微積分第二章 導數(shù)與微分

1、第二章 導數(shù)與微分微分學是高等數(shù)學的重要組成部分，作為研究分析函數(shù)的工具和方法，其主要包含兩個重要的基本概念導數(shù)與微分，其中導數(shù)反映了函數(shù)相對于自變量的變化的快慢程度，即變化率問題，而微分刻畫了當自變量有微小變化時，函數(shù)變化的近似值。一、教學目標與基本要求（一）知識1記住導數(shù)和微分的各種術(shù)語和記號；2知道導函數(shù)與函數(shù)在一點的導數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系；3知道導數(shù)的幾何意義，知道平面曲線的切線和法線的定義；4記住常數(shù)及基本初等函數(shù)的導數(shù)公式；5知道雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導數(shù)公式；6知道高階導數(shù)的定義；7知道隱函數(shù)的定義；8記住反函數(shù)的求導法則；9記住參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導數(shù)的求導公式；10知道對

2、數(shù)求導法及其適用范圍；11知道相關(guān)變化率的定義及其簡單應(yīng)用；12記住基本初等函數(shù)的微分公式；13知道微分在近似計算及誤差估計中的應(yīng)用；14記住兩函數(shù)乘積高階導數(shù)的萊布尼茲公式。（二）領(lǐng)會1 領(lǐng)會函數(shù)在一點的導數(shù)的三種等價定義和左、右導數(shù)的定義；2 領(lǐng)會函數(shù)在某點的導數(shù)與曲線在對應(yīng)點處的切線的斜率之間的關(guān)系；3 領(lǐng)會導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則；4 領(lǐng)會微分的定義以及導數(shù)與微分之間的區(qū)別和聯(lián)系；5 領(lǐng)會微分的運算法則及這些運算法則與相應(yīng)的求導法則之間的聯(lián)系；6 領(lǐng)會微分形式的不變性；7 領(lǐng)會函數(shù)在一點處可導、可微和連續(xù)之間的關(guān)系；8 領(lǐng)會導數(shù)存在的充分必要條件是左、右導數(shù)存在且相等。（

3、三）運用1 會用導數(shù)描述一些物理含義，如速度、加速度等；2 會用導數(shù)的定義求一些極限，證明一些有關(guān)導數(shù)的命題，驗證導數(shù)是否存在；3 會用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點的切線方程和法線方程；4 會用導數(shù)的定義或?qū)?shù)存在的充要條件討論分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)是否存在；5 會用導數(shù)的四則運算法則及基本初等函數(shù)的求導公式求導數(shù)；6 會求反函數(shù)的導數(shù)；7 會求復合函數(shù)的導數(shù)；8 會求隱函數(shù)的一階、二階導數(shù)；9 會求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)；10會求函數(shù)的高階導數(shù)；11會用萊布尼茲公式求函數(shù)乘積的高階導數(shù)；12會用對數(shù)求導法求冪指函數(shù)和具有復雜乘、除、乘方、開方運算的函數(shù)的導數(shù)。13會用微分定義和

4、微分法則求微分；14會用一階微分形式不變性求復合函數(shù)的微分和導數(shù)；15會用微分求函數(shù)的近似值。（四）分析綜合1 綜合運用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及各種導法則求初等函數(shù)的導數(shù)；2 綜合運用函數(shù)導數(shù)的定義，左、右導數(shù)與導數(shù)之間的關(guān)系以及可導與連續(xù)的關(guān)系等討論函數(shù)的可導性；3 綜合運用基本初等函數(shù)的高階導數(shù)公式，兩函數(shù)和、差、積的高階導數(shù)公式及萊布尼茲公式等，求函數(shù)高階導數(shù)；4 綜合運用導數(shù)的幾何意義及求導法則，解決幾何方面求曲線切線與法線的問題及相關(guān)變化率問題；綜合運用微分的定義及幾何意義解決近似計算及誤差估計問題。二、教學內(nèi)容的重點及難點：1 導數(shù)的概念與幾何意義及物理意義；2 可導與連續(xù)的關(guān)系；

