幾何圖形解法

1、幾何圖形的十大解法（幾何圖形的十大解法（30 例）例）體會(huì)：體會(huì)：注重積累注重積累，勤動(dòng)筆勤動(dòng)筆。在平時(shí)的教學(xué)中，無(wú)論看到的、聽(tīng)到的、想到的、捕捉到的，靈感的一剎那都及時(shí)記下，并附上自己的一些想法和體會(huì)。虛心好學(xué)虛心好學(xué)，勤動(dòng)口勤動(dòng)口。無(wú)論是老教師還是青年教師，本校教師還是外校、外地老師，能者都是我的老師，學(xué)生也是我的老師。我的一些巧解有的就來(lái)自于學(xué)生。在與老師、學(xué)生的互動(dòng)中提高自己的解題能力。善于總結(jié)善于總結(jié)，勤動(dòng)腦勤動(dòng)腦。在備課時(shí)，經(jīng)常分析學(xué)生解題中的一些想法和方法，找到學(xué)生最容易接受、理解的方法。同時(shí)我盡可能掌握本題的不同解法，以獲得答案較為簡(jiǎn)潔的方法和策略。說(shuō)明：說(shuō)明：1）首先要以扎實(shí)

2、的幾何基礎(chǔ)知識(shí)為鋪墊，才能提升靈活解題的技能技巧。2）以下十種解法是不全面的，更談不上是最好的。唯有在實(shí)踐中不斷摸索、總結(jié)，找到適合自己的解題方法，才能不斷創(chuàng)新。追求是永無(wú)止境的。一、一、 分割法分割法例例：將兩個(gè)相等的長(zhǎng)方形重合在一起將兩個(gè)相等的長(zhǎng)方形重合在一起， 求組合圖形的求組合圖形的面積面積。 （單位：厘米）（單位：厘米）2 2解：將圖形分割成兩個(gè)全等的梯形。7 7S 組=（7-2+7）222=24（平方厘米）例：例：下列兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為下列兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為 8 8 厘米和厘米和 5 5 厘米，厘米，求陰影部分面積。求陰影部分面積。解：將圖形分割成 3 個(gè)三角形。S=552+5

3、82+（8-5）52=12.5+20+7.5=38（平方厘米）例例：左圖中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為左圖中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為 8 8 厘米和厘米和 6 6 厘米厘米。求陰影部分面積。求陰影部分面積。解：將陰影部分分割成兩個(gè)三角形。S 陰=8（8+6）2+862=56+24=80（平方厘米）二、二、 添輔助線添輔助線例：例：已知正方形邊長(zhǎng)已知正方形邊長(zhǎng) 4 4 厘米，厘米，A A、B B、C C、D D 是正方形邊上的中點(diǎn)，是正方形邊上的中點(diǎn)，P P是任意一點(diǎn)。是任意一點(diǎn)。求陰影部分面積。求陰影部分面積。C解：從 P 點(diǎn)向 4 個(gè)定點(diǎn)添輔助線，由此看出，陰影部分面積和空白部分面積相等。PS S

4、陰陰=4=44 42=82=8（平方厘米）DBA例：例：將下圖平行四邊形分成三角形和梯形兩部分，它們面積相差將下圖平行四邊形分成三角形和梯形兩部分，它們面積相差 40平方厘米，平行四邊形底平方厘米，平行四邊形底 20.4 厘米，高厘米，高 8 厘米。梯形下底是多厘米。梯形下底是多少厘米？少厘米？解： 因?yàn)樘硪粭l輔助線平行于三角形一條邊， 發(fā)現(xiàn) 40平方厘米是一個(gè)平行四邊形。所以梯形下底：408=5（厘米）例例：平行四邊形的面積是平行四邊形的面積是 48 平方厘米平方厘米，BC 分別是分別是A這個(gè)平行四邊形相鄰兩條邊的中點(diǎn)，連接這個(gè)平行四邊形相鄰兩條邊的中點(diǎn)，連接 A、BB B、C C 得到得到

5、 4 4 個(gè)三角形。求陰影部分的面積。個(gè)三角形。求陰影部分的面積。C解： 如圖連接平行四邊形各條邊上的中點(diǎn)， 可以看出空白部分占了整個(gè)平行四邊形的八分之五，陰影部分占了八分之三。S 陰=4883=18（平方厘米）三、三、 倍比法倍比法例：例：AB已知：已知：OC=2AOOC=2AO，S SABOABO=2=2 ，求梯形，求梯形 ABCDABCDO的面積。的面積。解：因?yàn)?OC=2AO，所以 SBOC=22=4()DCSDOC=42=8()SABCD=2+42+8=18()例：例：7.5已知：已知：S S 陰陰=8.75=8.75 ，求下圖梯形的面積，求下圖梯形的面積。解：因?yàn)?7.52.5=3

6、（倍）所以 S 空=3S 陰。S=8.75（31）=35（）2.5例：例：A下圖下圖 AB 是是 AD 的的 3 倍，倍，AC 是是 AE 的的 5 倍，倍，DE那么三角那么三角形形ABC的面積是三角的面積是三角形形ADE的多少的多少倍？倍？BC 解：設(shè)三角形 ABE 面積為 1 個(gè)單位。則 SABE=13=3SABC=35=15153=5所以三角形 ABC 的面積是三角形 ADE 的 5 倍。四、四、 割補(bǔ)平移割補(bǔ)平移例：例：AB已知：已知：S S 陰陰=20=20 ， EFEF 為中位線為中位線EF求梯形求梯形 ABCDABCD 的面積。的面積。DC解：沿著中位線分割平移，將原圖轉(zhuǎn)化成一個(gè)

7、平行四邊形。從圖中看出，陰影部分面積是平行四邊形面積一半的一半。SABCD=2022=80（）例：例：10求左圖面積（單位：厘米）求左圖面積（單位：厘米）5解 1：S 組=S 平行四邊形=10（5+5）5=100（平方厘米）1010解 2：S 組=S 平行四邊形=S 長(zhǎng)方形5=5（10+10）5=100（平方厘米）10例：例：把一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別增加把一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別增加 2 2a2厘米，面積增加厘米，面積增加 24 平方厘米。平方厘米。b求原長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。求原長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。22解：C=（242-2）22=20（厘米）五、五、 等量代換等量代換例：例：B已知：已知：ABAB 平行于平

8、行于 ECEC，求陰影部分面積，求陰影部分面積。AOC解：因?yàn)?AB/AC 所以 SAOE= SBOC8則 S 陰=0.5S=1082=40（）E10D（單位：m）例例： 下圖兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別是下圖兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別是 6 6 分米分米、 4 4 分米分米。 求陰影部分面積求陰影部分面積。解：因?yàn)?S1+S2=S3+S2=64241所以 S1=S332則 S 陰=662=18(平方分米)例例： 已知三角形已知三角形 ABCABC 的面積等于三角形的面積等于三角形 AEDAED 的面積的面積 （形狀大小都相形狀大小都相同同） ，它們重疊在一起，比較三角形，它們重疊在一起，比較三角形 BDFBD

9、F 和三角形和三角形 CEFCEF 的面積的面積大小大小。 （ C C）AA 三角形 DBF 大B 三角形 CEF 大DCC 兩個(gè)三角形一樣大 D 無(wú)法比較BF（因?yàn)?S 等量減 S 等量，等差不變）E六、六、 等腰直角三角形等腰直角三角形例：例：已知長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為已知長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為 2222 厘米，長(zhǎng)厘米，長(zhǎng) 7 7 厘米，求厘米，求陰影部分面積。陰影部分面積。45解：b=222-7=4（厘米）S 陰= =7+ +（7-4） 42=20（平方厘米）或 S 陰=74-442=20（平方厘米）例：例：已知下列兩個(gè)等腰直角三角形，直角邊分別已知下列兩個(gè)等腰直角三角形，直角邊分別是是 10 厘米和厘米和

10、 6 厘米。求陰影部分的面積。厘米。求陰影部分的面積。解：10-6=4（厘米）6-4=2（厘米）2S 陰=（6+2）42=16（厘米）例：例：下圖下圖長(zhǎng)方形長(zhǎng)長(zhǎng)方形長(zhǎng) 9 厘米，寬厘米，寬 6 厘米，求陰影部分厘米，求陰影部分AB 面積。面積。45解：三角形 BCE 是等腰三角形FFD=ED=9-6=3（厘米）EDCS 陰=（9+3）62=36（平方厘米）或 S 陰=992+332=36（平方厘米）七、擴(kuò)倍、縮倍法擴(kuò)倍、縮倍法例例：如圖如圖：正方形面積是正方形面積是 3232 平方厘米平方厘米，直角三角形直角三角形中的短直角邊是長(zhǎng)直角邊的四分之一，三角形中的短直角邊是長(zhǎng)直角邊的四分之一，三角形

11、a面積是多少平方厘米？面積是多少平方厘米？b解：將正方形面積擴(kuò)大 2 倍為 64 平方厘米，64=88 則 a=8（厘米） ，b=84=2（厘米）那么，S=822=8（平方厘米）還原縮倍，所求三角形面積=82=4（平方厘米）例：例：求左下圖的面積（單位：米求左下圖的面積（單位：米） 。3030解：將原圖擴(kuò)大兩倍成長(zhǎng)方形，求出長(zhǎng)方3030形的面積后再縮小兩倍， 就是原圖形面積。40S=（40+30）302=1050（平方米）例：例：左圖中每個(gè)小方格都是面積為左圖中每個(gè)小方格都是面積為 3 3 平方厘米的平方厘米的正方形。求陰影部分面積。正方形。求陰影部分面積。解：先將 3 平方厘米縮小 3 倍，

12、成 1 平方厘米。面積是 1 平方厘米的正方形邊長(zhǎng)是 1 厘米。將圖形分割成兩個(gè)三角形，S=322+312=4.5（平方厘米）再將 4.5 擴(kuò)大 3 倍， S 陰=4.53=13.5 （平方厘米）八、八、 代數(shù)法代數(shù)法例：例：圖中三角形甲的面積比乙的面積少圖中三角形甲的面積比乙的面積少 8 8 平方厘米平方厘米,AB=8cm,CE=6cm,AB=8cm,CE=6cm。求三角形甲和三角形乙的面積各是多少求三角形甲和三角形乙的面積各是多少？A甲甲D解：設(shè) AD 長(zhǎng)為 Xcm。再設(shè) DF 長(zhǎng)為 ycm。8乙乙F8X+8=8(6+X)24y2+8=6（8-y）2BC 6EX=4y=3.2S 甲=43.

13、2 2=6.4（c ）S 乙=6.4+8=14.4（c ）例例：B左圖所示左圖所示，AF=12AF=12，ED=10ED=10，BE=8BE=8，CF=6CF=6（單位單位：厘米厘米）C求四邊形求四邊形 ABCDABCD 的面積是多少平方厘米？的面積是多少平方厘米？AEFD解：AE-FD=2（厘米）設(shè) FD 長(zhǎng) X 厘米，則 AE 長(zhǎng)（X+2）厘米。SABCD=8（X+2）2+6X2+（8+6） （10-X）2=4X+8+3X+70-7X=78（平方厘米）例：例：左圖是一個(gè)等腰三角形，它的腰長(zhǎng)是左圖是一個(gè)等腰三角形，它的腰長(zhǎng)是 2020 厘米，厘米，面積是面積是 144144 平方厘米平方厘米

14、。 在底邊上任取一點(diǎn)向兩腰在底邊上任取一點(diǎn)向兩腰20202020作垂線，得作垂線，得 a a 和和 b b，求，求 a+ba+b 的和。的和。ab解：過(guò)頂點(diǎn)連接 a、b 的交點(diǎn)。20b2+20a2=14410a+10b=144a+b=14.4九、九、 看外高看外高例：例：下圖兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是下圖兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是 6 6 厘米和厘米和 3 3 厘米厘米，求陰影部分的面積。求陰影部分的面積。解：從左上角向右下角添?xiàng)l輔助線，將 S 陰看成兩個(gè)鈍角三角形。（鈍角三角形有兩條外高）S 陰=S+ S=3（6+3）2+362=22.5（平方厘米）例例：下圖長(zhǎng)方形長(zhǎng)下圖長(zhǎng)方形長(zhǎng) 1010 厘米厘米

15、， 寬寬 7 7 厘米厘米， 求陰影部分面積求陰影部分面積。解：陰影部分是一個(gè)平行四邊形。與底邊 2 厘米2對(duì)應(yīng)的高是 10 厘米。S 陰=102=20（平方厘米）例：例：A AD DF F正方形正方形 ABCDABCD 的邊長(zhǎng)是的邊長(zhǎng)是 1818 厘米，厘米，CE=2DECE=2DEE E（1 1）求三角形）求三角形 CEFCEF 的面積。的面積。B BC C（2 2）求）求 DFDF 的長(zhǎng)度。的長(zhǎng)度。解：BCF 是一個(gè)鈍角三角形，EFC 也是一個(gè)鈍角三角形EC=18（2+1）2=12（厘米）(1) SCEF=18182-12182=54（平方厘米）(2) DF=54212=9（厘米）十、概念法概念法例例：一個(gè)直角三角形一個(gè)直角三角形，三條邊分別為三條邊分別為 4 4 厘米厘米、6 6 厘米和厘米和 7 7 厘米厘米。求它求它的面積。的面積。解：因?yàn)槿切蝺蓷l直角邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三條邊， 所以這個(gè)三角形的兩條直角邊分別為4厘米和6厘米。S=462=12（平方厘米）例例：用用 4 4 個(gè)直角邊分別是個(gè)直角邊分別是 3 3 厘米厘米、4 4 厘米和厘米和 5 5 厘米的直角三角形拼成厘米的直角三角形拼成一個(gè)菱形。這個(gè)菱形的周長(zhǎng)和面積各是多少？一個(gè)菱形。這個(gè)菱形