三中西校高二空間向量及其運算

1、第三章 復習課: 空間向量與立體幾何（1）教學目標重點：能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系；能用向量方法證明有關(guān)直線和平面平行和垂直關(guān)系并能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，能利用向量求點到平面的距離難點：利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面、的法向量，時，要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量，的夾角是相等，還是互補易錯點：忽視異面直線所成角的范圍.教育點：培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的運用自主探究點：利用不同的方法判斷直線和平面平行的位置關(guān)系；能根據(jù)平面的法向量所成的角準確判斷

2、二面角的大?。换蛄糠ǖ氖炀殤?yīng)用.考試點:用向量方法證明直線和平面間的位置關(guān)系；用向量方法求異面直線所成的角，直線與平面所成的角、二面角等空間角的問題；空間中點到平面的距離問題空間向量在立體幾何中的應(yīng)用直線的方向向量以及平面的法向量的概念利用向量證明空間中的平行關(guān)系利用向量求空間中的角異面直線所成的角直線與平面所成的角直線與直線平行直線與平面平行二面角的平面角利用向量證明空間中的垂直關(guān)系直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直平面與平面平行利用向量求點到平面的距離一、【知識結(jié)構(gòu)】二、【知識梳理】1直線的方向向量和平面的法向量的概念（1）直線的方向向量：l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點

3、，則稱為直線l的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線l的方向向量（2）平面的法向量：l是平面的一條垂線，則l的方向向量就是平面的一個法向量平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)，是平面內(nèi)兩不共線向量，為平面的法向量，則求法向量的方程組為2用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為和，則l1l2(或l1與l2重合)(2)設(shè)直線l的方向向量為，與平面共面的兩個不共線向量和，則l或l存在兩個實數(shù)x，y，使xy(3)設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，則l或l(4)設(shè)平面和的法向量分別為和，則3用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為和，則l1l20(2)設(shè)

4、直線l的方向向量為，平面的法向量為，則l(3)設(shè)平面和的法向量分別為和，則，04用向量求空間中的角(1)異面直線所成的角設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為和，則l1與l2的夾角滿足cos (2)平面的斜線和平面所成的角如圖1，設(shè)直線l的方向向量和平面的法向量分別為，則直線l與平面的夾角滿足sin =圖1圖2(3)二面角的平面角(i)如圖2，AB、CD是二面角­l­的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小,(ii)如圖3或圖4，分別是二面角­l­的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足圖5cos cos,或cos cos,圖4圖35點到直線的距離的求

5、法（了解）如圖5，設(shè)MN為平面的一條斜線段，為平面的法向量，則M到平面的距離d,就是斜線段在法向量方向上的正投影,由得距離公式：d三、【范例導航】例1已知(2,2,1)，(4,5,3)，則平面ABC的單位法向量是_【分析】設(shè)，是平面內(nèi)兩不共線向量，為平面的法向量，則求平面的法向量的方程組為，向量方向的單位向量為【解答】設(shè)平面ABC的法向量由得令z1，得，又平面ABC的單位法向量為【點評】方程組中含有一個自由未知數(shù)，若令z為自由未知量，給z任意賦一個非零的值都可以得到平面的一個法向量，這些向量是共線向量變式訓練:已知平面過點，平面的法向量為，則下列點在內(nèi)的是（ ）A BCD答案：若點在內(nèi)，則,代

6、入經(jīng)驗證答案A滿足2在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱AB，BC的中點，試在棱BB1上找一點M，使得D1M平面EFB1答案：如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，若D1M平面EFB1，則只需向量是平面EFB1的法向量即可，設(shè)正方體棱長為2，則，設(shè)，則，由D1M平面EFB1，則，解得：所以當點M是BB1的中點時，滿足D1M平面EFB1例2如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是線段的中點求證：平面【分析】利用向量作為工具證明線面平行問題可以選擇的方法較多，可以用共線向量定理，找平面內(nèi)的與已知直線平行的直線；也可以利用共面向量定理證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩個不共線的向量共

7、面；還可以通過證明直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明直線與平面平行【證明一】記，則，共面又平面，平面【證明二】以,為正交基底，建立空間直角坐標系，則，,，AM不在平面BDE內(nèi)，AM平面BDE【證明三】證明：以為正交基底，建立空間直角坐標系，則,，AM平面BDE【證明四】以,為正交基底，建立空間直角坐標系，則，,，設(shè)平面BDE的法向量為，令c=1，則a=，b=，AM不在平面BDE內(nèi)，AM平面BDE【點評】證法一用空間向量的線性運算，利用共面向量定理證明線面平行；證法二利用空間向量的直角坐標運算，得出，從而利用共面向量定理證明線面平行；證法三用空間向量的直角坐標運算，利用共線向量定理，找到平面

8、內(nèi)與AM平行的直線，從而證明出線面平行；證法四利用空間向量的直角坐標運算，通過證明直線AM的方向向量和平面的法向量垂直證明線面平行這幾種方法都是我們經(jīng)常使用的通用方法變式訓練：如圖所示，平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點求證：PB平面EFG.證明：平面PAD平面ABCD且ABCD為正方形，AB、AP、AD兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)­xyz，則A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1

