隨機(jī)變量及其分布

1、2.1隨機(jī)變量及其分布(二)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)(Probability Density of Continuous Random Variable)連續(xù)隨機(jī)變量的一切可能取值充滿某個(gè)區(qū)間(a,b)，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有無(wú)窮不可列個(gè)實(shí)數(shù)，因此，描述連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布不能再用分布列的形式表示，而是改用概率密 度函數(shù)表示。定義設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，如果存在實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)非負(fù)可積函 數(shù)p(x)，使得對(duì)任意x R，有xF( x> 一 p( t) d t則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)為連續(xù)分布，p(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)c密度函數(shù)的基本性質(zhì)(1) 非負(fù)性:(2) 正則

2、性:P(x) _0bep(x)dx =1。以上兩條是判定一個(gè)函數(shù)P(x)是否為某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)的充要條件2.1.4.2 (絕對(duì))連續(xù)分布函數(shù)的基本性質(zhì)(1) F(x)在整個(gè)實(shí)數(shù)域上都連續(xù)。因?yàn)閷?duì)任意點(diǎn)x的增量LIx，相應(yīng)的分布函數(shù)的增 量有-X LxLf =F(x _x)F x ) P x(dxp0"x(2) 在F(x)的導(dǎo)數(shù)存在的點(diǎn)上，有F ( x)= p( x)(至多有一個(gè)Lebesgue零測(cè)集除外)F(x)是(累積)概率函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)F(x)是概率密度函數(shù)，由此稱p(x)為概率密度 函數(shù)。(3) F(x)對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)不唯一。因?yàn)樵谌舾牲c(diǎn)上改變密度函數(shù) p(x)的值并不影響

3、 分布函數(shù)F(x)的值。例當(dāng)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)分別為下面兩個(gè)函數(shù)時(shí)0.51x 空1;盼0其他。0. 5p2(x0-1 x :其他。1；有 PP1(X)= P2(x) =P(X =T) P(X =1) =0可見(jiàn)兩函數(shù)P1(x), P2(x)在概率意義上是無(wú)差別的，在此稱函數(shù)P1(x), P2(x)是“幾乎處處相等”，其含義是：它們不相等處的點(diǎn)組成的集合的概率為零。連續(xù)隨機(jī)變量的性質(zhì)(1) 連續(xù)隨機(jī)變量X在(-：，：)上任意一點(diǎn)a的概率恒為零，即P(X =a) =P(X ma) P(X : a) =F(a) F(a0) =0、a或 P(X 二 a) = a P(x)dx = 0(2) -a,b

4、R 且 a b，有P(a : x : b)二 P(a 乞 x :b:b)二 P(a ： x 乞 b)二 P(a 乞 x 乞 b)二 a p(x)dx分布函數(shù)的分類(了解)根據(jù)實(shí)變函數(shù)論知識(shí)，定義在 R上的有屆非降函數(shù)，除了階梯函數(shù)，絕對(duì)連續(xù)函數(shù)之外，還有一類所謂的奇異連續(xù)函數(shù)。由Lebesgue分解理論知，任何一個(gè)一元分布函數(shù)F (x)都具有如下形式的分解式：F( x)= ! a! R X 2 直 F )X3 a( F) x其中，F(xiàn)dx),F2(x),F3(x)分別為階梯函數(shù)，絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，奇異連續(xù)函數(shù)，a： 0, (i =1,2,3)， 且印a2 a3 =1。當(dāng)ai |i =1,2,3中至少

5、有兩個(gè)不為零時(shí)，稱F(x)為混合分布函數(shù)。 故分布函數(shù)有四類：階梯函數(shù)，絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，奇異連續(xù)函數(shù)，混合分布函數(shù)。例(課堂練習(xí))判定下面的函數(shù)F(x)是不是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)0J +x F(x) =x：0;0 乞 x ： 1 ;x_1.解 函數(shù)F(x)的圖形如右圖，很明顯的可以 看出F (x)在實(shí)數(shù)域R上，既不是階梯函數(shù)也不是 連續(xù)函數(shù)，所以它是既不離散也不連續(xù)得分布。例已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為x 0 一 x ： 1 ; p(x 戸 2x"v 2 ;.0 其他。試求X的分布函數(shù)F(x)。x解 (1)當(dāng) x ： 0 時(shí)，F(xiàn)(x) p(t)dt = 02rxxx(2)當(dāng) 0_x ：

