函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題解題技巧

1、臨沂市高三二輪會(huì)材料 函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題解題技巧函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題解題技巧新課標(biāo)下的高考越來越重視考查知識(shí)的綜合應(yīng)用，恒成立問題涉及方程、不等式、函數(shù)性質(zhì)與圖象及它們之間的綜合應(yīng)用，同時(shí)滲透換元、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，考查綜合解題能力，尤其是在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)中體現(xiàn)的更為明顯，也是歷年高考的熱點(diǎn)問題,根據(jù)本人的體會(huì)，恒成立問題主要有以下幾種.一、利用函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題例1 已知函數(shù) (1)若函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是，求的值； (2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍解：(1)由題意得 又 ，解得，或 (2)函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價(jià)于 導(dǎo)函數(shù)在既能取到

2、大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù) 即函數(shù)在上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得 所以的取值范圍是.【方法點(diǎn)評(píng)】利用函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題，主要是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)在給定的區(qū)間上不單調(diào)意味著導(dǎo)函數(shù)在給定的區(qū)間上有零點(diǎn)，利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理即可解決問題.二、利用數(shù)形結(jié)合思想解決恒成立問題例2 已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)（1）求；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍【方法指導(dǎo)】（1）在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，可以求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間借助可以求出單調(diào)遞增區(qū)間，可以求出單調(diào)遞減區(qū)間；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可以求出其極大值和極小值，畫出圖

3、象，數(shù)形結(jié)合可以求出的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以，因此?）由（1）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)增區(qū)間是，的單調(diào)減區(qū)間是（3）由（2）知，在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在上單調(diào)增加，且當(dāng)或時(shí)，所以的極大值為，極小值為因此 所以在的三個(gè)單調(diào)區(qū)間直線有的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)因此，的取值范圍為【方法點(diǎn)評(píng)】數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中常考的思想方法之一，在有關(guān)取值范圍問題、單調(diào)性問題、最值問題中體現(xiàn)較明顯，同時(shí)方程的根及函數(shù)零點(diǎn)也可轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題解決.三、分離參數(shù)解決恒成立問題例3 已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，判斷在定義域上的單調(diào)性；(2)若在上恒成立，求的取值范圍【方法指導(dǎo)】（1）通過判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)解決；

4、（2）由于參數(shù)是“孤立”的，可以分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性或最值等解決解：(1)由題意：的定義域?yàn)?，且，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)(2) 令，在上是減函數(shù)，即，在上也是減函數(shù)， 令得，當(dāng)在恒成立時(shí)，的取值范圍是【方法點(diǎn)評(píng)】分離參數(shù)是恒成立問題中的一種重要解題方法，分離參數(shù)后，構(gòu)造新函數(shù)，求新函數(shù)的最值即可解決恒成立問題中的參數(shù)取值范圍.四、利用兩個(gè)函數(shù)的最值解決恒成立問題 例4 2014·新課標(biāo)全國卷 設(shè)函數(shù)f(x)aexln x，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為ye(x1)2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)>1.解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f

5、(x)aexln xexex1ex1.由題意可得f(1)2，f(1)e，故a1，b2.(2)證明：由(1)知，f(x)exln xex1，從而f(x)>1等價(jià)于xln x>xex.設(shè)函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x，所以當(dāng)x時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x時(shí)，g(x)>0.故g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，)上的最小值為.設(shè)函數(shù)h(x)xex，則h(x)ex(1x)所以當(dāng)x(0，1)時(shí)，h(x)>0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)<0.故h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，)上的最大值為h(1).因?yàn)?/p>

6、gmin(x)h(1)hmax(x)，所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>h(x)，即f(x)>1.五、不等式中的恒成立問題 例5 (2016山東)已知.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的恒成立解：(1)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，.(i)當(dāng)時(shí)，.當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減(ii)當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)，單調(diào)遞增(iii)當(dāng)時(shí)，.當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在（0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增(2)證明：

7、由(1)知，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)又.設(shè)，則在上單調(diào)遞減因?yàn)?，所以，使得?dāng)時(shí)，時(shí)，.所以h(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)所以，即對(duì)于任意的成立六、利用恒成立問題求參數(shù)的取值范圍例6 (2015·北京)已知函數(shù) 。(1)求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程；(2)求證：當(dāng) 時(shí)， ；(3)設(shè)實(shí)數(shù)k使得 對(duì) 恒成立，求k的最大值。解：(1) ，所以切線方程為(2)原命題造價(jià)于任意 ，設(shè)函數(shù) ， 。當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 在 上是單調(diào)遞增函數(shù)。 ，因此任意。(3)由(2)知，當(dāng)時(shí)，f(x)>k對(duì)x(0，1)恒成立當(dāng)k>2時(shí)，令h(x)f(x)k，則

8、h(x)f(x)k(1x2).所以當(dāng)0<x<時(shí)，h(x)<0，因此h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減故當(dāng)0<x<時(shí)，h(x)<h(0)0，即f(x)<k.所以當(dāng)k>2時(shí)，f(x)>k并非對(duì)x(0，1)恒成立綜上可知，k的最大值為2.【方法總結(jié)】研究不等式在區(qū)間上恒成立，求其中參數(shù)的取值范圍問題，一般有兩種方法：直接轉(zhuǎn)化為研究帶參數(shù)的動(dòng)態(tài)函數(shù)在區(qū)間上的最小值由于函數(shù)帶有參數(shù)，它在區(qū)間上的單調(diào)性會(huì)由于參數(shù)的不同而變化，因此需要分類討論由于函數(shù)的單調(diào)性和其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，問題最后都?xì)w結(jié)為就函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論問題(2)中的方法一就是遵循這一思路；是將不等式作變形，將參數(shù)和變量進(jìn)行分離，將不等式轉(zhuǎn)化為(或)，利用極值原理，將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)在區(qū)間上的最大值（或最小值）的問題七、變形構(gòu)造函數(shù)解答恒成立問題 例7 已知函數(shù)(1)求證在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減；(2)若不等式是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）對(duì)任意的都成立，求實(shí)數(shù)的最大值【方法指導(dǎo)】(1)這是一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性問題，所以用導(dǎo)數(shù)法，即證明函數(shù)在區(qū)間(0，1)上的導(dǎo)函數(shù)恒小于零；(2)先將不等式兩邊取自然對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立，再用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)在上