實驗班課后鞏固特殊的平行四邊形矩形菱形正方形

1、特殊的平行四邊形【本講主要內(nèi)容】特殊平行四邊形：矩形、菱形、正方形的概念、性質(zhì)和判定【知識掌握】【知識點精析】平行四邊形與各種特殊的平行四邊形之間的聯(lián)系和區(qū)別，是本章的難點，因為各種特殊平行四邊形圖形交錯，概念容易混淆，常會出現(xiàn)“張冠李戴”的現(xiàn)象，也會出現(xiàn)用錯、多用或少用條件的錯誤.突破這一難點的關(guān)鍵是學(xué)好概念，分清這些特殊平行四邊形和一般平行四邊形之間及特殊平行四邊形之間的從屬關(guān)系. 1. 學(xué)概念：抓“限制”，畫樹圖課本上，矩形、菱形、正方形都是在平行四邊形的前提下定義的，也就是說，對平行四邊形增加不同的限制條件、就分別產(chǎn)生了矩形、菱形和正方形的概念.下面我們把對平行四邊形的限制，畫成簡明的

2、“樹圖”（形狀象樹枝分杈那樣的圖），把矩形、菱形的定義、性質(zhì)和判定條件都綜合在樹圖上（而把矩形、菱形的定義、性質(zhì)、判定條件綜合起來，就得到正方形的定義、性質(zhì)和判定條件），一目了然.2. 學(xué)性質(zhì)：抓“特性”，識共性由于矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四邊形，所以它們具有平行四邊形的一切性質(zhì)（即共性），除此之外，還具有自己的特性.矩形的特性菱形的特性由于正方形是特殊的矩形和特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的一切性質(zhì)：正方形的特性這里提醒同學(xué)們注意：學(xué)習(xí)矩形、菱形和正方形的性質(zhì)時，要抓住“特性”，否則，就無法應(yīng)用“特性”去解決矩形、菱形和正方形的問題，但也不要忽視了它們是平行四邊形，仍具有一般平行四

3、邊形的性質(zhì)（即共性），忘了“共性”，它們的性質(zhì)也就不全了，如菱形的對角線性質(zhì)，應(yīng)是“特性+共性”；“對角線互相垂直平分，并且每一條對角平分一組對角”；如正方形的對角線的性質(zhì)，由“特性+共性”，就得到：“對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角”.在解題時，也要強(qiáng)調(diào)“共性”，否則容易造成思維障礙。 3. 學(xué)判定：抓“起點”，湊條件矩形、菱形、正方形最基本的判定方法是它們各自的定義，其它的判定方法都是在定義的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的.因為矩形、菱形、正方形，作為特殊的平行四邊形，它們可以在平行四邊形的前提下定義，同時，矩形、菱形、正方形，也可以作為特殊的四邊形，在四邊形的前提下定義，不過，要把

4、平行四邊形的條件“溶化”進(jìn)去.所以，矩形、菱形的判定方法由于“起點”不同可以分成兩類：一類的“起點”是平行四邊形，另一類的“起點”是四邊形，而正方形的“起點”有四個矩形、菱形、平行四邊形和四邊形.在應(yīng)用判定方法時切勿搞錯了“起點”，而“起點”不同，判定所需的條件也不同.（1）矩形的判定方法：條件結(jié)論有一個角是直角的平行四邊形（是）矩形對角線相等有三個角是直角的四邊形（2）菱形的判定方法：條件結(jié)論有一組鄰邊相等的平行四邊形（是）菱形對角線互相垂直四條邊都相等的四邊形對角線互相垂直平分（3）正方形的判定方法：條件結(jié)論有一組鄰邊相等的矩形（是）正方形對角線互相垂直有一個角是直角的菱形對角線相等有一個

5、角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形對角線相等，且互相垂直四條邊都相等，且四個角都相等的四邊形對角線相等且互相垂直平分矩形、菱形、正方形的“掌中寶典”矩形菱形正方形定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形性質(zhì)定理四個角都是直角；對角線相等；矩形是軸對稱圖形.四條邊都相等；對角線互相垂直平分；每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對稱圖形.四條邊都相等；四個角都相等；對角線相等；對角線互相垂直平分；每一條對角線平分一組對角；正方形是軸對稱圖形.判定定理（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對角線相等的

6、平行四邊形是矩形；（3）有三個角是直角的四邊形是矩形.（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四條邊都相等的四邊形是菱形；（4）對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（2）對角線互相垂直的矩形是正方形；（3）有一個角是直角的菱形是正方形；（4）對角線相等的菱形是正方形.判定定理的表述句型：具有什么特殊性質(zhì)的某大類圖形，是這類圖形.典例分類剖析（矩形）如圖所示，延長矩形的邊CB至E，使CECA，F(xiàn)是AE的中點，求證：BFFD. 分析：由ABE90°，F(xiàn)為AE中點，得BFAEAF，易證ADFBCF，有AFDBF

