-學(xué)(一)概率統(tǒng)計(jì)

1、福建師范大學(xué)福清分校20222022學(xué)年第一學(xué)期?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)?期中考試卷(適用專業(yè)：08計(jì)本、網(wǎng)工、環(huán)科、應(yīng)化考試時(shí)間：120分鐘，總分值100分)(參考答案)班級(jí)座號(hào)姓名題號(hào)-一-二二三四五總分閱卷人得分、是非說(shuō)明題(共5分，每題1 分)1 (V)設(shè)A,B,C為隨機(jī)事件，那么 A與A B C是互不相容的.2 (V) F(x)是正態(tài)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，那么F( x) 1 F(x).標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)3 (X)等邊三角形域上二維均勻分布的邊緣分布仍是均勻分布4 (V)在古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)中，P(A) 0當(dāng)且僅當(dāng)A是不可能事件.在幾何概型中，命題“ P(A) 0當(dāng)且僅當(dāng)A是不可能事件 是不成立的5 (

2、X)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)f (x)與其分布函數(shù)F(x)相互唯一確定改變密度函數(shù)f(X)在個(gè)別點(diǎn)上的函數(shù)值，不會(huì)改變分布函數(shù)F (x)的取值二、選擇題(18分，每題3分)(1)設(shè)B A，那么下面正確的等式是-(b) _。(a) P(AB) 1 P(A);(b)P(B A) P(B)P(A);(c) P(B|A) P(B);(d)P(A| B) P(A)(2)離散型隨機(jī)變量 X的概率分布為P(X k)A k(k 1,2,)的充要條件是(a)。1(a)(1 A)且 A 0;(b)A 1且01 ；1(c) A1 且1 ;(d)1A 0 且 01.(3)設(shè)10個(gè)電子管的壽命 Xi (i 110)獨(dú)立

3、同分布，且D(Xi) A(i 110),那么10個(gè)電子管的平均壽命Y的方差D(Y)(b).(a)A;(b) 0.1A;(c)0.2A ;(d)10A.(4)設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p(0p 1)，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)直到第n次才取得r (1rn)次成功的概率為(a)(a)Cr 1n 1rn rp (1 p);(b)c；Pr(1n rp);r 1r 1n r 1rn r(c)C n 1p (1 p);(d)p (1 p)(5) 設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，那么隨機(jī)變量Y max (X , 2003)的分布函數(shù)_ (b) _(a)是連續(xù)函數(shù)；(b)恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)；(c)是階梯函數(shù)；(d)至少有兩個(gè)間斷點(diǎn).(

4、6) 設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y)的方差D(X) 4,D(Y)1,相關(guān)系數(shù) XY 0.6,貝y方差D(3X 2Y) - (c) .(a) 40;(b) 34;(c) 25.6;(d) 17.6 .三、填空題(21分，每題3分)(1)設(shè)隨機(jī)事件 A,B互不相容，且P(A) 0.3, P(B) 0.6，那么P(B A) 4/7(2)設(shè)隨機(jī)變量X服從(-2, 2)上的均勻分布，那么隨機(jī)變量Y X2的概率密度函數(shù)為 fY(y)1/( 4 y)0 y 40其他(3)設(shè)隨機(jī)變量(X , Y) N(0,22；1,32； 0)，那么概率 P( 2X Y 1) =0.8446解：因?yàn)?所以X、Y相互獨(dú)立E 2XY2E

5、XE Y2 0 11D 2XY4DXD Y4 4 925P( 2XY1)1P( 2XY1)1P 12X Y 11111 15510.4010.65540.510.1554 0.84464設(shè)隨機(jī)變量X , Y的聯(lián)合分布律為(X,Y)(1,0) (1,1)(2, 0)(2,1)P0.40.2ab假設(shè) E(XY) 0.8，那么 cov(X , Y)0.1 .5 假設(shè)隨機(jī)變量X服從1,b上的均勻分布，且有切比雪夫不等式PX 1-3 那么 b 3,2。6 批電子元件共有100個(gè)，次品率為0.05.連續(xù)兩次不放回地從中任取一個(gè)，那么第二次才取到正品的概率為 19/396.四、計(jì)算與應(yīng)用題56分，每題8分1

6、某廠卡車運(yùn)送防 甲流用品下鄉(xiāng)，頂層裝 10個(gè)紙箱，其中5箱民用口罩、2箱醫(yī)用 口罩、3箱消毒棉花.到目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)喪失 1箱，不知喪失哪一箱.現(xiàn)從剩下9箱中任 意翻開(kāi)2箱，結(jié)果都是民用口罩，求喪失的一箱也是民用口罩的概率解：A任取2箱都是民用口罩,喪失的一箱為kk 1,2,3分別表示民用口罩，醫(yī)用口罩，消毒棉花3P(A)P(BQP(A Bk)k 12 2 21 Ci3Cl1_8_2 c；10cl5 c：36P(B A) P(BJP(A BJ/P(A)C2Cr/P(A)C93836 36求(1)常數(shù)A ; (2)條件密度函數(shù)fY X(y x)； 討論X與Y的相關(guān)性.解:(1) A 1/4.(2)f

7、x(x)f (x, y)dyxx(1/4)dy0x/2其丿、0x2他當(dāng)0x 2 時(shí)，fYx(yx)f(x,y) fx (x)1 /(2x)0x y其他x2 2E(X) 0(x2/2)dx4/3,E(Y)2dx0xx(y/4)dy0,2xE(XY) oxdx %(y/4)dy0,cos(X,Y)E(XY)E(X)E(Y) 0所以X與Y不相關(guān) 2)設(shè)隨機(jī)變量(X，丫)的聯(lián)合密度函數(shù)f(x, y)A 0 x 2, y x0其 他3)設(shè)隨機(jī)變量 X U (0,1)(均勻分布)，Y E(1)(指數(shù)分布)，且它們相互獨(dú)立，試求Z 2X Y的密度函數(shù)fZ(z).解:fx(X)10x10 其他fY(y)fz(

8、z)fX (x) fY(2x z)dx0 x 10 x 1得z軸上的分界點(diǎn)0與22x z 0x z/21oe (z 2x)dx ez(1 e2)/2 z 01fZ(z)z/2e (z 2x)dx (1 ez 2)/20 z 2. 0z 2另解：fZ(Z)1 12fx 2(z y) fY(y)dy如圖：當(dāng)z 2時(shí)，fZ z 0當(dāng)0 z 2時(shí)2 z1ydyfz ze0 21y2 z12 z-e0-e2211z e2時(shí)，上式被積函數(shù)不等零fz z2 z1ydy12 zz1 z2eee 1 e222 z綜上所述得1ez(1 e2) z 02fz(z);(1 ez2) 0 z 220z 24)某彩電公司

9、每月生產(chǎn)20萬(wàn)臺(tái)背投彩電，次品率為0.0005.檢驗(yàn)時(shí)每臺(tái)次品未被查出的概率為0.01.試用中心極限定理求檢驗(yàn)后出廠的彩電中次品數(shù)超過(guò)3臺(tái)的概率.解：設(shè)Xi第i臺(tái)彩電為次品且未被查出其他5i 1 2 10E(Xi)5 10 6, D(Xi)5 10 6(15 10 6)2 105經(jīng)檢驗(yàn)后的次品數(shù)YiXi ,E(Y)D(Y)1 5 10 6，由中心極限定理，近似地有N(1,110 6)P(Y 3)1 P(Y 3)1,110 6(2) 0.0228. 5設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)f (x,y)2e 2x求Z maxX,Y的密度函數(shù).解:由題意知X,Y相互獨(dú)立，且fX(x) 2e2x0,fY

10、(y)當(dāng)z 0時(shí),Fz(z)PXfz(z)fx(z)FY(z)fz (z)另解:Fz(z)fz zx其他0,Pmax(X,Y)zPY zFx( z)fY(z) 2e2z(1 e2e2z3e3zz 0.其他Fx(z)Fy(z)PXFx(z)Fy(z)z乙丫Z(1e 2z)e2e 2z 3e 3z2z e2z e3z2e2z3e3z6設(shè)一工廠生產(chǎn)某種設(shè)備，其壽命X 以年計(jì)的概率密度函數(shù)為:1 re 44x0x0x0假設(shè)工廠售出一臺(tái)設(shè)備贏利100工廠規(guī)定，出售的設(shè)備假設(shè)在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換。元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元，試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)備一年內(nèi)損壞概率為1 P(X 1)-4設(shè)Y為出售一臺(tái)設(shè)備的凈盈利dx 1，那么丫 f(X)(3001e4P(X1)1 P(X100)100200 X100 X所以,y100100-300p1e411 - e 4E(Y) ( 200)*P(X1) 100* P(X 1)1 1200 200e4 100e；33.64五、證明題(8分)設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為3的泊松(Poisson)分布，證明X 丫仍服從泊松分布，參數(shù)為6.證明由題設(shè)P(X m)m33e 3，P(Y m!n)3n3e ， n,m 0,1,2, n!iP(X Y i)P(X k, Y ik)iP(X k)P(Y i k)k