北師大版數學知識點匯總九年級下冊

1、【北師大版】數學知識點匯總九年級(下冊)第一章 直角三角形邊的關系一. 正切：定義：在RtABC中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanA，即;tanA是一個完整的符號，它表示A的正切，記號里習慣省去角的符號“”；tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中A的對邊與鄰邊的比；tanA不表示“tan”乘以“A”；初中階段，我們只學習直角三角形中，A是銳角的正切；tanA的值越大，梯子越陡，A越大； A越大，梯子越陡，tanA的值越大。二. 正弦：定義：在RtABC中，銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA，即;三. 余弦：定義：在RtABC中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做

2、A的余弦，記作cosA，即;余切：定義：在RtABC中，銳角A的鄰邊與對邊的比叫做A的余切，記作cotA，即;一個銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。0º30 º45 º60 º90 ºsin01cos10tan01cot10（通常我們稱正弦、余弦互為余函數。同樣，也稱正切、余切互為余函數，可以概括為：一個銳角的三角函數等于它的余角的余函數）用等式表達：若A為銳角，則； ； 當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角利用特殊角的三角函數值表，

3、可以看出，(1)當圖1角度在0°90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。同角的三角函數間的關系：倒數關系：tg·ctg=1。在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。在ABC中，C為直角，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有 (1)三邊之間的關系：a2+b2=c2；(2)兩銳角的關系：AB=90°； (3)邊與角之間的關系：(4)面積公式:

4、(hc為C邊上的高); (5)直角三角形的內切圓半徑 (6)直角三角形的外接圓半徑解直角三角形的幾種基本類型列表如下：圖2hi=h:llABC解直角三角形的幾種基本類型列表如下：圖3圖4 如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即從某點的指北方向按順時針轉到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC的方位角分別為45°、135°、225°。指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4，OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°，南偏東45°(東南方向)、南偏西為

5、60°，北偏西60°。第二章 二次函數二次函數的概念：形如的函數，叫做x的二次函數。自變量的取值范圍是全體實數。 是二次函數的特例，此時常數b=c=0.在寫二次函數的關系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關系，列出相應的函數關系式，并確定自變量的取值范圍。二次函數yax2的圖象是一條頂點在原點關于y軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點、拋物線與x軸的交點等方面來描述。函數的定義域是全體實數；拋物線的頂點在(0，0)，對稱軸是y軸(或稱直線x0)。當a0時，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當a0時，拋

6、物線開口向下，并且向下方無限伸展。函數的增減性：A、當a0時 B、當a0時當a越大，拋物線開口越??；當a越小，拋物線的開口越大。最大值或最小值：當a0，且x0時函數有最小值，最小值是0；當a0，且x0時函數有最大值，最大值是0二次函數的圖象是一條頂點在y軸上且與y軸對稱的拋物線二次函數的圖象是以為對稱軸，頂點在（，）的拋物線。（開口方向和大小由a來決定）|a|的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越快；|a|的越小，拋物線的開口程度越大，越遠離對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越慢。二次函數的圖象中，a的符號決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線的開口程度大

7、小，c決定拋物線的頂點位置，即拋物線位置的高低。二次函數的圖象與yax2的圖象的關系： 的圖象可以由yax2的圖象平移得到，其步驟如下： 將配方成的形式；（其中h=，k=）；把拋物線向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個單位，得到y(tǒng)=a(x-h)2的圖象；再把拋物線向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|個單位，便得到的圖象。二次函數的性質：二次函數配方成則拋物線的對稱軸：x= 頂點坐標：（，）增減性： 若a>0，則當x<時，y隨x的增大而減小；當x>時，y隨x的增大而增大。若a<0，則當x<時，y隨x的增大而增大；當x>時，y