7、C，又CACE，所以CFAE，即可證得BFFD. 證明：因為四邊形ABCD是矩形，所以DABABC90°，ADBC，因為F是AE的中點，所以BFAEAF，所以BAFABF，所以DAFCBF. 在ADF和BCF中，ADBC，DAFCBF，AFBF. 所以ADFBCF，所以AFDCFB，又CACE，AFBF，所以CFAE，所以AFDDFC90°，CFBDFC90°，所以BFFD. 評析：已知條件中有直角三角形斜邊中點，要考慮運用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半構(gòu)成等腰三角形求解或證明. （菱形）例. 已知菱形的周長為40cm，兩條對角線之比為34，求菱形的面積分析：如圖

8、所示，由菱形的性質(zhì)可得OAB是直角三角形，它的兩條直角邊之比等于菱形的兩條對角線之比，再由勾股定理列方程求解解：因為菱形ABCD的周長是40cm，所以AB10cm因為OAAC，OBBD，ACBD43，所以O(shè)AOB43設(shè)OA4x，OB3x，由勾股定理，得（4x）2（3x）2102，解得x2那么OA8，OB6所以AC16，BD12， S菱形ABCDAC·BD×16×1296cm2評析：由四邊形的兩條對角線和一邊組成的三角形（如圖中OAB）是我們經(jīng)常考查的對象特殊的四邊形對應(yīng)特殊的三角形矩形、菱形、正方形對應(yīng)的三角形分別是等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形掌握這一點

9、，對于解決四邊形的問題是大有益處的（正方形）例. 如圖所示，正方形ABCD，對角線AC、BD相交于點O，菱形AEFC，EHAC，垂足為H，求證：EHFC. 分析：要證EHFC，EH在矩形OBEH中，得EHOBBD，而FC是菱形AEFC的邊，CFACBD，所以EHFC，問題的關(guān)鍵是要證四邊形OBEH是矩形. 證明：由正方形ABCD得ACBD，ACBD，BOC90°. 又因為EHAC，所以EHOB. 又因為四邊形AEFC是菱形，得ACCF，ACEF，所以O(shè)HBE. 因此四邊形OBEH是矩形，因此EHOBBDACFC. 評析：綜合考查了正方形、菱形的性質(zhì)和矩形的判定方法. 【解題方法指導(dǎo)】

10、 例1. 已知：ABC中，AB=AC，M為BC的中點，MGAB，MDAC，GFAC，DEAB，垂足分別為G、D、F、E，GF、DE相交于H.試判斷四邊形HGMD的形狀，并證明你的結(jié)論. 解：如圖所示，MGAB，DEABMG/DE 同理MD/GF 四邊形HGMD為平行四邊形又AB=AC，M為BC的中點， B=C，BM=CM MG=MD 四邊形HGMD是菱形. 例2. 在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點.求證：EFGH. 證明：如圖所示，連結(jié)EG、GF、FH、HE.在ABD中，E、G分別為AD、BD的中點，EG/AB，（三角形中位線定理）同理HF/AB

11、， EG/HF，EG=HF 四邊形EGFH是平行四邊形. EG=GF，平行四邊形EGFH是菱形. EFGH（菱形的對角線互相垂直）.注意：畫圖時，不要把一般四邊形ABCD畫成特殊四邊形.例3. 已知兩邊長為a的正方形ABCD、OKPQ，O為正方形ABCD的中心.求證：不論OKPQ在什么位置，兩正方形重疊部分為定值.分析：既然要證明重疊部分面積與OKPQ位置無關(guān)，可將OKPQ繞O點旋轉(zhuǎn)至特殊位置，求出定值后再證明其面積與在一般位置時面積相等即可.證明：將正方形OKPQ繞O點旋轉(zhuǎn)至圖中正方形OMSH位置，正方形OMSH與正方形ABCD重疊部分為OBC，SOBC=，又OBE=OCF，BOE=90&#

12、176;EOC=COF，OB=OC，即正方形OKPQ與正方形ABCD重疊部分面積為.點評：本例是從事物的聯(lián)系、變化中探索不變量，找到解決問題的關(guān)鍵，使問題迎刃而解，基本思路是“一般問題特殊化探索解法解決問題”.【考點突破】【考點指要】特殊平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定在中考說明中是C級知識點，它常與平行四邊形、梯形、全等三角形綜合在一起以選擇題、填空題、解答題和論證題等題型出現(xiàn)在中考題中，大約占有48分左右，近幾年，這部分的考題從以往的論證題轉(zhuǎn)向動手操作、發(fā)現(xiàn)、猜想和探究的開放題.【典型例題分析】 例1. （2006年海南省中考題）如圖所示，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點（點G與B、

