地球橢球與橢球面計算理論

1、§6.1 地球橢球的基本幾何參數(shù)及其相互關系6.1.1地球橢球的基本幾何參數(shù)地球橢球：在控制測量中，用來代表地球的橢球，它是地球的數(shù)學模型。參考橢球：具有一定幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準面的地球橢球。地面上一切觀測元素都應歸算到參考橢球面上，并在這個面上進行計算。參考橢球面是大地測量計算的基準面，同時又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。地球橢球的幾何定義：是橢球中心，為旋轉(zhuǎn)軸，為長半軸，為短半軸。子午圈：包含旋轉(zhuǎn)軸的平面與橢球面相截所得的橢圓。緯圈：垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面與橢球面相截所得的圓，也叫平行圈。赤道：通過橢球中心的平行圈。 地球橢球的五個基本幾何參數(shù)： 橢圓的

2、長半軸橢圓的短半軸橢圓的扁率 橢圓的第一偏心率 橢圓的第二偏心率 其中、稱為長度元素；扁率反映了橢球體的扁平程度。偏心率和是子午橢圓的焦點離開中心的距離與橢圓半徑之比，它們也反映橢球體的扁平程度，偏心率愈大，橢球愈扁。兩個常用的輔助函數(shù)，W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)： 我國建立1954年北京坐標系應用的是克拉索夫斯基橢球；建立1980年國家大地坐標系應用的是1975年國際橢球；而全球定位系統(tǒng)(GPS)應用的是WGS-84系橢球參數(shù)。幾種常見的橢球體參數(shù)值克拉索夫斯基橢球體1975年國際橢球體WGS-84橢球體6 378 245.000 000 000 0（m）6 356 863.01

3、8 773 047 3（m）6 399 698.901 782 711 0（m）1298.30.006 693 421 622 9660.006 738 525 414 6836 378 140.000 000 000 0（m）6 356 755.288 157 528 7（m）6 399 596.651 988 010 5（m）1298.2570.006 694 384 999 5880.006 739 501 819 4736 378 137.000 000 000 0（m）6 356 752.314 2（m）6 399 593.625 8（m）1/298.257 223 5630.006

4、 694 379 901 30.006 739 496 742 276.1.2 地球橢球參數(shù)間的相互關系其他元素之間的關系式如下： 式中，W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)。§6.2 橢球面上的常用坐標系及其相互關系6.2.1大地坐標系點的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角，叫做點的大地經(jīng)度，由起始子午面起算，向東為正，叫東經(jīng)（0°180°），向西為負，叫西經(jīng)（0o180°）。點的法線與赤道面的夾角，叫做點的大地緯度。由赤道面起算，向北為正，叫北緯（0°90°）；向南為負，叫南緯(0°90°)。大地坐

5、標系是用大地經(jīng)度L、大地緯度B和大地高H表示地面點位的。過地面點P的子午面與起始子午面間的夾角叫P點的大地經(jīng)度。由起始子午面起算，向東為正，叫東經(jīng)（0°180°），向西為負，叫西經(jīng)（0°-180°）。過P點的橢球法線與赤道面的夾角叫P點的大地緯度。由赤道面起算，向北為正，叫北緯（0°90°），向南為負，叫南緯（0°-90°）。從地面點P沿橢球法線到橢球面的距離叫大地高。大地坐標坐標系中，點的位置用,表示。如果點不在橢球面上，表示點的位置除,外，還要附加另一參數(shù)大地高，它同正常高及正高有如下關系 6.2.2空間直角坐

6、標系以橢球體中心為原點，起始子午面與赤道面交線為軸，在赤道面上與軸正交的方向為軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為軸，構(gòu)成右手坐標系-，在該坐標系中，點的位置用表示。地球空間直角坐標系的坐標原點位于地球質(zhì)心（地心坐標系）或參考橢球中心（參心坐標系），z軸指向地球北極，x軸指向起始子午面與地球赤道的交點，y軸垂直于XOZ面并構(gòu)成右手坐標系。6.2.3子午面直角坐標系 設點的大地經(jīng)度為，在過點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立平面直角坐標系。在該坐標系中，點的位置用,表示。6.2.4大地極坐標系 為橢球體面上任意一點，為過點的子午線，為連結(jié)的大地線長，為大地線在點的方位角。以為極點，為極軸，為極半徑，為極角

