫什么？生6：是旋轉(zhuǎn)角！師：對！那么同學(xué)們計算一下結(jié)果生7：師：好！我們從這道題的解決中可以看到，當(dāng)圖形發(fā)生變化時，一定要抓住圖形的基本要素，這樣才有利于解決問題。下面我們再看一看這個圖形，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后還有哪些不變的量？（老師重點啟發(fā)學(xué)生在旋轉(zhuǎn)過程中尋找邊和角的不變量，注重發(fā)散性提出問題）生8：=，=，= 生9：=，=生10：，的面積=的面積師：回答得非常好，在解決有關(guān)旋轉(zhuǎn)問題時，要注意相應(yīng)的邊角關(guān)系。

4、圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，除了圖形的位置發(fā)生變化外，圖形的形狀、大小保持不變，這個性質(zhì)在解決圖形運動的有關(guān)問題中常用。老師用幾何畫板作出圖形（電腦演示動畫，強(qiáng)化知識）師：我們今天要研究的就是圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)問題。二、變式1師：同學(xué)們，如果把上題中的條件改動一下，“是等腰直角三角形”改為“是等邊三角形”，會有什么結(jié)論？（如下圖）（學(xué)生畫圖，進(jìn)行自我探究，計算結(jié)果并總結(jié)）師：請同學(xué)們結(jié)合自己的作圖說一說結(jié)論生11：繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后與重合，旋轉(zhuǎn)角是60°。師：好的，結(jié)論是什么？生12：是等邊三角形，得到=3師：很好，我們重新觀察圖形，你還有那些結(jié)論？生13：=，=生14：如果=，那么可以看

5、作繞點逆時針旋轉(zhuǎn)的結(jié)果，師：非常好！希望同學(xué)們在后面的學(xué)習(xí)中多動腦，多思考。（調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲。通過老師營造課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生因惑質(zhì)疑，產(chǎn)生發(fā)現(xiàn)問題的欲望與興趣；同時創(chuàng)設(shè)問題情境，使學(xué)生置身于發(fā)現(xiàn)問題的情境中，進(jìn)入發(fā)現(xiàn)者的角色，從而激發(fā)學(xué)生的興趣、熱情。）生15：老師，如果把“點是外一點”改成“”會出現(xiàn)什么情況？師：問題提得好！下面我們共同來探究這個問題。變式2如圖，已知和為等邊三角形，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)不同的角度，探究在不同位置時，圖形中有哪些不變量？請同學(xué)們自己動手畫圖，自行選定某個旋轉(zhuǎn)角度。 (學(xué)生分小組探究完成，讓學(xué)生自我尋找圖形特點，適當(dāng)分成若干小組，積極發(fā)揮團(tuán)

6、隊作用，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊合作的意識)師：請各個小組展示自己的成果生16：我們小組畫的圖形(圖一)，結(jié)論不是一個。圖一 圖二 圖三 師：好的，有多少結(jié)論都可以講出來。生16：我們組的結(jié)論有，=，=，=,生17：我們小組畫的圖形（圖二），結(jié)論更多，, =，=，=, 生18：如果把與的交點令為點M，與的交點令為點N（圖三），則有NM，MN，N=M，M=N，N=M，M=N，生19：還有，MM，M，NN，生20：還有一些成比例的線段：M：M=M：M=：，M：=：師：同學(xué)們回答的非常好！下面老師演示一下，看看自己是否還有發(fā)現(xiàn)？老師用幾何畫板作出旋轉(zhuǎn)變化，同時小結(jié)（電腦演示動畫，強(qiáng)化知識）圖1 圖2 圖3 圖4

7、圖5 圖6 圖7 圖8圖9 圖10 圖11 圖12圖13 圖14 圖15 圖16生21：剛才老師演示的圖形中，有幾個我們以前見過。師：對呀，上面的圖形中，有一些圖形在三角形全等以及三角形相似內(nèi)容中，我們都接觸過，關(guān)鍵是要抓住圖形基本特點，掌握規(guī)律。例如下圖，我們剛才的結(jié)論中有=，也可以提出問題：證明=+等等。同學(xué)們看看如何證明？（在經(jīng)歷了圖形的若干旋轉(zhuǎn)后，尋求一個特殊情況下的新結(jié)論=+，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲。）師：（啟發(fā)學(xué)生）同學(xué)們，你們觀察一下圖形，這個圖形有什么特點？生22：這是我們剛才見過的一個圖形。師：好，那么如何解決這個問題呢？生23：可以參照上面的題目，能夠得