13、C不重合），AEDG于E，CF/AE交DG于F，（1）在圖中找出一對全等三角形，并加以證明；（2）求證：AE=FC+EF. （1）證明：四邊形ABCD是正方形 AD=DC，ADC=90°又AEDG，CF/AE AED=DFC=90°EAD+ADE=FDC+ADE=90° EAD=FDC （2） DF=DE+EF AE=FC+EF 例2. （2006年山東省青島市中考題）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG/DB交CB的延長線于G. （1）求證：；（2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明

14、你的結(jié)論.（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形， 1=C，AD=CB，AB=CD點E、F分別是AB、CD的中點，（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，四邊形AGBD是矩形.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AD/BCAG/BD 四邊形AGBD是平行四邊形四邊形BEDF是菱形 DE=BEAE=BE AE=BE=DE 1=2，3=41+2+3+4=180° 22+23=180° 2+3=90°即ADB=90° 四邊形AGBD是矩形. 例3. （2006年貴州省畢節(jié)地區(qū)中考題）如圖所示，四邊形OABC與ODEF均為正方形，CF交OA于P，交DA于Q.（1）求證：A

15、D=CF. （2）AD與CF垂直嗎？說說你的理由.（3）當(dāng)正方形ODEF繞O點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，（1），（2）的結(jié)論是否有變化（不需說明理由）.（1）證明：四邊形OABC與ODEF均為正方形AO=CO，DO=FO，AOC=DOF=90°DOF+FOA=AOC+FOA即：AOD=COF AD=CF（2）ADCF，理由為： OCF=OADAPQ+OAD=OCF+CPO=90° AQP=90° 即：ADCF（3）當(dāng)正方形ODEF繞O點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，（1）（2）的結(jié)論不會變化.【綜合測試】一、選擇題： 1. 菱形的兩條對角線長分別為12和16，則其周長為（ ）A. 20B

16、. 25C. 40D. 60 2. 順次連接矩形四邊中點所成的四邊形是（ ）A. 菱形B. 正方形C. 矩形D. 等腰梯形 3. 已知正方形的邊長為2a，則它的對角線長是（ ）A. 2aB. C. D. 4. 能夠判定一個四邊形是矩形的條件是（ ）A. 對角線相等B. 對角線互相垂直C. 對角線相等且互相平分D. 對角線互相垂直平分 5. 一個四邊形的對角線互相垂直，順次連結(jié)它各邊中點所得的四邊形是（ ）A. 平行四邊形B. 菱形C. 矩形D. 正方形二、填空題： 1. 已知矩形的面積為8cm，一邊長為2cm，則矩形的對角線長為_. 2. 若一個正方形的對角線的長為2，則它的面積是_. 3.

17、菱形兩條對角線之比為3：4，周長為20，則面積是_. 4. 菱形是軸對稱圖形，它的對稱軸有_條. 5. 兩條對角線_的平行四邊形是矩形.三、判斷題（正確的在括號內(nèi)打“”，錯誤的在括號內(nèi)打“×”）（1）一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形.（ ）（2）兩條對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形.（ ）（3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.（ ）（4）兩條對角線互相垂直的矩形是正方形.（ ）（5）等邊三角形是中心對稱圖形.（ ）四、（2006年朝陽區(qū)中考模擬題）已知：如圖，正方形ABCD和正方形AEFG.請你在圖中已標(biāo)明字母的點中，連結(jié)出兩條新的相等線段，并證明你的結(jié)論.（

18、1）連結(jié)_，則_=_；（2）證明：五、（2006年南寧市中考題）將圖（1）中的矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把ABC沿著AD方向平移，得到圖（2）中的，除ADC與全等外，你還可以指出哪幾對全等的三角形（不能添加輔助線和字母）？請選擇其中一對加以證明.六、已知：如圖所示，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于O，AC上有一點E，過點A作AGEB于G，AG交BD于F.（1）求證：OE=OF；（2）若點E在AC延長線上，AGEB，交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其它條件不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請給以證明；如果不成立，請說明理由.【綜合測試答案】一、選擇題：1. C2. A3. D4. C5. C二、填空題：1. cm2. 23. 244. 25. 相等三、判斷題：1. ×2. 3. 4. 5. ×四、（1）連結(jié)BE和DG，則BE=DG（2）證明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB