實驗2層次分析法

1、項目六 矩陣的特征值與特征向量實驗2 層次分析法實驗目的通過應用層次分析法解決一個實際問題,學習層次分析法的基本原理與方法;掌握用層次分析法建立數(shù)學模型的基本步驟;學會用Mathematica解決層次分析法中的數(shù)學問題.基本原理層次分析法是系統(tǒng)分析的重要工具之一,其基本思想是把問題層次化、數(shù)量化, 并用數(shù)學方法為分析、決策、預報或控制提供定量依據(jù). 它特別適用于難以完全量化, 又相互關聯(lián)、相互制約的眾多因素構成的復雜問題. 它把人的思維過程層次化、數(shù)量化,是系統(tǒng)分析的一中新型的數(shù)學方法.運用層次分析法建立數(shù)學模型, 一般可按如下四個基本步驟進行.1.建立層次結構首先對所面臨的問題要掌握足夠的信

2、息, 搞清楚問題的范圍、因素、各因素之間的相互關系,及所要解決問題的目標. 把問題條理化、層次化, 構造出一個有層次的結構模型. 在這個模型下,復雜問題被分解為元素的組成部分. 這些元素又按其屬性及關系形成若干層次.層次結構一般分三層:第一層為最高層, 它是分析問題的預定目標和結果, 也稱目標層;第二層為中間層, 它是為了實現(xiàn)目標所涉及的中間環(huán)節(jié), 如: 準則、子準則, 也稱準則層;第三層為最底層, 它包括了為實現(xiàn)目標可供選擇的各種措施、決策方案等, 也稱方案層.注:上述層次結構具有以下特點:(1) 從上到下順序地存在支配關系, 并用直線段表示;(2) 整個層次結構中層次數(shù)不受限制.2.構造判

3、斷矩陣構造判斷矩陣是建立層次分析模型的關鍵. 假定以上一層的某元素為準則,它所支配的下一層次的元素為,這個元素對上一層次的元素有影響,要確定它們在中的比重. 采用成對比較法. 即每次取兩個元素和, 用表示與對的影響之比, 全部比較的結果可用矩陣表示,即 稱矩陣為判斷矩陣.根據(jù)上述定義,易見判斷矩陣的元素滿足下列性質:當時,我們稱判斷矩陣為正互反矩陣.怎樣確定判斷矩陣的元素的取值呢?當某層的元素對于上一層某元素的影響可直接定量表示時, 與對的影響之比可以直接確定, 的值也可直接確定. 但對于大多數(shù)社會經(jīng)濟問題, 特別是比較復雜的問題, 元素與對的重要性不容易直接獲得, 需要通過適當?shù)牧炕椒▉斫?/p>

4、決.通常取數(shù)字19及其倒數(shù)作為的取值范圍. 這是因為在進行定性的成對比較時, 通常采用5級制(表1),在每兩個等級之間各有一個中間狀態(tài), 共19個尺度, 另外心理學家認為進行成對比較的因素太多, 將超出人們的判斷比較能力, 降低精確. 實踐證明, 成對比較的尺度以為宜, 故的取值范圍是及其倒數(shù).表1 比較尺度的取值3.計算層次單排序權重并做一致性檢驗層次單排序是指同一層次各個元素對于上一層次中的某個元素的相對重要性進行排序.具體做法是: 根據(jù)同一層個元素對上一層某元素的判斷矩陣,求出它們對于元素的相對排序權重,記為,寫成向量形式, 稱其為的層次單排序權重向量, 其中表示第個元素對上一層中某元素

5、所占的比重, 從而得到層次單排序.層次單排序權重向量有幾種求解方法,常用的方法是利用判斷矩陣的特征值與特征向量來計算排序權重向量.關于正互反矩陣A,我們不加證明地給出下列結果.(1) 如果一個正互反矩陣滿足則稱矩陣具有一致性, 稱元素的成對比較是一致的; 并且稱為一致矩陣.(2) 階正互反矩陣的最大特征根, 當時, 是一致的.(3) 階正互反矩陣是一致矩陣的充分必要條件是最大特征值 .計算排序權重向量的方法和步驟設是階判斷矩陣的排序權重向量, 當為一致矩陣時, 根據(jù)階判斷矩陣構成的定義,有 (2.1)因而滿足 這里是矩陣的最大特征根, 是相應的特征向量; 當為一般的判斷矩陣時, 其中是的最大特

