51二次曲線與直線的相關(guān)位置

1、第五章二次曲線的一般理論平面上由二元二次方程aii X2 + 2ai2 xy + a22 y2 + 2ai x + 2a2 y + a = 0（其中an ,ai2,a22不全為0）所表示的曲線稱為二次曲線。本章將從直線與二次曲線的相關(guān)位置的討論入手，研究二次曲線的幾何性質(zhì)，通過坐標(biāo)變換對二次曲線進(jìn)行分類，利用不變 量和半不變量簡化二交曲線方程。判斷二次曲線的類型、然后還要確定二次曲線的位置。為便于討論，我們引進(jìn)一些記號）11矩陣農(nóng)示2 2x + a xy 單 y21222/aa1112aa(X, y, 1)1222< a ia2+ a x+ aFi ( x, y)= a11 x+ai2

2、y+aiF2 ( x, y)=ai2 x +a22 y 壇2F3 (x, y)三 ai x+ a2 y+a(x, y) = an x2+ 2a 12 xy + a22 y 2矩陣農(nóng)示/ an (X, y)©12ai2a22容易驗證F ( x, y) =xFi ( x, y) + yF2 ( x, y) + F3 ( x, y)11 =an +a22aa1112I 2 二aa1222aa1112aiaa13 _1222a2aia2a今后還經(jīng)常用列下面幾個符號aaki = aiai a+22 a2a2 a§ 5.1二次曲線與直線的相關(guān)位置，切線本節(jié)重點：掌握二次曲線與直線的相關(guān)

3、位置及切線的求法。（一）二次曲線與直線的相關(guān)位置首先我們討論二次曲線與直線的相關(guān)位置，這里會涉及到一元二次方程的解，而一元二次方 程的解又可能出現(xiàn)虛數(shù)，所以需要在平面上引進(jìn)虛元素。在取定平面直角坐標(biāo)系后，對于至少有一虛數(shù)的有序數(shù)對（X, y）,我們認(rèn)為它表示平面上一個虛點，并稱（x, y）為這虛點的坐標(biāo)，平面上原先研究的點稱為實點。如果兩虛點的對應(yīng)坐標(biāo)都是共轆復(fù)數(shù)，則稱這兩點為一對共轆虛點。實點和虛點統(tǒng)稱為復(fù)點，在平面上引進(jìn)虛點 之后，可以擴(kuò)充向量和直線的概念，引進(jìn)虛向量和虛直線概念等?，F(xiàn)在我們來討論二次曲線F （ x, y） = a 11 x ?+2ai2 xy+a22 y ? + 2ai

4、x+2a2 y +a = 0（ 1）與經(jīng)過點（xo , yo ）且具有方向X : Y的直線的交點，把（2）代入（1）得關(guān)于t的方程（an X2 +2ai2XY+a22Y2）t2 +2（au xo+ anyoai ）X+（ai2xo+ a22 yo a2 ）Yt+ （a x 2 +2a x y +a y 2 + 2a x 4-2a y 4-a） =0（ 3）11 0 12 0 0 22 0 1 0 2 0利用前面記號（3）可寫成X, Y）t2 +2XFi （ xo , yoT YF2 （xo , yo ）廣 F （xo , yo 尸 0（4）關(guān)于直線（2）與二次曲線（1）的交點問題，我們利用方程

5、（4）分以下幾種情況討論1、（X,Y）=0,這時（4）是關(guān)于t的二次方程，它的判別式為 = XF1 （ xo , yo ）+YF2 （ xo , yo ） 2 - （X , Y） F （ xo , yo ）這里又可分三種情形1°、 A >0 ,方程（4）有兩個不等實根ti與t2,代入（2）便得直線（2）與二次曲線（1）的兩 個不同的實交點。2。、 A =0 ,方程（4）有兩個相等實根ti與t2,這時直線（2）與二次曲線（1）有兩個互相 重合的實交點。3°、° <0 ,方程（4）有兩個共轆的虛根，這時直線（2）與二次曲線（1）交于兩個共轆的虛點。2、（X