7、，這樣就構(gòu)成大地極坐標系。在該坐標系中點的位置用,表示。 橢球面上點的極坐標（,）與大地坐標(,）可以互相換算，這種換算叫做大地主題解算。 6.2.5各坐標系間的關系 橢球面上的點位可在各種坐標系中表示，由于所用坐標系不同，表現(xiàn)出來的坐標值也不同。 1.子午面直角坐標系同大地坐標系的關系 過點作法線，它與軸之夾角為，過點作子午圈的切線，它與軸的夾角為（90°+）。子午面直角坐標同大地緯度的關系式如下： 2.空間直角坐標系同子午面直角坐標系的關系空間直角坐標系中的相當于子午平面直角坐標系中的，前者的相當于后者的，并且二者的經(jīng)度相同。3.空間直角坐標系同大地坐標系的關系同一地面點在地球空

8、間直角坐標系中的坐標和在大地坐標系中的坐標可用如下兩組公式轉(zhuǎn)換。式中：e子午橢圓第一偏心率，可由長短半徑按式算得。N法線長度，可由式算得。§6.3 幾種主要的橢球公式 過橢球面上任意一點可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫做法截面，法截面同橢球面交線叫法截線（或法截?。?。包含橢球面一點的法線，可作無數(shù)多個法截面，相應有無數(shù)多個法截線。橢球面上的法截線曲率半徑不同于球面上的法截線曲率半徑都等于圓球的半徑，而是不同方向的法截弧的曲率半徑都不相同。6.3.1子午圈曲率半徑子午橢圓的一部分上取一微分弧長，相應地有坐標增量，點是微分弧的曲率中心，于是線段及便是子午圈曲率半徑。任意平

9、面曲線的曲率半徑的定義公式為：子午圈曲率半徑公式為： 或 與緯度有關它隨的增大而增大，變化規(guī)律如下表所示：說 明在赤道上，小于赤道半徑此間隨緯度的增大而增大在極點上, 等于極點曲率半徑6.3.2卯酉圈曲率半徑過橢球面上一點的法線，可作無限個法截面，其中一個與該點子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。在圖中即為過點的卯酉圈。卯酉圈的曲率半徑用表示。 為了推導的表達計算式，過點作以為中心的平行圈的切線，該切線位于垂直于子午面的平行圈平面內(nèi)。因卯酉圈也垂直于子午面，故也是卯酉圈在點處的切線。即垂直于。所以是平行圈及卯酉圈在點處的公切線。 卯酉圈曲率半徑可用下列兩式表示：6.3.3

10、 任意法截弧的曲率半徑 子午法截弧是南北方向，其方位角為0°或180°。卯酉法截弧是東西方向，其方位角為90°或270°。現(xiàn)在來討論方位角為的任意法截弧的曲率半徑的計算公式。 任意方向的法截弧的曲率半徑的計算公式如下： （7-87） 6.3.4 平均曲率半徑 在實際際工程應用中，根據(jù)測量工作的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當成具有適當半徑的球面。取過地面某點的所有方向的平均值來作為這個球體的半徑是合適的。這個球面的半徑平均曲率半徑R：或 因此，橢球面上任意一點的平均曲率半徑等于該點子午圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑的幾何平均值。6.3.5 子午線弧長計算公

11、式 子午橢圓的一半，它的端點與極點相重合；而赤道又把子午線分成對稱的兩部分。 如圖所示，取子午線上某微分弧，令點緯度為，點緯度為，點的子午圈曲率半徑為，于是有： 從赤道開始到任意緯度的平行圈之間的弧長可由下列積分求出： 式中M可用下式表達： 其中： 經(jīng)積分，進行整理后得子午線弧長計算式：為求子午線上兩個緯度及間的弧長，只需按上式分別算出相應的及，而后取差：，該即為所求的弧長?？死鞣蛩够鶛E球子午線弧長計算公式：1975年國際橢球子午線弧長計算公式：6.3.6 底點緯度計算 在高斯投影反算時，已知高斯平面直角坐標（X，Y）反求其大地坐標（L，B）。首先X當作中央子午線上弧長，反求其緯度，此時的緯

12、度稱為底點緯度或垂直緯度。計算底點緯度的公式可以采用迭代解法和直接解法。（1）迭代法在克拉索夫斯基橢球上計算時，迭代開始時設以后每次迭代按下式計算：重復迭代直至為止。在1975年國際橢球上計算時，也有類似公式。（2）直接解法1975年國際橢球： 克拉索夫斯基橢球：6.3.7 大地線 橢球面上兩點間的最短程曲線叫做大地線。在微分幾何中，大地線（又稱測地線）另有這樣的定義：“大地線上每點的密切面（無限接近的三個點構(gòu)成的平面）都包含該點的曲面法線”，亦即“大地線上各點的主法線與該點的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故大地線是一條空間曲面曲線。 假如在橢球模型表面,兩點之間，畫出相對法截線如圖所示