5、3 導數(shù)的運算法則與基本求導公式；4 微分的概念與微分的運算法則；5 可微與可導的關(guān)系。三、教學內(nèi)容的深化和拓寬：1 導數(shù)概念的深刻背景；2 復合函數(shù)的求導法則的應(yīng)用；3 綜合運用基本初等函數(shù)的高階導數(shù)公式，兩函數(shù)和、差、積的高階導數(shù)公式及萊布尼茲公式等，求函數(shù)的高階導數(shù)；4 綜合運用導數(shù)的幾何意義及求導法則，解決幾何方面的曲線切線與法線的問題及相關(guān)變化率問題。§2.1 導數(shù)的概念一、內(nèi)容要點1 導數(shù)的兩個基本實際背景是曲線的切線斜率與變速運動的瞬時速度。2 函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義為函數(shù)在該點處的關(guān)于自變量的變化率，即3單側(cè)導數(shù)的定義1) 函數(shù)可導性與連續(xù)性的關(guān)系：若函數(shù)在一點處可

6、導，則函數(shù)在該點處連續(xù)，反之不然。2) 導數(shù)的實用舉例（擴充）二、教學要求和注意點教學要求：1 理解導數(shù)的概念，理解導數(shù)的幾何意義與基本物理意義。2 理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系，即連續(xù)是可導的必要面非充分條件。3 了解函數(shù)可導的充要條件：存在教學注意點：1 要充分認識函數(shù)在一點處的導數(shù)是函數(shù)關(guān)于其自變量在該點的變化率：切線的斜率；速度與加速度；角速度與角加速度；電流，等等。2 要充分理解函數(shù)可導則必然連續(xù)，而連續(xù)卻未必可導。3 注意要用函數(shù)可導的充要條件：存在來判斷分段函數(shù)在分段點處是否可導。主要內(nèi)容：一、 引例1、 線問題：切線的概念在中學已見過。從幾何上看，在某點的切線就是一直線，

7、它在該點和曲線相切。準確地說，曲線在其上某點的切線是割線當沿該曲線無限地接近于點的極限位置。設(shè)曲線方程為，設(shè)點的坐標為，動點的坐標為，要求出曲線在點的切線，只須求出點切線的斜率。由上知，恰好為割線的斜率的極限。我們不難求得的斜率為：；因此，當時，其極限存在的話，其值就是，即。若設(shè)為切線的傾角，則有。2、速度問題：設(shè)在直線上運動的一質(zhì)點的位置方程為（表示時刻），又設(shè)當為時刻時，位置在處，問：質(zhì)點在時刻的瞬時速度是多少？為此，可取近鄰的時刻，也可取，在由到這一段時間內(nèi)，質(zhì)點的平均速度為,顯然當與越近，用代替的瞬時速度的效果越佳，特別地，當時，某常值，那么必為點的瞬時速度，此時，3、同理可討論質(zhì)量非

8、均勻分布的細桿的線密度問題，設(shè)細桿分布在上的質(zhì)量是的函數(shù)，那么在處的線密度為二、 導數(shù)的定義綜合上幾個問題，它們均歸納為這一極限（其中為自變量在的增量，為相應(yīng)的因變量的增量），若該極限存在，它就是所要講的導數(shù)。定義：設(shè)在點的某鄰域內(nèi)有定義，且當自變量在點有一增量（仍在該鄰域中）時，函數(shù)相應(yīng)地有增量，若增量比極限：即存在，就稱其值為在點的導數(shù)，記為，或。即等等，這時，也稱在點可導或有導數(shù)，導數(shù)存在。注 1：導數(shù)的常見形式還有：； 2：反映的是曲線在上的平均變化率，而是在點的變化率，它反映了函數(shù)隨而變化的快慢程度。 3：這里與中的與是一個整體記號，而不能視為分子或與分母，待到后面再討論。 4：若極

9、限即不存在，就稱在點不可導。特別地，若，也可稱在的導數(shù)為，因為此時在點的切線存在，它是垂直于軸的直線。若在開區(qū)間內(nèi)的每一點處均可導，就稱在內(nèi)可導，且對，均有一導數(shù)值，這時就構(gòu)造了一新的函數(shù)，稱之為在內(nèi)的導函數(shù)，記為，或，等。事實上， 或注 5：上兩式中，為內(nèi)的某一點，一旦選定，在極限過程中就為不變，而與是變量。但在導函數(shù)中，是變量。 6：在的導數(shù)就是導函數(shù)在點的值，不要認為是； 7：為方便起見，導函數(shù)就稱為導數(shù)，而是在點的導數(shù)?！纠?】 設(shè)，證明欲，那么。證明：因為所以?！纠?】 若在點可導，問：？解： 。反過來，亦證明：。三、求導數(shù)舉例【例3】 求函數(shù)（為常數(shù)）的導數(shù)。解：在中，不論取何值，

10、起其函數(shù)值總為，所以，對應(yīng)于自變量的增量，有，即。注：這里是指在任一點的導數(shù)均為0，即導函數(shù)為0。【例4】 求（為正整數(shù)）在點的導數(shù)。解：即，亦即，若將視為任一點，并用代換，即得注：更一般地，（為常數(shù)）的導數(shù)為，由此可見， , ?！纠?】 求在點的導數(shù)。解： ,即 同理：若視為任意值，并用代換，使得，即。注：同理可證：?！纠?】 求的導數(shù)。解：所以。注：特別地，。【例7】 求的導數(shù)。解：。注 1：等最后講到反函數(shù)求導時，可將作為的反函數(shù)來求導； 2：一般地說，求導有四步：一、給出；二、算出；三、求增量比；四、求極限。3、。【例8】 討論在處的導數(shù)。解：考慮，由§1.4例4知不存在，故

11、在點不可導。 然而，及，這就提出了一個單側(cè)導數(shù)的問題，一般地，若，即即 存在，就稱其值為在點的右（左）導數(shù)，并記為，即 。定理1：在點可導在點的左導數(shù)和右導數(shù)均存在，且相等，即。注1：例8的左導數(shù)為-1，右導數(shù)為1。因為，所以在點不可導； 2：例8也說明左可導又右可導，也不能保證可導； 3：左、右導數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導數(shù)； 4：若在內(nèi)可導，且在點右可導，在點左可導，即存在，就稱在上可導。四、 導數(shù)的幾何意義 由前面的討論知：函數(shù)在的導數(shù)就是該曲線在點處的切線斜率，即，或為切線的傾角。從而，得切線方程為。若，或切線方程為：。過切點，且與點切線垂直的直線稱為在點的法線。如果，法線的斜率為，此時，法線的方

12、程為：。 如果=0，法線方程為?！纠?】 求曲線在點處的切線與法線方程。解：由于，所以在處的切線方程為： 當時，法線方程為： 當時，法線方程為： 。五、 函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系定理2：如果函數(shù)在點可導，那么在該點必連續(xù)。證明：由條件知：是存在的，其中， 由§1、5定理1(i) （為無窮?。?顯然當時，有，所以由§1、9定義1，即得函數(shù)在點連續(xù)，證畢。注 1：本定理的逆定理不成立，即連續(xù)未必可導。 反例：在點連續(xù)，但不可導?！纠?0】 求常數(shù)使得在點可導。解：若使在點可導，必使之連續(xù)，故。 又若使在點可導，必使之左右導數(shù)存在，且相等，由函數(shù)知，左右導數(shù)是存在的，且 所

