可交換矩陣的幾個充要條件及其性質

1、可交換矩陣的幾個充要條件及其性質在高等代數(shù)中,矩陣是一個重要的內容.由矩陣的理論可知,矩陣的乘法不同于數(shù)的乘法,矩陣的乘法不滿足交換律,即當矩有意義時,矩陣未必有意義,即使,都有意義時它們也不一定相等.但是當,滿足一定條件是,就有,此時也稱與是可交換的,可交換矩陣有許多良好的性質,本文主要研究矩陣可交換的幾個條件及其常見的性質.本文矩陣均指n階實方陣. §1 矩陣可交換成立的幾個充分條件定理1.1(1)設,至少有一個為零矩陣,則,可交換; (2)設,至少有一個為單位矩陣,則,可交換; (3)設,至少有一個為數(shù)量矩陣,則,可交換; (4)設,均為對角矩陣,則,可交換; (5)設,均為準

2、對角矩陣,則,可交換; (6)設是的伴隨矩陣,則與可交換; (7)設可逆,則與可交換; (8)設,則,可交換. 證 (1)對任意矩陣,均有,表示零距陣,所以,至少有一個為零矩陣時,可交換; (2)對任意矩陣,均有,表示單位矩陣，所以,至少有一個為單位矩陣時,可交換; (3)對任意矩陣,均有,k為任意實數(shù),則為數(shù)量矩陣,所以,至少有一個為數(shù)量矩陣時,可交換; (4),(5)顯然成立; (6),所以矩陣與其伴隨矩陣可交換; (7),所以矩陣與其逆矩陣可交換; (8)當時,均可逆,且互為逆矩陣,所以根據(7)可知,可交換. 定理1.2(1)設,其中,為非零實數(shù), 則,可交換, (2)設,其中為正整數(shù)

3、,為非零實數(shù),則,可交換. 證 (1)由可得,即,故依定理1.1(8)得,于是,所以; (2)由得,故依定理1.1(8)得,于是,所以可得. 定理1.3(1)設可逆,若或或,則,可交換; (2)設,均可逆,若對任意實數(shù),均有,則,可交換. 證 (1)若,由可逆得,從而,故; 若,同理可得,故; 若,則,故. (2)因,均可逆,故由得可逆,且,則兩邊取轉置可得.或由兩邊取逆可得. §2 矩陣可交換成立的幾個充要條件定理2.1下列均是,可交換的充要條件: (1); (2); (3); (4). 證 (1)因為,兩邊同時取伴隨矩陣可得; 因為,兩邊同時取伴隨矩陣可得; (2)因為,兩邊取轉

4、置可得; 因為,兩邊取轉置可得; (3)因為,所以; 同理由,可證,因為,且,所以; 同理由,可證; (4)因為,又由條件知,所以; 因為,所以; 定理2.2可逆矩陣,可交換的充要條件是. 證 因為,兩邊取逆可得; 因為,兩邊取逆可得; 定理2.3(1)設,均為(反)對稱矩陣,則,可交換的充要條件是為對稱矩陣; (2)設,有一個為對稱矩陣,另一個為反對稱矩陣,則,可交換的充要條件是為反對稱矩陣. 證 (1)設,均為對稱矩陣,由定理2.1(2),因此為對稱矩陣; 若,均為反對稱矩陣,則,因此也為對稱矩陣. (2)若,中有一個為對稱矩陣,不妨設為對稱矩陣,則為反對稱矩陣,則因此為反對稱矩陣. 定理

5、2.4設,均為對稱正定矩陣,則,可交換的充要條件是為對稱正定矩陣. 證 充分性由定理2.3(1)可得,下面證明必要性. 因,為對稱正定矩陣,故有可逆矩陣,使,于是,所以為對稱正定矩陣,其特征值全為正數(shù).而與相似,從而的特征值也全為正數(shù),因此為對稱正定矩陣. §3 可交換矩陣的一些性質 定義3.1 (1)冪等矩陣:若為矩陣,且,則冪等矩陣. (2)冪零矩陣:若為矩陣,且,則為冪零距陣. (3)冪幺矩陣:若為矩陣,且,為單位矩陣,則為冪幺矩陣.性質3.1設,可交換,則有: (1); (2)(矩陣二項式定理). (3),其中都是正整數(shù); (4),其中是的多項式,即與的多項式可交換; 證 (

6、1)對用數(shù)學歸納法可證得.當時,明顯成立.假設當時,有下證當時結論也成立.故對一切正整數(shù),結論成立.(2)用數(shù)學歸納法當時,結論成立. 假設當時,有下面證當時結論也成立.由得,于是而. 所以. 故對一切正整數(shù),二項式定理成立. （3） 由可得, 同理可證,.(4)由(3)可證得.性質3.2設,可交換,(1)若,均為冪等矩陣,則,也為冪等矩陣; (2)若,均為冪零距陣,則,均為冪零距陣; (3)若,均為冪幺矩陣,則也為冪幺矩陣; 證 (1)由,及即可證得; (2)設,取,則,即為冪零距陣;令,則,所以為冪零距陣. (3)由,可證得; 性質3.3設,可交換,若,分別為階Hermite正定矩陣和非負

7、定矩陣,則為Hermite非負定矩陣; 證 因為,所以是Hermite矩陣. 又因為,所以存在階可逆Hermite矩陣使.于是則與具有相同的特征值.由知,故的特征值均為非負數(shù),從而的特征值均為非負數(shù).即. 性質3.4(1)與的特征多項式相等,即,從而與的特征值也相同(包括重數(shù)也一致). (2)多項式與相等,即. (1)與的特征多項式相等. (2)與的特征多項式相等. 證 因為,由性質3.4可知,所以. 同理可證. (1)與的特征多項式相等. (2)與的特征多項式相等. 證 (1)因為,.根據性質3.4知與的特征多項式相等,故與的特征多項式相等. 同理可證與的特征多項式相等. 性質3.5(1)矩

8、陣與的秩相等,即秩=秩.特別地,秩=秩. (2)與的特征矩陣的秩相等,即秩=秩.特別地, 秩=秩. 性質3.6若,中有一個是可逆的,則與相似. 證 不妨設可逆,由知,與相似. 性質3.7(1)與同為可逆矩陣或同為不可逆矩陣. (2). (3)與的跡相等,即. 性質3.8(1)不可能相似于. (2)對可逆矩陣,不可能有. 證 (1)因為,而(當時),由于相似矩陣的跡相等,所以不可能相似于非零矩陣. (2)若存在可逆矩陣,使則,于是,即與相似,從而這是不可能的. 性質3.9(1)設,同為(反)對稱矩陣,則是對稱矩陣,是反對稱矩陣. (2)設,有一個為對稱矩陣,另一個為反對稱矩陣,則是反對稱矩陣,是對稱矩陣. (1)設,同為實(反)對稱矩陣,則的特征值的實部為零.(2)設,有一為實對稱矩陣,另一個為實反對稱矩陣,則的特征值的實部為零. 證 (1)由性質3.9(1)知是實反對稱矩陣.因為實反對稱矩陣的特征值只能是零或純虛數(shù),所以的特征值的實部為零.同理可證(2).參考文獻1北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)(第三版)M.高等教育出版社，2003.2戴華.矩陣論M.北京:科學出版