8、到師：你回答的非常好，哪位同學(xué)接著講講？生24：和全等后，可以得到=師：回答正確，但是我們還沒有解決問題呀？生25：由于為等邊三角形，可得=，又=生26：（搶答）所以=+（從上面的問題可以看出，學(xué)生的思維多數(shù)情況停留在表面，比較直觀。對于簡單圖形的變換學(xué)生能夠比較容易看出圖形特點，并且與以往知識很順利的聯(lián)系起來，解決起來沒有太多的困難，圖形相對復(fù)雜，學(xué)生往往不能很好的觀察、分析，與以往學(xué)習(xí)的知識不能協(xié)調(diào)、聯(lián)系，出現(xiàn)了解決問題的困難。這也恰恰反映出學(xué)生在數(shù)學(xué)思想、方法的培養(yǎng)上存在欠缺。數(shù)學(xué)思想反映數(shù)學(xué)的基本觀點和解決問題的基本方法，可以從宏觀上、方向上指導(dǎo)我們解決問題，尤其是有些題目的條件比較隱

9、蔽，條件與結(jié)論之間的聯(lián)系比較迂回曲折，有時難于入手，只有能熟練駕馭數(shù)學(xué)思想方法，才能有合理的解題策略和行之有效的解題思路。）師：好，通過上面問題提醒我們在圖形的旋轉(zhuǎn)變化中注意尋找不變的量，把握規(guī)律、探求關(guān)系，更有利于順利解決問題。下面同學(xué)們可以實驗一下，從剛才的圖116中尋找不同的結(jié)論，每個小組提出一個問題，找另一個小組來回答。（小組學(xué)生派代表回答，教師點評）師：現(xiàn)在請同學(xué)們回顧前面內(nèi)容，你是否有一些發(fā)現(xiàn)？生27： 解題思路相同，基本上是先有三角形全等，進(jìn)而得到結(jié)論。師：回答很好！從上述問題中我們可以得出經(jīng)驗：在今后解決問題時針對已有的圖形特點先畫一畫、猜一猜，看看“它象什么”？運用知識的遷移

10、，依靠化歸的數(shù)學(xué)思想來解決問題，一定會收到較好的效果。（挖掘內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)化歸思想的導(dǎo)向功能，鼓勵學(xué)生按一定的模式去探究運用，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生開展探究性活動，實際上是立足于教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生自主參與開展，對某些數(shù)學(xué)問題的深入探討，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的重要途徑。它有利于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的情感，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心和克服困難的意志力；有利于加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，掌握解決問題的方法和策略，提高解決問題的能力；有利于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識和合作精神，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展探究性活動無論從教學(xué)內(nèi)容，還是從教學(xué)形式、教學(xué)方法上講，都是對常規(guī)課堂教學(xué)的一種發(fā)展和補充，使數(shù)學(xué)教學(xué)更加開放和更加具有活

11、力。）變式3已知和為等腰三角形，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，探究在不同位置時，圖形有那些不變的量？圖一 圖二 圖三生28：當(dāng)和為等腰三角形時，如圖二，結(jié)論有，=，=，=, ，生29：圖三中仍然有，=，=，=, ，生30： 還有，：=：=：，師：回答的好！本節(jié)課我們探究了在和中，繞著點旋轉(zhuǎn)不同位置時的不變量， 同時也對等邊三角形、等腰三角形及任意三角形的情況做了分類探究，希望同學(xué)們體會旋轉(zhuǎn)的重要性質(zhì)，在今后的學(xué)習(xí)中加以運用。課下各小組運用本節(jié)課方法對和為任意三角形時旋轉(zhuǎn)的問題，以及正方形的旋轉(zhuǎn)問題進(jìn)行探究，看看哪一個小組做得最出色！課后問題：1、如圖，已知在和中，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，探究在不同位置時，圖形有那些

12、不變的量？（當(dāng)和為任意三角形時，圖形也由特殊回到了一般，原來的三角形全等問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蜗嗨频膯栴}，原來的線段相等轉(zhuǎn)變?yōu)榫€段成比例，結(jié)論也發(fā)生了變化。另外，讓學(xué)生體會三角形全等是三角形相似的特例這一知識點，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)研究中的辨證思想。）2、如圖，正方形和正方形，正方形繞點旋轉(zhuǎn)，探究在各個位置時，圖形有那些不變的量？反思：新教材的基本出發(fā)點是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展，其基本理念是突出體現(xiàn)普及性、基礎(chǔ)性和發(fā)展性，關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度、價值觀和一般能力的培養(yǎng)，通過教授數(shù)學(xué)知識，使學(xué)生獲得作為一個公民所必須的基本數(shù)學(xué)知識和技能，為學(xué)生的終身可持續(xù)發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)。新教材首先對我們的教育觀

