中南大學(xué)概率論A考試試卷答案2011

1、中南大學(xué)概率論A考試試卷答案（共100分，48學(xué)時，學(xué)分 3）一、填空題（本題15分，共5題，每題3分）1. 設(shè)為兩個隨機變量，且，則。2. 將一枚硬幣反復(fù)拋擲n次，以分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則的相關(guān)系數(shù)為。3.設(shè)為一概率密度，則的值為。4設(shè)為上均勻分布的密度函數(shù)，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度，若（）為概率密度，則應(yīng)滿足。5. 設(shè)隨機變量, 其，存在，則。二、選擇題（本題15分，共5題，每題3分）1設(shè)相互獨立，服從參數(shù)為的0-1分布，服從參數(shù)為的0-1分布，則方程中有相同實根的概率為（A） （B） （C） (D) 2.設(shè)是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布的隨機變量，則 （A）0 （B） 1

2、（C）0.5 （D）3.某機器加工零件的次品率為0.2，一直加工到出現(xiàn)5件合格品為止，X為加工的次數(shù)，則X的分布律為（A） （B） （C） （D）4、，若，則=（A） （B） （C） （D）5、設(shè)二維隨機變量，則 (A) 0.25 (B) 0.5 (C) 0.65 (D) 1三、（10分）產(chǎn)品由甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)，各廠產(chǎn)品所占比重分別為0.2,0.3和0.5.甲廠產(chǎn)品次品率為0.02，乙廠產(chǎn)品的次品率為0.05，丙廠產(chǎn)品的次品率為0.03. 現(xiàn)取一件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)它是次品，問該產(chǎn)品恰為乙廠生產(chǎn)的概率。解: 設(shè)產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)用事件A,B,C表示，產(chǎn)品為次品用事件D表示，則有P(A)=0

3、.2，P(B)=0.3，P(C)=0.5，P(D|A)=0.02,P(D|B)=0.05，P(D|C)=0.03.所求概率為：四、（10分）設(shè)，求的分布與密度函數(shù)。解：設(shè)的分布函數(shù)為密度函數(shù)為，有，則當(dāng)時，；當(dāng)時， =，故 求導(dǎo)得密度函數(shù)為：五、（15分）設(shè)隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，在的條件下，隨機變量在區(qū)間上的均勻分布，求：（1）隨機變量的聯(lián)合概率密度；（2）求概率；（3）的邊際密度。解：（1）的概率密度與在（）的條件下的條件概率密度分別為： ， 當(dāng)，時，隨機變量的聯(lián)合概率密度為，其它點處，即有（2）（3）= 六、（10分）假設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生故障將導(dǎo)致全

4、天停工，若一周5個工作日無故障，可獲利潤15萬元，發(fā)生一次故障，可獲10萬元，發(fā)生2次故障，可獲4萬元，發(fā)生3次以及以上次故障將虧損10萬元，求一周內(nèi)期望利潤為多少？解：設(shè)表示隨機變量一周內(nèi)發(fā)生故障的天數(shù)，由題意知道，從而， ，=，故一周內(nèi)期望利潤為： (萬元)七、（10分）船在海上航行，根據(jù)經(jīng)驗可知，海浪導(dǎo)致船的豎直方向上傾斜角大于6度的概率為，現(xiàn)在船經(jīng)受了100000次的海浪沖擊，問船豎直方向上傾角大于6度的次數(shù)介于24800次到25300次的概率。解：可將貨輪每遭受一次波浪沖擊看作是一次試驗，并認(rèn)為實驗是獨立的。在 100000次波浪沖擊中，縱搖角度大于6的次數(shù)記為X ，利用德莫佛-拉普拉斯定理來求。 八、（8分）設(shè)X的分布函數(shù)為繼續(xù)且具有單值反函數(shù)，證明。解：設(shè)Y的分布函數(shù)為，則，從而當(dāng)y<0時，0，當(dāng)y>1時，當(dāng)時，從而Y的分布函數(shù)與的分布函數(shù)相同，