9、,2,0)，設(shè)，即s，解得，又與不共線，、與共面PB平面EFG，PB平面EFG例3如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點,.(1)證明:平面；(2)設(shè)二面角為,求與平面所成角的大小.【分析】本題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運用.從題中的線面垂直以及邊長和特殊的菱形入手得到相應(yīng)的垂直關(guān)系和長度，適宜建立坐標系，運用向量知識加以證明和求解.解:設(shè),以為原點,為軸,為軸建立空間直角坐標系,則,設(shè)，,.(1)證明:由得, .,所以平面；(2) 設(shè)平面的法向量為,又,由，得,設(shè)平面的法向量為,又,由,得,由于二面角為,所以,解得.所以,平面的法向量為,所以與平面所成角的

10、正弦值為,所以與平面所成角為.【點評】從幾何體的特征來看 ,是個特殊的四棱錐，底面是特殊的菱形,一個側(cè)棱垂直于底面,本題創(chuàng)新的地方就是點的位置的選擇是一般的三等分點,這樣的解決對于學生來說就是比較有點難度的,因此使用空間直角坐標系解決該問題較好，另外，利用向量方法解決第二問時，利用面面垂直，它們的法向量互相垂直的條件求出面的法向量，再進而求出直線與平面所成的角，充分體會向量方法在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，很有訓練價值. 變式訓練：如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點.（1）證明：AEPD；（2）若H為PD上的動點，EH與平面PAD

11、所成最大角的正切值為，求二面角EAFC的余弦值（1）證明：由四邊形ABCD菱形，ABC=60°，可得ABC為正三角形.因為E為BC的中點，所以AEBC又BCAD，因此AEAD因為PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE而PA平面PAD，AD平面PAD且PAAD=A，所以AE平面PAD，又PD平面PAD. 所以AEPD.（2）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點，連接AH，EH由（1）知AE平面PAD，則EHA為EH與平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=，所以當AH最短時，EHA最大，即當AHPD時，EHA最大此時tanEHA=，因此AH=又AD=2，所以ADH=45

12、76;，所以PA=2.由（）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又E、F分別為BC、PC的中點，所以，所以，設(shè)平面AEF的一法向量為，則因此取，則因為BDAC，BDPA，PAAC=A，所以BD平面AFC，故為平面AFC的一法向量. 又=，所以，即所求二面角的余弦值為【點評】求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角例4在三棱錐S-ABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分別為AB、SB的中點，如圖所示，求點

13、B到平面CMN的距離【分析】根據(jù)幾何體的特征，可以考慮建立空間坐標系，利用向量法求距離，距離公式不要記錯，點B到平面CMN的距離為平面的一條斜線MB在平面的法向量方向上的投影長【解答】取AC的中點O，連接OS、OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，SOBO.如圖所示，建立空間直角坐標系O­xyz，則， 設(shè)為平面CMN的一個法向量，則取z1，則x，y，點B到平面CMN的距離d【點評】點到平面的距離，利用向量法求解比較簡單，它的理論基礎(chǔ)仍出于幾何法，如本題，事實上，作BH平面CMN于H由以及，得，所以，即d變式訓練：

14、已知是底面邊長為1的正四棱柱，是和的交點，若點到平面的距離為，求正四棱柱的高解：建立如圖空間直角坐標系，有，設(shè)平面的一個法向量為，取，得點到平面的距離為，則四、【解法小結(jié)】1通過這節(jié)課的復習，我們要能夠利用直線的方向向量和平面的法向量解決線線、線面和面面間的平行與垂直問題；會利用向量求空間中的角，包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角；會利用向量求空間中點到平面的距離2證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，然后說明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為了數(shù)量的計算問題3證明直線與直線垂直，只需要證

15、明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明4(1)異面直線的夾角與向量的夾角有所不同，應(yīng)注意思考它們的區(qū)別與聯(lián)系；(2)直線與平面的夾角可以轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，由于向量方向的變化，所以要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系；（3）求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角五、【布置作業(yè)】必做題：1(2009·全國卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E為AA1中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為2(

16、2009·浙江高考)在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是3(2010·江蘇蘇北三市模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，ABCD，BAD90°，PA平面ABCD，AB1，AD2，PACD4. (1)求證：BDPC；(2)求二面角BPCA的余弦值必做題答案：1260° 3二面角BPCA的余弦值為選做題：1如圖，在四棱錐中， 底面為矩形， ，為線段上的一點，且， （）當時，求的值；（）求直線與平面所成的角的正弦值.1.解：（I）以為原點，以,為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設(shè),則,又設(shè)，則：,由,可得，解得又（2）由（1）知面的法向量為又因為設(shè)與面所成的角為，則：，所求與面所成的角的大小為2（2012年高考（福建理）如圖,在長方體中，為中點.(1)求證:(2)在棱上是否存在一點,使得平面?若存在,求的長；若