13、以若有，則，此時在點可導，所以所求常數(shù)為。§2.2 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則一、內(nèi)容要點1 函數(shù)的線性組合、積與商的求導法則；2 反函數(shù)的導數(shù)1 復合函數(shù)的求導法則；2 小結(jié)基本求導法則與導婁公式：1） 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式；2） 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則；3） 反函數(shù)的求導法則；4） 復合函數(shù)的求導法則。二、教學要求和注意點教學要求：1 掌握函數(shù)的線性組合、積與商的求導法則與復合函數(shù)的鏈式法則。教學注意點：1 牢記 arcsin x，arccos x，arctan x，arccot x，sinh x，cosh x等15個初等函數(shù)的導數(shù)，必須做到“倒背如流”。2

14、在求導法則中，復合函數(shù)在鏈式求導法則是中心，應(yīng)用時一要弄清函數(shù)的復合關(guān)系，做到不遺漏，不重復；二是在每步求導時要弄清關(guān)于哪一個變量求導（即使這個變量不明顯出現(xiàn)），熟練掌握的關(guān)鍵是多做練習。主要內(nèi)容：定理 1：若函數(shù)和在點都可導，則在點也可導，且。證明： = 所以。注 1：本定理可推廣到有限個可導函數(shù)上去。 2：本定理的結(jié)論也常簡記為。定理2：若和在點可導，則在點可導，且有。證明： = = = =即 。注 1：若取為常數(shù)，則有：； 2：本定理可推廣到有限個可導函數(shù)的乘積上去，例如：等。定理3：若都在點可導，且，則在點也可導，且。證明： = = =即注1：本定理也可通過，及的求導公式來得；2：本公

15、式簡化為；3：以上定理13中的，若視為任意，并用代替，使得函數(shù)的和、差、積、商的求導函數(shù)公式?！纠?】 設(shè)，求。解： ?！纠?】 設(shè)，求。解：。【例3】反函數(shù)的導數(shù)定理1：設(shè)為的反函數(shù)，若在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴格單調(diào)，且，則在（即點有導數(shù)），且。證明： 所以 。注1：，因為在點附近連續(xù)，嚴格單調(diào)； 2：若視為任意，并用代替，使得或，其中均為整體記號，各代表不同的意義； 3：和的“”均表示求導，但意義不同； 4：定理1即說：反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)； 5：注意區(qū)別反函數(shù)的導數(shù)與商的導數(shù)公式?！纠?】 求的導數(shù)，解：由于，是的反函數(shù)，由定理1得：。注1：同理可證：； 2：?！纠?】 求的導

16、數(shù)。解：利用指數(shù)函數(shù)的導數(shù)，自己做。二復合函數(shù)的求導公式復合函數(shù)的求導問題是最最常見的問題，對一復合函數(shù)往往有這二個問題：1.是否可導？2.即使可導，導數(shù)如何求？復合函數(shù)的求導公式解決的就是這個問題。定理2（復合函數(shù)求導法則）：如果在點可導，且在 點也可導，那么，以為外函數(shù)，以為內(nèi)函數(shù)，所復合的復合函數(shù)在點可導，且，或證明： = 所以。注 1：若視為任意，并用代替，便得導函數(shù)：，或 或。 2：與不同，前者是對變量求導，后者是對變量求導，注意區(qū)別。 3：注意區(qū)別復合函數(shù)的求導與函數(shù)乘積的求導。 4：復合函數(shù)求導可推廣到有限個函數(shù)復合的復合函數(shù)上去，如：等?！纠?】 求的導數(shù)。解：可看成與復合而成

17、， 。【例4】 求（為常數(shù)）的導數(shù)。解：是，復合而成的。所以。這就驗證了前面§2、1的例4。由此可見，初等函數(shù)的求導數(shù)必須熟悉(i)基本初等函數(shù)的求導；(ii)復合函數(shù)的分解；(iii)復合函數(shù)的求導公式；只有這樣才能做到準確。在解題時，若對復合函數(shù)的分解非常熟悉，可不必寫出中間變量，而直接寫出結(jié)果?！纠?】，求。解：?！纠?】，求。解： ?！纠?】，求。解： = =?！纠?】，求。解：?！纠?】， 即。同理，?！纠?0】，求。解：。同理： 。 初等函數(shù)的求導公式1、 常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導公式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （1

