山東大學(xué)離散數(shù)學(xué)期末試題答案

1、 數(shù)學(xué)建模作業(yè) 姓名： 王士彬 學(xué)院： 計算機科學(xué)與技術(shù) 班級： 2014級計科2班 學(xué)號： 2014001300701.在區(qū)域x-2,2,y-2,3內(nèi)繪制函數(shù)z=exp(-x2-y2)曲面圖及等值線圖。解：曲面圖如下： x=-2:0.5:2; y=-2:0.5:3; X,Y=meshgrid(x,y); Z=exp(-X.2-Y.2); mesh(X,Y,Z) 等值線圖如下： x=-2:0.5:2; y=-2:0.5:3; X,Y=meshgrid(x,y); Z=exp(-X.2-Y.2); mesh(X,Y,Z) surf(X,Y,Z) surf(X,Y,Z) contour(X,Y,Z

2、) 2. 已知一組觀測數(shù)據(jù)，如表1所示. (1)試用差值方法繪制出x-2,4.9區(qū)間內(nèi)的光滑曲線，并比較各種差值算法的優(yōu)劣. (2)試用最小二乘多項式擬合的方法擬合表中的數(shù)據(jù)，選擇一個能較好擬合數(shù)據(jù)點的多項式的階次，給出相應(yīng)多項式的系數(shù)和偏差平方和. (3)若表中數(shù)據(jù)滿足正態(tài)分布函數(shù).試用最小二乘非線性擬合的方法求出分布參數(shù)值，并利用鎖求參數(shù)值繪制擬合曲線，觀察擬合效果. 解：(1)分別用最領(lǐng)近插值，分段線性插值（缺省值），分段三次樣條插值，保形分段三次插值方法繪制在x-2,4.9的光滑曲線，圖形如下： 樣條插值效果最好，其次線性插值，最近點插值效果最差，在這里效果好像不太明顯。最近點插值優(yōu)點

3、就是速度快，線性插值速度稍微慢一點，但效果好不少。所以線性插值是個不錯的折中方法。樣條插值，它的目的是試圖讓插值的曲線顯得更平滑，為了這個目的，它們不得不利用到周圍若干范圍內(nèi)的點，不過計算顯然要比前兩種大許多。MATLAB文件如下： x0=-2:0.3:4.9; y0=0.10289 0.11741 0.13158 0.14483 0.15656 0.16622 0.17332 0.17750 0.17853 .0.17635 0.17109 0.16302 0.15255 0.1402 0.12655 0.11219 0.09768 0.08353 .0.07015 0.05876 0.04

4、687 0.03729 0.02914 0.02236; cx=-2:0.3:4.9; y1=interp1(cx,y0,cx,nearest); y2=interp1(cx,y0,cx,linear); y3=interp1(cx,y0,cx,spline); y4=interp1(cx,y0,cx,cubic); subplot(2,2,1),plot(cx,y0,o,cx,y1,-r),title(Nearest Interpolant); subplot(2,2,2),plot(cx,y0,o,cx,y1,-k),title(Linear Interpolant); subplot(2

5、,2,3),plot(cx,y0,o,cx,y1,-b),title(Spline Interpolant); subplot(2,2,4),plot(cx,y0,o,cx,y1,-k),title(Cubic Interpolant); subplot(2,2,1),plot(cx,y0,o,cx,y1,-r),title(Nearest Interpolant);(2) ,從圖形可以看出曲線函數(shù)遵從冪函數(shù)的形式，設(shè)冪函數(shù)形式為：可化為即把非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，原線性函數(shù)形式為由此我們可以得出p(x)等價于lny;x等價于lnx;，我們可以先求出。求一個線性多項式使之在最小二乘準(zhǔn)則下擬合

6、這些觀測值，問題即化為求使E()=利用多元函數(shù)極值原理可知，若目標(biāo)函數(shù)E()的極小值存在，一定有，用MATLAB工具我們可以求得最后的結(jié)果。 log(x0); log(y0); x0=log(x0); y0=log(y0); n=length(x0); a=sum(x0); b=sum(y0); c=sum(x0.*y0); d=sum(x0.2); a0=(d*b-c*a)*(n*d-a2); a1=(n*c-a*b)/(n*d-a2); a0,a1a0 = -2.5891e+05 - 1.7515e+06ia1 = 0.1045 - 0.3558i即系數(shù)a0為 -2.5891e+05 -

7、1.7515e+06i，a1為0.1045 - 0.3558i其相應(yīng)多項式的系數(shù)和偏差平方和.我們可以求出E= -7.2019e+13 + 2.1767e+13i其MATLAB文件如下： Y=a1*x0+a0; e=Y-y0; E=sum(e.2)E = -7.2019e+13 + 2.1767e+13i即其相應(yīng)多項式的系數(shù)和偏差平方和.為 -7.2019e+13 + 2.1767e+13i(3)？3.將某物體放置在空氣中，在t=0時刻測得其溫度u0=150度，10min后測得溫度u1=87度，假設(shè)空氣的溫度為24度。試建立數(shù)學(xué)模型給出物體的溫度u與時間t的關(guān)系，并計算20min后物體的溫度。