6、征值(也稱主特征根), 是相應的特征向量(也稱主特征向量). 經(jīng)歸一化(即)后, 可近似作為排序權重向量, 這種方法稱為特征根法.一致性檢驗在構造判斷矩陣時, 我們并沒有要求判斷矩陣具有一致性, 這是由客觀事物的復雜性與人的認識的多樣性所決定的. 特別是在規(guī)模大、因素多的情況下, 對于判斷矩陣的每個元素來說,不可能求出精確的, 但要求判斷矩陣大體上應該是一致的. 一個經(jīng)不起推敲的判斷矩陣有可能導致決策的失誤. 利用上述方法計算排序權重向量, 當判斷矩陣過于偏離一致性時, 其可靠性也有問題. 因此,需要對判斷矩陣的一致性進行檢驗, 檢驗可按如下步驟進行:(1) 計算一致性指標 (2.2)當即時,

7、 判斷矩陣是一致的. 當?shù)闹翟酱? 判斷矩陣A的不一致的程度就越嚴重.(2) 查找相應的平均隨機一致性指標表2給出了階正互反矩陣的平均隨機一致性指標, 其中數(shù)據(jù)采用了100150個隨機樣本矩陣計算得到. 表2矩陣階數(shù)1234567891011000.580.91.121.241.321.411.451.491.51(3) 計算一致性比例 (2.3)當時, 認為判斷矩陣的一致性是可以接受的; 否則應對判斷矩陣作適當修正.4. 計算層次總排序權重并做一致性檢驗計算出某層元素對其上一層中某元素的排序權重向量后, 還需要得到各層元素, 特別是最底層中各方案對于目標層的排序權重, 即層次總排序權重向量,

8、 再進行方案選擇. 層次總排序權重通過自上而下地將層次單排序的權重進行合成而得到.考慮3個層次的決策問題: 第一層只有1個元素, 第二層有個元素, 第三層有個元素.設第二層對第一層的層次單排序的權重向量為 第三層對第二層的層次單排序的權重向量為 以為列向量構成矩陣: (2.4)則第三層對第一層的層次總排序權重向量為 (2.5)一般地, 若層次模型共有層, 則第層對第一層的總排序權重向量為 (2.6)其中是以第層對第層的排序權向量為列向量組成的矩陣,是第層對第一層的總排序權重向量. 按照上述遞推公式, 可得到最下層(第層)對第一層的總排序權重向量為 (2.7)對層次總排序權重向量也要進行一致性檢

9、驗. 具體方法是從最高層到最低層逐層進行檢驗.如果所考慮的層次分析模型共有層. 設第()層的一致性指標與隨機一致性指標分別為(是第層元素的數(shù)目)與, 令 (2.8) (2.9)則第l層對第一層的總排序權向量的一致性比率為 (2.10)其中為由(2.3)式計算的第二層對第一層的排序權重向量的一致性比率.當最下層對第一層的總排序權重向量的一致性比率時, 就認為整個層次結構的比較判斷可通過一致性檢驗.應用舉例問題 在選購電腦時, 人們希望花最少的錢買到最理想的電腦. 試通過層次分析法建立數(shù)學模型,并以此確定欲選購的電腦.1. 建立選購電腦的層次結構模型圖2-2該層次結構模型共有三層:目標層(用符號表

10、示最終的選擇目標); 準則層(分別用符號表示“性能”、“價格”、“質量”、“外觀”、“售后服務”五個判斷準則); 方案層(分別用符號表示品牌1, 品牌2, 品牌3三種選擇方案).2.構造成對比較判斷矩陣(1) 建立準則層對目標層的成對比較判斷矩陣根據(jù)表1的定量化尺度, 從建模者的個人觀點出發(fā), 設準則層對目標層的成對比較判斷矩陣為 (2.11)(2) 建立方案層對準則層的成對比較判斷矩陣3.計算層次單排序權重向量并做一致性檢驗先利用Mathematica計算矩陣A的最大特征值及特征值所對應的特征向量.輸入<<MiscellaneousRealOnly.m(*調用只求實數(shù)運算的軟件包

11、*)A=1.0,5,3,9,3,1/5,1,1/2,2,1/2,1/3,2,1,3,1,1/9,1/2,1/3,1,1/3,1/3,2,1,3,1;(*以小數(shù)形式1.0輸入進行近似計算, 可避免精確解太長、太復雜*)T=EigensystemA/Chop(*輸入/Chop, 把與零非常接近的數(shù)換成零*)則輸出5.00974,Nonreal,Nonreal,0,0,0.88126,0.167913,0.304926,0.0960557,0.304926,0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal,0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonrea

12、l,Nonreal,-0.993398,0,0.0673976,0.0662265,0.0650555,-0.65676,0,0.57431,0.043784,-0.486742(輸出中的Nonreal表示復數(shù))從中得到A的最大特征值及其對應的特征向量輸入Clearx;x=T2,1;ww2=x/ApplyPlus,x則得到歸一化后的特征向量 計算一致性指標,其中 故查表得到相應的隨機一致性指標從而得到一致性比率因 通過了一致性檢驗,即認為的一致性程度在容許的范圍之內, 可以用歸一化后的特征向量作為排序權重向量.下面再求矩陣的最大特征值及特征值所對應的特征向量, 輸入B1=B3=1.0,1/3,

13、1/5,3,1,1/2,5,2,1;B2=TransposeB1;B4=1.0,5,3,1/5,1,1/2,1/3,2,1;B5=1.0,3,3,1/3,1,1,1/3,1,1;T1=EigensystemB1/ChopT2=EigensystemB2/ChopT3=EigensystemB3/ChopT4=EigensystemB4/ChopT5=EigensystemB5/Chop則輸出3.00369,Nonreal, Nonreal,0.163954,0.46286,0.871137, Nonreal, Nonreal,0.871137, Nonreal, Nonreal, 0.8711

14、37;3.00369,Nonreal, Nonreal,0.928119,0.328758,0.174679,0.928119, Nonreal, Nonreal,0.928119, Nonreal, Nonreal3.00369, Nonreal, Nonreal,0.163954,0.46286,0.871137, Nonreal, Nonreal,0.871137, Nonreal, Nonreal,0.8711373.00369, Nonreal, Nonreal,0.928119,0.174679,0.328758,0.928119, Nonreal, Nonreal,0.92811

15、9, Nonreal, Nonreal3,0,0,0.904534,0.301511,0.301511,-0.973329,0.162221,0.162221,-0.170182,-0.667851,0.724578從上面的輸出可以分別得到的最大特征值 以及上述特征值所對應的特征向量其中 為求出歸一化后的特征向量, 輸入Clearx1,x2,x3,x4,x5;x1=T12,1;w1=x1/ApplyPlus,x1x2=T22,1;w2=x2/ApplyPlus,x2x3=T32,1;w3=x3/ApplyPlus,x3x4=T42,1;w4=x4/ApplyPlus,x4x5=T52,1;w5

16、=x5/ApplyPlus,x5則輸出計算一致性指標,其中 輸入lamda=T11,1,T21,1,T31,1,T41,1,T51,1CI=(lamda-3)/(3-1)/Chop則輸出查表得到相應的隨機一致性指標 計算一致性比率,輸入 CR=CI/0.58則輸出 因 通過了一致性檢驗. 即認為的一致性程度在容許的范圍之內, 可以用歸一化后的特征向量作為其排序權重向量.4. 計算層次總排序權重向量并做一致性檢驗購買個人電腦問題的第三層對第二層的排序權重計算結果列于表3.表3123450.1094520.6483290.1094520.6483290.60.3089960.2296510.308

17、9960.122020.20.5815520.122020.5815520.2296510.23.003693.003693.003693.003693以矩陣表示第三層對第二層的排序權重計算結果為 即是第三層對第二層的權重向量為列向量組成的矩陣. 最下層(第三層)對最上層(第一層)的總排序權向量為 為了計算上式, 輸入 W3=Transposew1,w2,w3,w4,w5;ww3=W3.ww2則從輸出結果得到 為了對總排序權向量進行一致性檢驗, 計算 輸入 CI.ww2則從輸出結果得到 再計算,輸入 RI=Table0.58,j,5;RI.ww2則從輸出結果得到 最后計算,可得 因為 所以總排序權重向量符合一致性要求的范圍.根據(jù)總排序權重向量的分量取值, 品牌3的電腦是建模者對這三種品牌機的首選.實驗報告1.根據(jù)你的設想購置一臺計算機, 需考慮什么樣的判斷準則? 利用層次分析法及數(shù)學軟件做出最佳的決策.2.根據(jù)你的經(jīng)歷設想如何報考大學, 需要什么樣的判斷準則? 利用層次分析法及數(shù)學軟件做出最佳的決策.3.假期到了, 某學生打算做一次旅游, 有四個地點可供選擇, 假定他要考慮5個因素: 費用、景色、居住條件、飲食以及旅游條件. 由于該學生沒有固定收入, 他對費用最為看重, 其次是旅游點的景色, 至于旅游條件、飲