系統(tǒng)的能控性、能觀測性、穩(wěn)定性分析

1、實 驗 報 告課程 線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ) 試驗日期 年 月 日專業(yè)班級 姓名 學號 同組人 試驗名稱 系統(tǒng)的能控性、能觀測性、穩(wěn)定性分析及實現(xiàn) 評分 批閱老師簽字 一、試驗?zāi)康募由罾斫饽苡^測性、能控性、穩(wěn)定性、最小實現(xiàn)等觀念。把握如何使用MATLAB進行以下分析和實現(xiàn)。1、系統(tǒng)的能觀測性、能控性分析；2、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析；3、系統(tǒng)的最小實現(xiàn)。二、試驗內(nèi)容（1）能控性、能觀測性及系統(tǒng)實現(xiàn)（a）了解以下命令的功能；自選對象模型，進行運算，并寫出結(jié)果。gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal；（b）已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，當a 分別取-1，0，1時，

2、判別系統(tǒng)的能控性與能觀測性；（c）已知系統(tǒng)矩陣為，判別系統(tǒng)的能控性與能觀測性；（d）求系統(tǒng)的最小實現(xiàn)。（2）穩(wěn)定性（a）代數(shù)法穩(wěn)定性判據(jù)已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試對系統(tǒng)閉環(huán)判別其穩(wěn)定性（b）根軌跡法推斷系統(tǒng)穩(wěn)定性已知一個單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試在系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖上選擇一點，求出該點的增益及其系統(tǒng)的閉環(huán)極點位置，并推斷在該點系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性。（c）Bode 圖法推斷系統(tǒng)穩(wěn)定性已知兩個單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為用Bode 圖法推斷系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性。（d）推斷下列系統(tǒng)是否狀態(tài)漸近穩(wěn)定、是否BIBO穩(wěn)定。三、試驗環(huán)境1、計算機120臺；2、MATLAB6.X軟件1套。四、

3、試驗原理（或程序框圖）及步驟1、系統(tǒng)能控性、能觀性分析設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式如（1-1）所示。系統(tǒng)的能控性、能觀測性分析是多變量系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)，包括能控性、能觀測性的定義和判別。系統(tǒng)狀態(tài)能控性定義的核心是：對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)（1-1）,若存在一個分段連續(xù)的輸入函數(shù)u(t)，在有限的時間（t1-t0）內(nèi)，能把任一給定的初態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移至預(yù)期的終端x(t1)，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)全部的狀態(tài)都是能控的，則稱該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。能控性判別分為狀態(tài)能控性判別和輸出能控性判別。狀態(tài)能控性分為一般判別和直接判別法，后者是針對系統(tǒng)的系數(shù)陣A是對角標準形或約當標準形的系統(tǒng)，狀態(tài)能控性判別時不用計算

4、，應(yīng)用公式直接推斷，是一種直接簡易法；前者狀態(tài)能控性分為一般判別是應(yīng)用最廣泛的一種判別法。輸出能控性判別式為： （2-1）狀態(tài)能控性判別式為： （2-2）系統(tǒng)狀態(tài)能觀測性的定義：對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)（2-1）,假如對t0時刻存在ta，t0<ta<，依據(jù)t0,ta上的y(t)的測量值，能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時刻的任意初始狀態(tài)x0，則稱系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能觀測的，或簡稱系統(tǒng)在t0,ta區(qū)間上能觀測。狀態(tài)能觀測性也分為一般判別和直接判別法，后者是針對系統(tǒng)的系數(shù)陣A是對角標準形或約當標準形的系統(tǒng)，狀態(tài)能觀性判別時不用計算，應(yīng)用公式直接推斷，是一種直接簡易法；前者狀態(tài)能觀測性分為一般

5、判別是應(yīng)用最廣泛的一種判別法。狀態(tài)能觀測性判別式為： （2-3）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣和狀態(tài)空間表達式之間的有(1-2)式所示關(guān)系。已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣表述，求其滿足(1-2)式所示關(guān)系的狀態(tài)空間表達式，稱為實現(xiàn)。實現(xiàn)的方式不唯一，實現(xiàn)也不唯一。其中，當狀態(tài)矩陣A具有最小階次的實現(xiàn)稱為最小實現(xiàn)，此時實現(xiàn)具有最簡形式。五、程序源代碼1.(a) 了解以下命令的功能；自選對象模型，進行運算，并寫出結(jié)果。gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal；gram:求解用狀態(tài)空間表示的系統(tǒng)的可控或客觀Gramian矩陣num=6 -0.6 -0.12;den=1 -1

6、 0.25 0.25 -0.125;H=tf(num,den,'Ts',0.1)Lc=gram(ss(H),'c')H = 6 z2 - 0.6 z - 0.12 - z4 - z3 + 0.25 z2 + 0.25 z - 0.125Sample time: 0.1 secondsDiscrete-time transfer function.Lc =10.7651 7.8769 3.6759 -0.0000 7.8769 10.7651 7.8769 1.8379 3.6759 7.8769 10.7651 3.9385 -0.0000 1.8379 3.9

7、385 2.6913Ctrb：計算矩陣可控性A=-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5B=6 9;4 6;4 4;8 4;Tc=ctrb(A,B);rank(Tc)A =-2.2000 -0.7000 1.5000 -1.0000 0.2000 -6.3000 6.0000 -1.5000 0.6000 -0.9000 -2.0000 -0.5000 1.4000 -0.1000 -1.0000 -3.5000ans = 3Obsv:計算可觀看性矩陣A=-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.

8、3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5B=6 9;4 6;4 4;8 4;C=1 2 3 4;Qo=obsv(A,C);Ro=rank(Qo)A =-2.2000 -0.7000 1.5000 -1.0000 0.2000 -6.3000 6.0000 -1.5000 0.6000 -0.9000 -2.0000 -0.5000 1.4000 -0.1000 -1.0000 -3.5000Ro =4Lyap:解lyapunov方程A=0 0 -6;1 0 -11;0 1 -6; B=1 2 3;4 5 6;7 8 0; X=lyap(A,B)X =

9、 -3.2833 -3.9000 -0.1167 -5.5000 -8.6500 -0.4000 0.2833 -0.0000 -0.0333Ctrbf:對線性系統(tǒng)進行能控性分解A=0 0 -6;1 0 -11;0 1 -6; B=3;1;0; C=0 0 1; Abar,Bbar,Cbar,T,K=ctrbf(A,B,C)Abar = -3.0000 0.0000 -0.0000 9.4868 -3.3000 0.9539 8.6189 -3.1344 0.3000Bbar = -0.0000 -0.0000 3.1623Cbar =-0.9435 0.3315 0T =-0.1048 0.

10、3145 -0.9435 -0.2983 0.8950 0.3315 0.9487 0.3162 0K = 1 1 0Obsvf:對線性系統(tǒng)進行能觀性分解A=-2 1;1 -2; B=1;0; C=1 -1; AO,BO,CO,T,K=obsvf(A,B,C)AO =-1.0000 0 0.0000 -3.0000BO =0.7071 0.7071CO =0 1.4142T = 0.7071 0.7071 0.7071 -0.7071K =1 0Minreal最小實現(xiàn)num=1 1; den=1 5 20; sys=tf(num,den) A B C D=tf2ss(num,den) sys=

11、ss(A,B,C,D); sysr=minreal(sys)sys = s + 1 - s2 + 5 s + 20Continuous-time transfer function.A = -5 -20 1 0B = 1 0C = 1 1D = 0sysr = a = x1 x2 x1 -5 -20 x2 1 0 b = u1 x1 1 x2 0 c = x1 x2 y1 1 1 d = u1 y1 0Continuous-time state-space model.（b）已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，當a 分別取-1，0，1時，判別系統(tǒng)的能控性與能觀測性；a=-1num=1,-1;den=1

12、,10,27,18;a,b,c,d=tf2ss(num,den)n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n=nc,disp('系統(tǒng)可控'),else disp('系統(tǒng)不行控'),endQo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n=no,disp('系統(tǒng)可觀'),else disp('系統(tǒng)不行觀'),enda=0num=1,0;den=1,10,27,18;a,b,c,d=tf2ss(num,den)n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n=nc,dis

13、p('系統(tǒng)可控'),else disp('系統(tǒng)不行控'),endQo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n=no,disp('系統(tǒng)可觀'),else disp('系統(tǒng)不行觀'),enda=1num=1,1;den=1,10,27,18;a,b,c,d=tf2ss(num,den)n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n=nc,disp('系統(tǒng)可控'),else disp('系統(tǒng)不行控'),endQo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n=n

14、o,disp('系統(tǒng)可觀'),else disp('系統(tǒng)不行觀'),end矩陣為，判別系統(tǒng)的能控性與能觀測性；a=6.666 -10.6667 -0.3333;1 0 1;0 1 2;b=0;1;1;c=1 0 2;d=0;n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n=nc,disp('系統(tǒng)可控'),else disp('系統(tǒng)不行控'),endQo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n=no,disp('系統(tǒng)可觀'),else disp('系統(tǒng)不行觀'),

15、end（d）求系統(tǒng)的最小實現(xiàn)。num=1 1;den=1 10 27 18;G=tf(num,den);Gs=ss(G);Gm=minreal(Gs);Am=Gm.aBm=Gm.bCm=Gm.cDm=Gm.d1 state removed.Am = 3.5391 -12.1540 5.1323 -12.5391Bm = 0.0606 -0.2425Cm = 0.2500 0.0625Dm = 0（2）穩(wěn)定性（a）代數(shù)法穩(wěn)定性判據(jù)已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試對系統(tǒng)閉環(huán)判別其穩(wěn)定性num=0 0 100 200;den=1 21 20 0;z,p,k=tf2zp(num,den)z =

16、-2p = 0 -20 -1k = 100（b）根軌跡法推斷系統(tǒng)穩(wěn)定性已知一個單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試在系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖上選擇一點，求出該點的增益及其系統(tǒng)的閉環(huán)極點位置，并推斷在該點系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性。n1=1,3;d1=conv(1,0,conv(1,5,conv(1,6,1,2,2);s1=tf(n1,d1);rlocus(s1);k,poles=rlocfind(s1)（c）Bode 圖法推斷系統(tǒng)穩(wěn)定性已知兩個單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為用Bode 圖法推斷系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性。G1(s)num=2.7;den=1,5,4,0;w=logspace(-1,2,47);mag,p

17、ha=bode(num,den,w);magdB=20*log10(mag);subplot(211);semilogx(w,magdB);grid on;title('Bode Diagram');xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('Gain dB');subplot(212);semilogx(w,pha);grid on;xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('phase deg')G2(s)num=2.7;den=1,5,-4,0;w=

18、logspace(-1,2,47);mag,pha=bode(num,den,w);magdB=20*log10(mag);subplot(211);semilogx(w,magdB);grid on;title('Bode Diagram');xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('Gain dB');subplot(212);semilogx(w,pha);grid on;xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('phase deg')（d）推斷

19、下列系統(tǒng)是否狀態(tài)漸近穩(wěn)定、是否BIBO穩(wěn)定。A=0 1 0;0 0 1;250 0 -5;B=0;0;10;C=-25 5 0;D=0;z,p,k=ss2zp(A,B,C,D)六、試驗數(shù)據(jù)、結(jié)果分析（b）a=-1a = -10 -27 -18 1 0 0 0 1 0b = 1 0 0c = 0 1 -1d = 0n = 3Qc = 1 -10 73 0 1 -10 0 0 1nc = 3系統(tǒng)可控Qo = 0 1 -1 1 -1 0 -11 -27 -18no = 3系統(tǒng)可觀a=0a = -10 -27 -18 1 0 0 0 1 0b = 1 0 0c = 0 1 0d = 0n = 3Qc

20、= 1 -10 73 0 1 -10 0 0 1nc = 3系統(tǒng)可控Qo = 0 1 0 1 0 0 -10 -27 -18no = 3系統(tǒng)可觀a=1a = -10 -27 -18 1 0 0 0 1 0b = 1 0 0c = 0 1 1d = 0n = 3Qc = 1 -10 73 0 1 -10 0 0 1nc = 3系統(tǒng)可控Qo = 0 1 1 1 1 0 -9 -27 -18no = 2（c）已知系統(tǒng)矩陣為，判別系統(tǒng)的能控性與能觀測性；n = 3Qc = 0 -11.0000 -84.9926 1.0000 1.0000 -8.0000 1.0000 3.0000 7.0000nc = 3系統(tǒng)可控Qo = 1.0000 0 2.0000 6.6660 -8.6667 3.6667 35.7689 -67.4