中北大學(xué)關(guān)于插值方法的報(bào)告

1、關(guān)于數(shù)值分析中插值方法的報(bào)告學(xué) 院：機(jī)電工程學(xué)院姓 名： 學(xué) 號(hào)：2015年 12 月 22 日1應(yīng)用背景在離散數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上補(bǔ)插連續(xù)函數(shù)，使得這條連續(xù)曲線通過(guò)全部給定的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)。插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過(guò)函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點(diǎn)處的近似值。 早在6世紀(jì)，中國(guó)的劉焯已將等距二次插值用于天文計(jì)算。17世紀(jì)之后，牛頓、拉格朗日分別討論了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是數(shù)據(jù)處理和編制函數(shù)表的常用工具，又是數(shù)值積分、數(shù)值微分、非線性方程求根和微分方程數(shù)值解法的重要基礎(chǔ)，許多求解計(jì)算公式都是以插值為基礎(chǔ)導(dǎo)出的。 插值問(wèn)題的提法是：假定區(qū)間a，b上的實(shí)

2、值函數(shù)f（x）在該區(qū)間上 n1個(gè)互不相同點(diǎn)x0，x1xn 處的值是f（x0），f（xn），要求估算f（x）在a，b中某點(diǎn)的值。其做法是：在事先選定的一個(gè)由簡(jiǎn)單函數(shù)構(gòu)成的有n1個(gè)參數(shù)C0，C1，Cn的函數(shù)類(C0，C1，Cn)中求出滿足條件P（xi）f（xi）（i0，1， n）的函數(shù)P(x)，并以P(x)作為f(x)的估值。此處f（x）稱為被插值函數(shù)，x0，x1，xn稱為插值結(jié)(節(jié))點(diǎn)，(C0，C1，Cn)稱為插值函數(shù)類，上面等式稱為插值條件，（C0，Cn）中滿足上式的函數(shù)稱為插值函數(shù)，R（x） f（x）P（x）稱為插值余項(xiàng)。求解這類問(wèn)題，它有很多種插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值

3、和牛頓(Newton)插值為代表的多項(xiàng)式插值最有特點(diǎn)，常用的插值還有Hermit插值，分段插值和樣條插值。數(shù)值分析是高等學(xué)校理工科一門重要的基礎(chǔ)課程，主要研究數(shù)學(xué)方法的數(shù) 值求解。數(shù)值分析是各種計(jì)算性科學(xué)的聯(lián)系紐帶和共性基礎(chǔ)，是一門兼有基礎(chǔ)性、 應(yīng)用性和邊緣性的交叉學(xué)科，數(shù)值分析中插值法包括拉格朗日插值法、牛頓插值法、 埃爾米特插值法等。本文主要介紹了各種插值方法的計(jì)算分析和推導(dǎo)，通過(guò)簡(jiǎn)單的 例題進(jìn)行算法分析并編程得出計(jì)算結(jié)果。2多種插值方法的分析比較數(shù)值分析插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，它來(lái)自生產(chǎn)實(shí)踐。利用計(jì)算機(jī)解決工程問(wèn)題與常規(guī)手工計(jì)算的差異就在于它特別的計(jì)算方法.電 機(jī)設(shè)計(jì)中常常需要通過(guò)查

4、曲線、表格或通過(guò)作圖來(lái)確定某一參量，如查磁化曲線、査異步電動(dòng)機(jī)飽和系數(shù)曲線等.手工設(shè)計(jì)時(shí)，設(shè)計(jì)者是通過(guò)尋找坐標(biāo)的方法來(lái)實(shí)現(xiàn).用 計(jì)算機(jī)來(lái)完成上述工作時(shí)，采用數(shù)值插值法來(lái)完成。因此學(xué)好數(shù)值分析的插值法很重要。2. 1插值方法的定義插值法又稱“內(nèi)插法”，是利用函數(shù)f (x)在某區(qū)間中插入若干點(diǎn)的函數(shù)值，作出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些點(diǎn)上取已知值，在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f (x)的近似值，這種方法稱為插值法。如果這特定函數(shù)是多項(xiàng)式，就稱它為插值多項(xiàng)式。 3常用的幾種插值方法3. 1 Lagrange 插值3.1.1基本原理構(gòu)造n次多項(xiàng)式Pn (x)= yk lk (x)=y0l0 (x

5、)+y1l1 (x)+ynln (x)，這是不超過(guò)n次的多項(xiàng)式，其中基函數(shù)lk(x)=顯然lk (x)滿足lk (xi)=此時(shí) Pn(x)f(x),誤差Rn(x)=f(x)-Pn(x)= 其中(a,b)且依賴于x，=（x-x0）(x-x1)(x-xn)很顯然，當(dāng)n=1、插值節(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)xk,xk+1時(shí) P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)其中基函數(shù)lk(x)= lk+1(x)= 3.1.2優(yōu)缺點(diǎn)可對(duì)插值函數(shù)選擇多種不同的函數(shù)類型，由于代數(shù)多項(xiàng)式具有簡(jiǎn)單和一些良好的特性，故常選用代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)。利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日插值多項(xiàng)式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便，

6、但當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)Lk(x)(k=0,1,n)均要隨之變化，整個(gè)公式也將發(fā)生變化，這在實(shí)際計(jì)算中是很不方便的，為了克服這一缺點(diǎn)，提出了牛頓插值可以克服這一缺點(diǎn)。3. 2 Newton 插值3.2.1基本原理構(gòu)造n次多項(xiàng)式Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+f(x0,x1,x2,xn)(x-x0)(x-x1)(x-xn)稱為牛頓插值多項(xiàng)式，其中 (二個(gè)節(jié)點(diǎn)，一階差商) (三個(gè)節(jié)點(diǎn)，二階差商) (n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，n階差商)注意：由于插值多項(xiàng)式的唯一性，有時(shí)為了避免拉格朗日余項(xiàng)Rn(x)中n+1階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，用牛頓插值公式