18、2）（13） （14）（15） （16）（17） （18）（19）（20）（21）（22）2、 函數(shù)的四則運算的求導法則：設(shè)，則(i) (ii)(iii) (iv)3、 復合函數(shù)的求導法則：設(shè)的導數(shù)為： 或 或 § 2.3 高階導數(shù)一、內(nèi)容要點1 高階導數(shù)的定義；2 一些特殊函數(shù)的高階導數(shù)公式；3 兩函數(shù)乘積高階導數(shù)的萊布尼茲公式。二、教學要求和注意點教學要求：1了解和會求高階導數(shù)；2知道萊布尼茲求導公式：教學注意點：要求學生記住高階導數(shù)是有用的。主要內(nèi)容：前面講過，若質(zhì)點的運動方程，則物體的運動速度為，或，而加速度是速度對時間的變化率，即是速度對時間的導數(shù)：或，由上可見，加速度是的

19、導函數(shù)的導數(shù)，這樣就產(chǎn)生了高階導數(shù)，一般地，先給出下列定義：定義：若函數(shù)的導函數(shù)在點可導，就稱在點的導數(shù)為函數(shù)在點處的二階導數(shù)，記為，即，此時，也稱函數(shù)在點處二階可導。注1：若在區(qū)間上的每一點都二次可導，則稱在區(qū)間上二次可導，并稱為在上的二階導函數(shù)，簡稱二階導數(shù)； 2：仿上定義，由二階導數(shù)可定義三階導數(shù)，由三階導數(shù)可定義四階導數(shù)，一般地，可由階導數(shù)定義階導數(shù)； 3：二階以上的導數(shù)稱為高階導數(shù)，高階導數(shù)與高階導函數(shù)分別記為：，或與或； 4：開始所述的加速度就是對的二階導數(shù)，依上記法，可記或； 5：未必任何函數(shù)所有高階都存在； 6：由定義不難知道，對，其導數(shù)（也稱為一階導數(shù)）的導數(shù)為二階導數(shù)，二階

20、導數(shù)的導數(shù)為三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)為四階導數(shù)，一般地，階導數(shù)的導數(shù)為階導數(shù)，否則，因此，求高階導數(shù)是一個逐次向上求導的過程，無須其它新方法，只用前面的求導方法就可以了?！纠?】，求。解：?！纠?】，求各階導數(shù)。解：，顯然易見，對任何，有， 即?！纠?】，求各階導數(shù)。解： 一般地，有，即 。 同樣可求得 ?！纠?】，求各階導數(shù)。解：， 一般地，有 即 。【例5】，為任意常數(shù)，求各階導數(shù)。解：，一般地， 即 。(i) 當為正整數(shù)時， a)時，；時，；時，；(ii)當為正整數(shù)時，必存在一自然數(shù)，使得當，在處不存在。如：然而，在處是無意義，即說明在處無導數(shù)，或在處不存在?！纠?】，求。解： ，。注：

21、高階導數(shù)有如下運算法則：(1)，(2)， +。其中。 Leibinz公式【例7】上例中，求。解： =?！纠?】驗證滿足關(guān)系式：（其中為任意常數(shù)）。解：所以?！纠?】驗證滿足關(guān)系式：。解：又所以。§2.4 隱函數(shù)的導數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)一、內(nèi)容要點 1由一般方程F（x,y）=0確定的隱函數(shù)的導數(shù)：方程兩端關(guān)于x求導并解出。3 由參數(shù)方程 確定的隱函數(shù)的導數(shù)：=。4 相關(guān)變化率：由變量x(t)與y(t)滿足的關(guān)系式導出兩個變化率與之間的關(guān)系，從而由其中的一個變化率求得另一個變化率。二、教學要求和注意點教學要求：1 會求由一般方程與參數(shù)方程所確定的隱函數(shù)的一階、二階導數(shù)。2 根