8、 解：為了解決上述問題，我們首先需要了解有關(guān)熱力學(xué)的一些基本規(guī)律：比如：熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的；在一定的溫度范圍（其中包括了上述問題的溫度在內(nèi)），一個物體的溫度與這物體的溫度和其所在介質(zhì)的溫度的差值成正比例。這是已為實驗證明了的牛頓冷卻定律。設(shè)空氣的溫度為ua ,物體在時刻t的溫度為，則溫度的變化速度為。注意熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的，因而初始溫度大于空氣溫度，即（u0ua ），所以溫差u-ua恒正；又因為物體的溫度將隨時間而逐漸冷卻，故溫度變化速度恒負(fù)。因此，由牛頓冷卻定律得到.(1)這里的K0是比例常數(shù)。此（1）方程就是冷卻過程的數(shù)學(xué)模型。為了確定溫度u

9、與時間t的關(guān)系，我們需要從上面（1）的方程中解出u。又因為ua是常數(shù)，并且u-ua0,所以我們可以將上述式子改寫成 將此式積分可得到如下式子即u=ua+ce(-Kt)根據(jù)初始條件：t=0時，u=u0代入上式得c=u0-ua于是u=u0+(u0-ua)e(-Kt) 又根據(jù)條件，當(dāng)t=10時，u=u1代入上式得u1=ua+(u0-ua)e(-10K)(u0-ua)/(u1-ua)根據(jù)題意我們可知u0=150，u1=87,ua=24,代入得到K=0.069從而u=24+126e(-0.069t)這就是物體冷卻時溫度u隨著時間t的變化規(guī)律。用t=20代入得u=55.7度4.假設(shè)在某商場中，某種商品在t

10、時刻的價格為P(t)，若假定其變化率與商品的需求量D和供給量S之差成正比(比例系數(shù)為k),若其中均為正常數(shù)，若已知初始價格為Po,求任意時刻t時該商品的價格。解：一般情況下，某種商品的價格主要服從市場供求關(guān)系，由題意我們可知商品需求量D是價格P的單調(diào)遞減函數(shù)，商品供給量S是價格P的單調(diào)遞增函數(shù)，即-(1)其中均為常數(shù)，且b0,d0.當(dāng)需求量與供給量相等時，由(1)可得供求平衡時的價格Pe=，并稱Pe為均衡價格。 由題意得：其中比例系數(shù)k0，用來反應(yīng)價格的調(diào)整進(jìn)度。將(1)式代入方程可得其中常數(shù)=k(b+d)0，所以此方程的通解為P(t)=Pe+Ce(-t) 由于初始價格P(0)=P0代入上式，

11、得C=P0-Pe于是我們可以求出任意時刻價格P與時刻t之間的函數(shù)為：P(t)=Pe+(P0-Pe)(-t)， 并且我們可以得出，因為0知，時P(t)Pe，說明隨著時間的不斷推延，實際價格P(t)將逐漸趨近均衡價格Pe。 5.農(nóng)場種植計劃問題 某農(nóng)場根據(jù)土地的肥沃程度，把耕地分為I II III三等，相應(yīng)的耕地面積分別為100、300和200km2,計劃種植水稻、大豆和玉米.要求三種作物的最低收獲量分別為190、130和350噸(t).I、 II 、III等耕地種植三種作物的單產(chǎn)如表所示. 若三種作物的售價分別為水稻1.2元/kg,大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg.那么(1) 如何制訂

12、種植計劃，才能使總產(chǎn)量最大？(2) 如何制訂種植計劃，才能使總產(chǎn)值最大？ 解： (1):問題分析： 確定種植最佳土地分配，即每種等級耕地分別種植水稻、大豆、玉米的面積 模型建立： 1，決策變量：令x1,x2,x3分別為I II III三等耕地上種植的水稻面積，令x4,x5,x6分別為I II III三等耕地上種植的大豆面積，令x7,x8,x9分別為I II III三等耕地上種植的玉米面積。且令為xi（1=ic=11 9.5 9 8 6.8 6 14 12 10; A=-11 -9.5 -9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8 -6.8 -6 0 0 00 0 0 0 0 0 -14 -1

13、2 -10; b=-190;-130;-350; Aeq=1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1; beq=100;300;200; vlb=0;0;0;0;0;0;0;0;0; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.x = 17.2727 0.0000 0.0000 82.7273 300.0000 165.0000 0.0000 0.0000 35.0000fval = 4.2318e+03 即，模型的最優(yōu)解為(17.2727

14、0.0 0.0 82.7273 300.0 165.0 0.0 0.0 35.0)T,目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為4.231103 即：x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9值分別為17.2727 0.0 0.0 82.7273 300.0 165.0 0.0 0.0 35.0，此時才能使總產(chǎn)量最大。(2) 問題分析： 根據(jù)題(1),當(dāng)要求得產(chǎn)值最大時,目標(biāo)函數(shù)只需變成 Max =1.2(11x1+9.5x2+9x3)+1.5(8x4+6.8x5+6x6)+0.8(14x7+12x8+10x9) =13.2x1+11.4x2+10.8x3+12x4+10.2x5+9x6+11.2x7+9.6x8+8x9MATLAB求解，部分文件如下： c=13.2 11.4 10.8 12 10.2 9 11.2 9.6 8; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.x = 17.2727 0.0000 0.0000 0.0000 19.1176