7、Rn (x)=f(x)-Nn(x)=f(x,x0,xn)n+1(x),其中n+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)3.2.2優(yōu)缺點(diǎn)牛頓插值法具有承襲性和易變性的特點(diǎn)，當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只要再增加一項(xiàng)就可以了即 而拉格朗日插值若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)全部基函數(shù)都需要重新算過(guò)。牛頓插值法既適合于用來(lái)計(jì)算函數(shù)值，也適合于做理論推導(dǎo)，比如說(shuō)可用來(lái)推導(dǎo)微分方程的數(shù)值求解公式。 4數(shù)值實(shí)驗(yàn)4.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?.通過(guò)進(jìn)行不同類型的插值，比較各種插值的效果，明確各種插值的優(yōu)越性；2.通過(guò)比較不同次數(shù)的多項(xiàng)式擬合效果，了解多項(xiàng)式擬合的原理；3.利用matlab編程，學(xué)會(huì)matlab命令；4.掌握拉格朗日插值法；

8、5.掌握多項(xiàng)式擬合的特點(diǎn)和方法。4.2實(shí)驗(yàn)題目4.2.1插值法實(shí)驗(yàn)將區(qū)間-5,510等分，對(duì)下列函數(shù)分別計(jì)算插值節(jié)點(diǎn)的值，進(jìn)行不同類型的插值，作出插值函數(shù)的圖形并與的圖形進(jìn)行比較： (1) 做拉格朗日插值；(2) 做分段線性插值；(3) 做三次樣條插值.4.2.2擬合實(shí)驗(yàn)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)如下表所示：-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5-4.45-0.450.550.05-0.440.544.55分別對(duì)上述數(shù)據(jù)作三次多項(xiàng)式和五次多項(xiàng)式擬合，并求平方誤差，作出離散函數(shù)和擬合函數(shù)的圖形。4.2.3實(shí)驗(yàn)原理1.、插值法實(shí)驗(yàn) 2、 擬合實(shí)驗(yàn)4.3實(shí)驗(yàn)內(nèi)容4.3.1插值法實(shí)驗(yàn)A：實(shí)驗(yàn)步驟：打開(kāi)mat

9、lab軟件，新建一個(gè)名為chazhi.m的M文件，編寫(xiě)程序（見(jiàn)1.2實(shí)驗(yàn)程序），運(yùn)行程序，記錄結(jié)果。B：實(shí)驗(yàn)程序：x=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y1=1./(1+x.2);L=malagr(x,y1,xx);L1=interp1(x,y1,x,'linear'); S=maspline(x,y1,0.0148,-0.0148,xx);hold on;plot(x,y1,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k'); figurex=-5:1:5;

10、xx=-5:0.05:5;y2=atan(x);L=malagr(x,y2,xx);L1=interp1(x,y2,x,'linear'); S=maspline(x,y2,0.0385,0.0385,xx);hold on;plot(x,y2,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k'); figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y3=x.2./(1+x.4);L=malagr(x,y3,xx);L1=interp1(x,y3,x,'

11、linear'); S=maspline(x,y3,0.0159,-0.0159,xx);hold on;plot(x,y3,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');C：實(shí)驗(yàn)設(shè)備： matlab軟件。4.3.2擬合實(shí)驗(yàn)A：實(shí)驗(yàn)步驟：新建一個(gè)名為nihe.m的M文件，編寫(xiě)程序（見(jiàn)2.2實(shí)驗(yàn)源程序），運(yùn)行程序，記錄結(jié)果。B實(shí)驗(yàn)程序：x=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.

12、55;a1=mafit(x,y,3)x1=-1.5:0.05:1.5;y1=a1(4)+a1(3)*x1+a1(2)*x1.2+a1(1)*x1.3;hold onplot(x,y,'b*');plot(x1,y1,'r');p1=polyval(a1,x);s1=norm(y-p1) figurea2=mafit(x,y,5)x2=-1.5:0.05:1.5;y2=a2(6)+a2(5)*x2+a2(4)*x2.2+a2(3)*x2.3+a2(2)*x2.4+a2(1)*x2.5;hold onplot(x,y,'b*');plot(x2,y2

13、,'r');p2=polyval(a2,x);s2=norm(y-p2)C：實(shí)驗(yàn)設(shè)備： matlab軟件。4.4實(shí)驗(yàn)結(jié)果4.4.1插值法實(shí)驗(yàn)（1）（2）（3）4.4.2擬合實(shí)驗(yàn)（1）平方誤差：s1 =0.0136輸入程序得到：a1 =2.0000 -0.0014 -1.5007 0.0514s1 = 0.0136（2）平方誤差：s2 = 0.0069輸入程序得到：a2 = 0.0120 0.0048 1.9650 -0.0130 -1.4820 0.0545s2 = 0.006>>4.5實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析4.5.1插值法實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：（1） 由插值結(jié)果曲線圖可見(jiàn)，拉格朗日插值在節(jié)點(diǎn)附近誤差很小，但在兩端有振蕩現(xiàn)象；分段線性插值具有良好的收斂性，但在節(jié)點(diǎn)處不光滑；而三次樣條插值在直觀上與原函數(shù)曲線吻合得最好；（2）分析可知，均勻插值時(shí)（拉格朗日插值），