13、念提出了挑戰(zhàn)，要求我們不再作為知識的權(quán)威，將預(yù)先組織好的知識體系傳授給學(xué)生，而是充當(dāng)指導(dǎo)者、合作者和助手的角色，與學(xué)生共同經(jīng)歷知識探究的過程。因此，要求我們要立足學(xué)生終身發(fā)展以及參與未來競爭的需要，切實轉(zhuǎn)變教育思想，樹立以育人為本的觀念，適應(yīng)時代發(fā)展和科技進(jìn)步的要求，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。一、設(shè)計思路1、本節(jié)課的設(shè)計理念是“以學(xué)生自主探究為主，以老師適當(dāng)引導(dǎo)為輔”，基于“雙基”的要求，力求讓學(xué)生們跳一跳夠得著。因此在教學(xué)設(shè)計中采取環(huán)環(huán)相扣，逐步深入的方法，考慮到充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生自主思考，小組協(xié)作，老師在教學(xué)過程中作適當(dāng)引導(dǎo)、小結(jié)，教學(xué)內(nèi)容圍繞旋轉(zhuǎn)角

14、、旋轉(zhuǎn)圖形中的不變量進(jìn)行探究，從邊邊相等發(fā)散到角角相等、面積相等；從等邊三角形的情形發(fā)散到等腰三角形，再到任意三角形，最后回家作業(yè)探究正方形的變化規(guī)律。2、利用探究課這一形式，有利于數(shù)學(xué)思想的滲透，本節(jié)課涉及到如化歸、類比、歸納、分類等數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生感知這些思想對解決問題的作用，對提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力具有很大幫助。另外，在探究學(xué)習(xí)的過程中讓學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題，使他們真正參與到教學(xué)活動中，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力會收到非常好的效果。同時兼顧培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。二、課后感受1、切實轉(zhuǎn)變教學(xué)思想，豐富自身的知識內(nèi)涵在常規(guī)教學(xué)活動中，我個人的觀點認(rèn)為教學(xué)思

15、想的轉(zhuǎn)變是用好教材、提高教學(xué)質(zhì)量的重要前提。只有教學(xué)觀念與新教材基本理念相吻合，進(jìn)而研究新教材和新的教學(xué)方法，從而逐漸過渡到熟練地駕馭新教材，才能變挑戰(zhàn)為機(jī)遇，更好地使用新教材，使新教材充分發(fā)揮其作用。在實際教學(xué)中，開展探究性活動，既是對我的教學(xué)觀念和教學(xué)能力的挑戰(zhàn)，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的重要途徑探究性活動無論從教學(xué)內(nèi)容，還是從教學(xué)形式、教學(xué)方法上講，都是對常規(guī)課堂教學(xué)的一種發(fā)展和補充，使日常教學(xué)活動更加開放和更加具有活力。要想達(dá)到這一目的，首先就要求精確把握教材的精髓，熟練駕馭教材，創(chuàng)造性地使用教材，能夠善于利用、挖掘這些例題的功能，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。其

16、次促進(jìn)我學(xué)習(xí)先進(jìn)教學(xué)理念，掌握現(xiàn)代教育技術(shù)的功能；同時需要不斷提高自己課堂藝術(shù)和技巧，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、激發(fā)學(xué)生求知欲等等。本節(jié)知識是有關(guān)圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等運動形式中的旋轉(zhuǎn)問題，是近年中考試題的一個熱點問題，涉及到的知識、方法、思想較多，有探究性學(xué)習(xí)、化歸的思想方法，以及三角形全等、三角形相似及等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等相關(guān)知識。此外，除去課堂上所講述的解題方法，有些問題還有其他方法。上述知識，要求我必須成竹在胸，這樣才能更有利于教學(xué)。2、注重數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，提高學(xué)生的解題能力初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想和方法占有重要地位。在常規(guī)教學(xué)活動中，我注重挖掘教材中的知識點和典型例題

17、中所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法，依靠數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而提高學(xué)生的解題能力。想做到這一點，我的感受是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，乃至數(shù)學(xué)課外活動中探索選擇適當(dāng)?shù)耐緩竭M(jìn)行滲透。新教材也注重了知識的引入和生成過程的編寫，因此我感覺應(yīng)當(dāng)改變那種害怕浪費課堂時間，片面追求提高學(xué)生方法運用能力的做法，可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計出利于學(xué)生參與認(rèn)知的教學(xué)環(huán)節(jié)，把結(jié)論的形成過程、方法的探索過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程等充分暴露在學(xué)生面前，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為自己探索和發(fā)現(xiàn)的過程，真正成為認(rèn)知的主體，增強(qiáng)求知欲，從而提高學(xué)習(xí)能力。如化歸的數(shù)學(xué)思想是解決問題的一種基本思路，以本節(jié)課應(yīng)用的化歸思想為例：最初階段可讓學(xué)生知道在一定條件下把未知