6、1 時(shí)，F(xiàn)(x) p(t)dt tdt = o2(3)當(dāng) x : 2 時(shí),x1xF (x) p(t)dt tdt i (2 - t)dt =2x 1(4)當(dāng) x_2時(shí),x12F(x)p(t)dt 二 0tdt (2-t)dt; =10I所以，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為x ： 0 ;F(x)=2x -1這個(gè)分布被稱為辛普森分布或三角分布，其密度函數(shù)p（x）和分布函數(shù)F（x）的圖形如下所示:例某型號(hào)電子元件的壽命X （以小時(shí)計(jì)）具有以下的概率密度函數(shù)1000p(x) = < x2x 1000;其他。現(xiàn)有一大批此種元件（各元件工作相互獨(dú)立），問(wèn)（1）任取1只，其壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？（

7、2）任取4只，4只壽命都大于1500小時(shí)的概率是多少？（3）任取4只，4只中至少有一只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？（4） 若已知已知元件的壽命大于1500小時(shí)，則該元件的壽命大于 2000小時(shí)的概 率是多少？(1) P(X 1500)二二 10001500 x223（2） P（“四只元件的壽命都大于1500”)= P(X 1500)4 遼)4 書(3) P(“四只中至少有一只元件的壽命大于1500”)=1 一 p(“四只元件的壽命都不大于1500”) =1 -P(X <1500)4(4) P(X 20001X 1500)f 址 ®00dx P(X2000)2000 x21

8、 23P(X 1500) 一 "000dx 一 2 3 一 41500 x2例向區(qū)間(0, a)上任意投點(diǎn)，用X表示這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)這個(gè)點(diǎn)落在(0,a)中 任意小區(qū)間的概率與這個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān)，求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)和密度函數(shù)p(x)。解(1)當(dāng)x：0時(shí)，由于X空x是不可能事件，所以.->例 2.1.10 6«F(x) =P(X 乞x) =0(2) 當(dāng) 0 沁：a 時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X 乞 x):例 2 1 10(#) 二 P(0 _X _x)二 kx" 屏 f # 八0a例(3) 當(dāng) x _a 時(shí)，F(xiàn)(x)= P(X 沁)=

9、1所以，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0x :： 0;F (x)二 kx a 乞 x ： a;1x _ a.由連續(xù)分布函數(shù)的性質(zhì)知：1 = F (a) = F (a - 0) = lim kx = ka 二xsa 故X的分布函數(shù)為0 x ： 0;lx F (x)a - x : a;|a 1 x - a.所以 (1) x : 0 或 x a 時(shí)，p(x) =F (x) =01(2) 0 ： x a 時(shí)，p(x) = F (x)=a(3) x =0和x =a處，p(x)可以取任意值，一般就就近取值,這樣不會(huì)影響概率的計(jì)算,因?yàn)樗鼈兪菐缀跆幪幭嗟鹊拿芏群瘮?shù)。于是，隨機(jī)變量f JtX的密度函數(shù)為10*a;P(x) = a0 其他。這個(gè)分布就是區(qū)間(0, a)上的均勻分布(Uniform distribution)，記為 U (0, a).例設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為14x3 0 ： x ： 1;P(x)二J 0 其他。(1)已知P(X ：a) = P(X a)，試求常數(shù)(2)已知P(X .b) =0.05，試求常數(shù)b解 因?yàn)閄是連續(xù)隨機(jī)變量，所以P(X =a) =0故 p( x： a r x. a= 1又因?yàn)?P(X : a) =P(X -a)，所