8、隨x的增大而減小。最值：若a>0，則當x=時，；若a<0，則當x=時，畫二次函數的圖象： 我們可以利用它與函數的關系，平移拋物線而得到，但往往我們采用簡化了的描點法-五點法來畫二次函數來畫二次函數的圖象，其步驟如下： 先找出頂點（，），畫出對稱軸x=；找出圖象上關于直線x=對稱的四個點（如與坐標的交點等）；把上述五點連成光滑的曲線。¤二次函數的最大值或最小值可以通過將解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助圖象觀察。¤解決最大（小）值問題的基本思路是： 理解問題；分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關系；用數學的方式表示它們之間的關系；做數學求解

9、；檢驗結果的合理性、拓展性等。二次函數的圖象(拋物線)與x軸的兩個交點的橫坐標x1，x2是對應一元二次方程的兩個實數根拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定： >0 <=> 拋物線與x軸有2個交點； =0 <=> 拋物線與x軸有1個交點； <0 <=> 拋物線與x軸有0個交點（無交點）；當>0時，設拋物線與x軸的兩個交點為A、B，則這兩個點之間的距離：化簡后即為： - 這就是拋物線與x軸的兩交點之間的距離公式。第三章 圓一. 車輪為什么做成圓形1. 圓的定義： 描述性定義：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋

10、轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圓形叫做圓；固定的端點O叫做圓心；線段OA叫做半徑；以點O為圓心的圓，記作O，讀作“圓O” 集合性定義：圓是平面內到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。2. 點與圓的位置關系及其數量特征： 如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則 點在圓上 <=> d=r;點在圓內 <=> d<r;點在圓外 <=> d>r.其中點在圓

11、上的數量特征是重點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證明這幾個點與一個定點、的距離相等。二. 圓的對稱性: 1. 與圓相關的概念：弦和直徑： 弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。 直徑：經過圓心的弦叫做直徑。弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧：?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“”表示，以CD為端點的弧記為“”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。)弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的

12、兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.2. 圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸。3. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備： 過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)??；平分弦所對的劣弧。 上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結論。4. 定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相

13、等、所對的弦心距相等。推論: 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.三. 圓周角和圓心角的關系:1. 1°的弧的概念: 把頂點在圓心的周角等分成360份時,每一份的角都是1°的圓心角,相應的整個圓也被等分成360份,每一份同樣的弧叫1°弧.2. 圓心角的度數和它所對的弧的度數相等.這里指的是角度數與弧的度數相等,而不是角與弧相等.即不能寫成AOB= ,這是錯誤的.3. 圓周角的定義: 頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.4. 圓周角定理: 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角

14、的一半.推論1: 同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；四. 確定圓的條件:1. 理解確定一個圓必須的具備兩個條件: 圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑決定圓的大小. 經過一點可以作無數個圓,經過兩點也可以作無數個圓,其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上.2. 經過三點作圓要分兩種情況:(1) 經過同一直線上的三點不能作圓.(2)經過不在同一直線上的三點,能且僅能作一個圓.定理: 不在同一直線上的三個點確定一個圓.3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內接三角形的概念: (1)

15、三角形的外接圓和圓的內接三角形: 經過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.(3)三角形的外心的性質:三角形外心到三頂點的距離相等.五. 直線與圓的位置關系1. 直線和圓相交、相切相離的定義:(1)相交: 直線與圓有兩個公共點時,叫做直線和圓相交,這時直線叫做圓的割線.(2)相切: 直線和圓有惟一公共點時,叫做直線和圓相切,這時直線叫做圓的切線,惟一的公共點做切點.(3)相離: 直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離.2. 直線與圓的位置關系的數量特征: 設O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d；

16、d<r <=> 直線L和O相交.d=r <=> 直線L和O相切.d>r <=> 直線L和O相離.3. 切線的總判定定理: 經過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.4. 切線的性質定理: 圓的切線垂直于過切點的半徑.推論1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.推論2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.分析性質定理及兩個推論的條件和結論間的關系,可得如下結論:如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個.垂直于切線; 過切點; 過圓心.5. 三角形的內切圓、內心、圓的外切三角形的概念. 和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的