22、據(jù)實際問題，會建立兩個相依變量之間的關(guān)系式，進而解決相關(guān)變化率問題。教學注意點：要了解隱函數(shù)的導數(shù)與顯函數(shù)的導數(shù)在形式上的不同：顯函數(shù)的導數(shù)一般是自變量x的表達式；由一般方程F(x,y)=0確定的隱函數(shù)的導數(shù)中通常既含數(shù)則通常是參數(shù)t的表達式，對求這兩類函數(shù)的二階導數(shù)尤其需要學生加強練習，這是很多學生常常出錯的地方。主要內(nèi)容：一、隱函數(shù)的導數(shù)以前，我們所接觸的函數(shù)，其因變量大多是由其自變量的某個算式來表示的，比如：等等，象這樣一類的函數(shù)稱為顯函數(shù)。但在實際問題中，函數(shù)并不全是如此，設(shè)是定義在區(qū)域上的二元函數(shù)，若存在一個區(qū)域，對于中的每一個的值，恒有區(qū)間上唯一的一個值，使之與一起滿足方程：（1）

23、就稱方程（1）確定了一個定義域為，值域含于中的函數(shù)，這個函數(shù)就稱為由方程（1）所確定的隱函數(shù)，若將它記為，則有：在上，?！纠?】確定了隱函數(shù)：?！纠?】能確定出定義在上的函數(shù)值不小于0的隱函數(shù)，也能確定出定義在上的函數(shù)值不大于0的隱函數(shù)。上面求的過程是將一個隱函數(shù)轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，也稱為隱函數(shù)的顯化。注 1：在不產(chǎn)生誤解的情況下，其取值范圍可不必一一指明； 2：并不是任一方程（1）都能確定出隱函數(shù)，比如：，不可能找到，使得； 3：即使方程（1）能確定一個隱函數(shù)，但未必能象上二例一樣從方程中解出，如：，我們可證明它確實能確定一個隱函數(shù)，但無法表示成的形式，即不能顯化。實際問題中，有時需要計算隱函數(shù)的

24、導數(shù)，如果隱函數(shù)可顯化，則求導沒什么問題，同前一樣，若隱函數(shù)不能顯化，我們就直接從（1）算出其隱函數(shù)的導數(shù)。（以后我們還將介紹更一般的方法）?！纠?】，求。解：在方程的兩邊同時對求導，得。例2求圓在時的切線。解：因為可確定兩個隱函數(shù)，和在x=時，確定了周圍上的二個點A(，)和B（，）。欲求和 ,在方程兩邊求導，得：所以 所以所求切線為： 和例3 求笛卡兒（Descartes）葉形線：所確定的隱函數(shù)的一階與二階導數(shù)。解：在方程兩邊對x求導（*）對（*）繼續(xù)求導：例4 ，求。解： 一般地，設(shè)，求 先對兩邊求對數(shù)： ，這就是一個隱函數(shù)， 在兩邊對x求導數(shù)：令例5 求的導數(shù)。二由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的

25、導數(shù)在解析幾何里，曲線?？捎脜?shù)來表示：一般講，這個參數(shù)方程確定了y是x的函數(shù)，如果 具有連續(xù)的單調(diào)的反函數(shù)，那么所確定的函數(shù)就是與所復合的函數(shù)。若y 可表示成x的某個算式，這時求y對 x的導數(shù)較容易，但一般地，不容易求，因此，我們尋找一種直接從參數(shù)方程來求導的方法。由，兩邊求導，得：這就是直接從參數(shù)方程求的公式，由此還有求二階導數(shù)，方法是在：兩邊再對x 求導：例6設(shè) ，求。 解： 所以。例7 設(shè) 求與。解：。三相關(guān)變化率（略）§2.5函數(shù)的微分一、內(nèi)容要點 1函數(shù)在一點處可微及其微分的定義：若自變量x在x0處取得增量后，函數(shù)增量可表示為：（其中A與有關(guān)而與無關(guān)），則稱在點處可微，稱