18、轉(zhuǎn)化為已知，把新知識轉(zhuǎn)化為已掌握的舊知識來解決的思想和方法；中間階段，可根據(jù)化歸思想的導(dǎo)向功能，鼓勵學(xué)生按一定的模式去探索運用，到了后面已基本掌握了化歸的思想和方法，并有了一定的運用基礎(chǔ)和經(jīng)驗，可鼓勵學(xué)生大膽開拓，創(chuàng)造運用。本節(jié)課中學(xué)生在引入后復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)相關(guān)知識及解決問題的基本方法，到變式1加以應(yīng)用，進(jìn)而進(jìn)入到變式2的靈活運用自主探究。學(xué)生在自主探究過程中強(qiáng)化了化歸的思想和方法。在具體教學(xué)實踐中，我總是在問題出現(xiàn)時一再要求學(xué)生思考：“它象什么”？啟發(fā)學(xué)生運用知識的遷移，依靠化歸的數(shù)學(xué)思想來解決問題，收到了較好的效果。3、開發(fā)學(xué)生的探究潛能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，必

19、須要有主體的積極參與才能實現(xiàn)。新教材也將數(shù)學(xué)知識形成的基本過程和基本方法貫穿始終，這是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想和創(chuàng)造性思維的重要方式。在實際教學(xué)中，我也是圍繞這一點，從學(xué)生的實際出發(fā)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計出有利于學(xué)生參與的教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生通過實踐、思考、探索和交流，獲得數(shù)學(xué)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高創(chuàng)新能力。本節(jié)課在引入中應(yīng)用已有的圖形特點讓學(xué)生先畫一畫、猜一猜，先獲得一個感性的猜想，再應(yīng)用數(shù)學(xué)推理加以證明，整個教學(xué)過程都是在學(xué)生的嘗試、猜想、論證中展開的，既自然又吸引了學(xué)生，而且學(xué)生在這個過程中收獲了成功的喜悅，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，為培養(yǎng)創(chuàng)新思維打下良好的基礎(chǔ)。在這一過程中，多媒體適當(dāng)?shù)倪\用，展現(xiàn)幾何圖

20、形的動態(tài)變化，可以引發(fā)學(xué)生思維的連續(xù)展開，探究活動的深入思考，進(jìn)一步開發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新潛能。學(xué)生通過自己探究獲取的知識往往比教師傳授給他的記得更牢，而且在這一類比探究的過程中學(xué)生會自覺或不自覺的發(fā)現(xiàn)各個不同位置之間內(nèi)在的聯(lián)系和區(qū)別，形成一個知識的脈絡(luò)。由等邊三角形到等腰三角形，再到任意三角形的情況做了分類探究。另外，在課外練習(xí)中讓知識更加開放，由三角形問題引申到四邊形，讓學(xué)生有一個更全面的認(rèn)識。在探究性活動的教學(xué)中，盡量充分發(fā)揮現(xiàn)代教育技術(shù)的功能，把抽象的問題利用媒體直觀形象的展現(xiàn)給學(xué)生，幫助他們更好的理解問題老師用幾何畫板作出旋轉(zhuǎn)變化，強(qiáng)化了學(xué)生對知識理解的完整性。此外，我感覺開展探究性的學(xué)習(xí)

21、有利于學(xué)生把握知識系統(tǒng)和建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，在學(xué)習(xí)完一章或一門學(xué)科以后，我積極引導(dǎo)學(xué)生開展對本章、本學(xué)科的知識內(nèi)容、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行歸納整理的探究活動，開展對數(shù)學(xué)題目的解題通法與規(guī)律的整理探究，對數(shù)學(xué)結(jié)論延伸與拓展的發(fā)散探究等。 對于實施探究性學(xué)習(xí)，我的感受是必須體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生親自參與探索研究的全過程，給學(xué)生充分的活動空間和時間，這樣才能達(dá)到活動的目的，使探究活動不流于形式本節(jié)課的大部分時間基本上交給學(xué)生開展探究活動，我僅僅體現(xiàn)在導(dǎo)的作用 ，真正把探究活動落到實處。4、有效發(fā)揮教師的情感作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情在我們正常的課堂教學(xué)中，常有學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不感興趣，而導(dǎo)致教學(xué)效果欠佳。我個人的觀點認(rèn)為主要是老師在課堂教學(xué)中，偏重于語言信息與行為信息的傳遞，忽視了情感信息這個要素在課堂教學(xué)信息系統(tǒng)