13、，然后在,兩點上各插定一個大頭針，并緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一條細橡皮筋，并設橡皮筋和橢球面之間沒有摩擦力，則橡皮筋形成一條曲線，恰好位于相對法截線之間，這就是一條大地線。由于橡皮筋處于拉力之下，所以它實際上是兩點間的最短線。在橢球面上進行測量計算時，應當以兩點間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，應當歸算成相應大地線的方向、距離。§6.4 將地面觀測值歸算至橢球面6.4.1 概述 參考橢球面是測量計算的基準面。在野外的各種測量都是在地面上進行，觀測的基準線不是各點相應的橢球面的法線，而是各點的垂線，各點的垂線與法線存在著垂線偏差。因此不能直接在地面上處理觀測成果，而應將

14、地面觀測元素（包括方向和距離等）歸算至橢球面。在歸算中有兩條基本要求：（1）以橢球面的法線為基準；（2）將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應元素。6.4.2 將地面觀測的水平方向歸算至橢球面 1垂線偏差改正地面上所有水平方向的觀測都是以垂線為根據(jù)的，而在橢球面上則要求以該點的法線為依據(jù)。把以垂線為依據(jù)的地面觀測的水平方向值歸算到以法線為依據(jù)的方向值而應加的改正定義為垂線偏差改正，以表示。 如圖所示，以測站為中心作出單位半徑的輔助球，是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以表示，是地面觀測目標在球面上的投影。垂線偏差改正的計算公式是：式中：為測站點上的垂線偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它們

15、可在測區(qū)的垂線偏差分量圖中內(nèi)插取得；為測站點至照準點的大地方位角；為照準點的天頂距；為照準點的垂直角。 垂線偏差改正的數(shù)值主要與測站點的垂線偏差和觀測方向的天頂距（或垂直角）有關。 2.標高差改正 標高差改正又稱由照準點高度而引起的改正。不在同一子午面或同一平行圈上的兩點的法線是不共面的。當進行水平方向觀測時，如果照準點高出橢球面某一高度，則照準面就不能通過照準點的法線同橢球面的交點，由此引起的方向偏差的改正叫做標高差改正，以表示。如圖所示，為測站點，如果測站點觀測值已加垂線偏差改正，則可認為垂線同法線一致。這時測站點在橢球面上或者高出橢球面某一高度，對水平方向是沒有影響的。這是因為測站點法線

16、不變，則通過某一照準點只能有一個法截面。 設照準點高出橢球面的高程為和分別為點及點的法線，點法線與橢球面的交點為。因為通常和不在同一平面內(nèi)，所以在點照準點得出的法截線是而不是，因而產(chǎn)生了同方向的差異。按歸算的要求，地面各點都應沿自己法線方向投影到橢球面上，即需要的是方向值而不是方向值，因此需加入標高差改正數(shù)，以便將方向改到方向。 標高差改正的計算公式是 式中：為照準點大地緯度；為測站點至照準點的大地方位角；為照準點高出橢球面的高程，它由三部分組成：其中為照準點標石中心的正常高，為高程異常，為照準點的覘標高。，是與照準點緯度相應的子午圈曲率半徑。標高差改正主要與照準點的高程有關。經(jīng)過此項改正后，

17、便將地面觀測的水平方向值歸化為橢球面上相應的法截弧方向。 3.截面差改正 在橢球面上，緯度不同的兩點由于其法線不共面，所以在對向觀測時相對法截弧不重合，應當用兩點間的大地線代替相對法截弧。這樣將法截弧方向化為大地線方向應加的改正叫截面差改正，用表示。 如圖所示，是至的法截弧，它在點處的大地方位角為，是間的大地線，它在點的大地方位角是，與之差就是截面差改正。截面差改正的計算公式為式中為間大地線長度，為測站點緯度相對應的卯酉圈曲率半徑。現(xiàn)令在一般情況下，一等三角測量應加三差改正，二等三角測量應加垂線偏差改正和標高差改正，而不加截面差改正；三等和四等三角測量可不加三差改正。但當時或者>2 000m時，則應分別考慮加垂線偏差改正和標高差改正。在特殊情況下，應該根據(jù)測區(qū)的實際情況作具體分析，然后再做出加還是不加改正的規(guī)定。如下表所示：三差改正主要關系量是否要加改正一等二等三、四等垂線偏差加加酌情標高差截面差不加6.4.3 電磁波測距邊長歸算橢球面電磁波測距儀測得的長度是連接地面兩點間的直線斜距，也應將它歸算到參考橢球面上。如圖，大地點和的大地高分別為和。其間用電磁波測距儀測得的斜距為