26、為在點處的微分，記作。2在處可微在處可導，且或3微分的運算法則：微分形式的不變性：若，則4微分的意義：表示曲線在點的近旁可用該點處的切線近似代替，即“以直代曲?！?微分的應(yīng)用：用微分進行近似計算和估計誤差。二、教學要求和注意點教學要求：1 理解函數(shù)微分的定義、可微的條件并了解微分的意義。2 掌握微分基礎(chǔ)公式以及微分運算法則。3 會用一次函數(shù)近似表示初等函數(shù)并知道絕對誤差與相對誤差的概念。教學注意點：1要抓住函數(shù)可微的定義若在處給出增量后，函數(shù)增量可表示為（A與x0有關(guān)而與無關(guān)），也就是說，函數(shù)的增量與自變量增量的線性函數(shù)相差的只是的高階無窮??；線性函數(shù)就叫函數(shù)（在處）的微分，把握了這點，微分的

27、意義和應(yīng)用就容易理解了。2要熟練掌握微分的運算法則（包括微分形式的不變性），因為微分的運算法則在以后的章節(jié)如“不定積分”、“定積分”及“微分方程”中都將用到。主要內(nèi)容：一 微分的定義：先觀察一個具體的問題，設(shè)一邊長為x的正方形，它的面積為A是的函數(shù)，若邊長增加，相應(yīng)地正方形的面積得到增量：。它是有兩部分組成，第一部分是的線形函數(shù)，第二部分是的高階無窮小，由此可見，當很小時，影響正方形面積增量的主要是：，而可忽略不計，因而用近似代替，其誤差是的高階無窮小，即以為邊的小正方形的面積。一般地，若為定義在某區(qū)間上的函數(shù)，為該區(qū)間內(nèi)的一點，當給自變量以一個增量時，函數(shù)得到一個增量：。定義：若函數(shù)在的增量

28、可表示為的線形函數(shù)(A為不依賴的常數(shù))與較高階的無窮小量兩部分之和：.(1)就稱函數(shù)在點可微，并稱為在點的相應(yīng)于自變量增量的微分，記為： 或，而。定理：函數(shù)在點可微（微分為）的充要條件是函數(shù)在可導（導數(shù)為）。證：在可微 在的增量可寫成所以在點可導，且.在可導，其中， ，又，所以，所以， 所以在點可微。由此可見，一元函數(shù)可微性與可導性是互相等價的。若在區(qū)間I上的每一點都可微，就稱是I上的可微函數(shù)，記在I上的微分為，顯然，它不僅依賴，也依賴x.例1求在處的微分，并求此時的微分. 解：（1）（2）例2求的微分. 解： 注：（1）上例說明自變量的增量就是函數(shù)的微分，通常稱為自變量的微分，記為。從此，的

29、微分又可記為.（2）（2）說明函數(shù)的微分等于函數(shù)的導數(shù)與自變量微分的乘積。若在（2）式兩邊同時除以，得.（3）（3）說明函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量微分之商。因此，導數(shù)亦稱微商。以后導數(shù)的記號是作為一個整體來看的，現(xiàn)在此記號就可看成是分子為，分母為的分式。二 基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則。.基本初等函數(shù)的微分公式：由（2）知：要求微分知道其導數(shù)就行了。因此，由基本初等函數(shù)導數(shù)公式立即就能得到基本初等函數(shù)的微分公式。.微分運算法則：另外，也立即能得到微分運算法則。復合函數(shù)的微分法則：設(shè)，則復合函數(shù)的微分為：，又，另一方面，直接從求關(guān)于自變量的微分為，二者形式一樣，這說明不論是自變量還是中間變量，都有.這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。例3求的微分。解：例4 求 微分。解：或例5求的微分解： 例6在下列括號中填入適當?shù)?/p>