17、內切圓,內切圓的圓心叫做三角形的內心, 這個三角形叫做圓的外切三角形.6. 三角形內心的性質: (1)三角形的內心到三邊的距離相等.(2)過三角形頂點和內心的射線平分三角形的內角.由此性質引出一條重要的輔助線: 連接內心和三角形的頂點,該線平分三角形的這個內角.六. 圓和圓的位置關系.1. 外離、外切、相交、內切、內含(包括同心圓)這五種位置關系的定義.(1)外離: 兩個圓沒有公共點,并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外離.(2)外切: 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,每個圓上的點都在另一個圓的外部時, 叫做這兩個圓外切.這個惟一的公共點叫做切點.(3)相交: 兩

18、個圓有兩個公共點,此時叫做這個兩個圓相交.(4)內切: 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,一個圓上的都在另一個圓的內部時,叫做這兩個圓內切.這個惟一的公共點叫做切點.(5)內含: 兩個圓沒有公共點, 并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時,叫做這兩個圓內含.兩圓同心是兩圓內的一個特例.2. 兩圓位置關系的性質與判定:(1)兩圓外離 <=> d>R+r(2)兩圓外切 <=> d=R+r(3)兩圓相交 <=> R-r<d<R+r (Rr)(4)兩圓內切 <=> d=R-r (R>r)(5)兩圓內含 <=>

19、 d<R-r (R>r)3. 相切兩圓的性質: 如果兩個圓相切,那么切點一定在連心線上.4. 相交兩圓的性質:相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.七. 弧長及扇形的面積1. 圓周長公式: 圓周長C=2R (R表示圓的半徑)2. 弧長公式: 弧長 (R表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數)3. 扇形定義:一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.4. 弓形定義:由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形. 弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.5. 圓的面積公式.圓的面積 (R表示圓的半徑)6. 扇形的面積公式:扇形的面積 (R表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數)圖5弓形

20、的面積公式:(如圖5)(1)當弓形所含的弧是劣弧時, (2)當弓形所含的弧是優(yōu)弧時, (3)當弓形所含的弧是半圓時, 八. 圓錐的有關概念:1. 圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉一周而形成的圖形,另一條直角邊旋轉而成的面叫做圓錐的底面,斜邊旋轉而成的面叫做圓錐的側面.2. 圓錐的側面展開圖與側面積計算:圓錐的側面展開圖是一個扇形,這個扇形的半徑是圓錐側面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點.如果設圓錐底面半徑為r,側面母線長(扇形半徑)是l, 底面圓周長(扇形弧長)為c,那么它的側面積是:_圖6_P_O_B_A¤九. 與圓有關的輔助線1.如圓中有弦的

21、條件,常作弦心距,或過弦的一端作半徑為輔助線.2.如圓中有直徑的條件,可作出直徑上的圓周角.3.如一個圓有切線的條件,常作過切點的半徑(或直徑)為輔助線.4.若條件交代了某點是切點時,連結圓心和切點是最常用的輔助線.¤十. 圓內接四邊形若四邊形的四個頂點都在同一個圓上,這個四邊形叫做圓內接四邊形,這個圓叫做這個四邊形的外接圓.圓內接四邊形的特征: 圓內接四邊形的對角互補; 圓內接四邊形任意一個外角等于它的內錯角.十一.北師版數學未出理的有關圓的性質定理1.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。如圖6，PA，PB分別切O于A、B_

22、O_C_D_A_BPA=PB，PO平分APB2弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。 推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。如圖7，CD切O于C，則，ACD=B 3和圓有關的比例線段： 相交弦定理：圓內的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等；_圖7推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。如圖8，APPB=CPPD如圖9，若CDAB于P，AB為O直徑，則CP2=APPB4切割線定理切割線定理，從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項；推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。如