6、,Y） = 0 ,這時又可分三種情形1。、XFi (xo, yo )+YF2 (xo , yo尸0 ,這時(4)是關(guān)于t的一次方程，它有唯一的一個 實根，所以直線(2)與二次曲線(1)有唯一的實交點。2°、XFi ( xo , yo )+YF2 (xo , yo 尸 0 ,而 F ( xo , yo )= 0。這時(4)為矛盾方程，方程 (4)無解，所以直線(2)與二次曲線(1)沒有交點。3°、XFi ( xo , yo )勺巳(xo , yo ) F (xo , yo ) 0；這時方程(4)成為一個恒等式；它能被 任何(實的或虛的)t所滿足，所以直線(2)上一切點都是(1

7、)和(2)的公共點，也就是說直線(2) 在二次曲線(l)±o(二)二次曲線的切線5.1.1定義如果直線(2)與二次曲線(1)相交于互相重合的兩個點，或者直線(2)全都在二次曲線(1)±,則稱這直線(2)為曲線(1)的切線，其公共點稱為切點。首先來討論經(jīng)過二次曲線(1)上一點M o ( xo , yo )的切線L的求法。論切線L的方向為X: Y,則L的參數(shù)方程為：X = X0 + xt<一8 <t < °0ly= yo +yt代入二次曲線的方程(1)得<J>(X,Y)t2 + 2XF (x,y >YF (x ,y )t+F(x,y

8、#01 0 0 2 0 0 0 0據(jù)切線定義，在前一情形有° (X ,¥)- 0且t的二次方程的判別式 P由于M 0 ( xo , yo ) 在S ±,于是 =4 XFi (xo , yo )如2 (xo , yo )2 -曲(X ,Y )F ( xo , yo )=4XF(x,y ) AT(x , y ) 21 0 0 2 0 0因此 XFi (xo , yo )+YF2 (xo , yo )= 0( 5.1.1)在后一情形，有(X,Y) =0，且XFi ( xo , yo 廣許2 (xo , yo 尸 0總之，過二次曲線(1)上的點M o ( xo , yo

9、)的直線L如果是二次曲線(1)的切線，則L的方向應(yīng) 滿足(5.1.1),反之，如果這樣的直線 L的方向滿足(5.1.1),則L或者在二次曲線(1)上(當(dāng)Y) = 0 ),或者與二次曲線(1)有兩個重合的交點(當(dāng)(X, Y)H 0時)，從而L是二次 曲線(1)的切線。情形I . Fi(xo,yo )與F2 ( xo , yo )不全為零，則由(5.1.1)得(5.1.2)X ： Y = -F2 ( xo , yo) : Fl ( xo , yo )因此過二次曲線(1)上的點Mo(xo,yo)為切線L的方程為x xoy - yo_ F2 (xo , yo )F1 ( xo , yo)即(x _ x

10、o ) Fi ( xo 9 y0 ) + ( y _ yo )F 2 (xo , yo ) =0(5.1.3)情形I【 Fi(xo,yo) =F2(xo, y0) =0此時任一方向 X： Y都滿足(5.1.1)從而過Mo(xo,yo)的任意一條直線都是二次曲線(1)的切線。從上述討論得到5.1.2定理設(shè)M o ( xo , yo)是二次曲線上一點，若Fi ( xo , yo )與F2 (xo , yo )不全為零，到過Mo存在二次曲線(1)的唯一的一條切線，其方程為(xxo )F 1 (xo , yo)(y yo) F2 (xo , yo)0 +-=若Fi (xo , yo尸F(xiàn)2 ( xo ,

11、 yo尸0 ,則過Mo的每一條直線都是二次曲線 的切線。5 1 R定義若過曲線上的點Mo(xo,yo)的每一條直線都是(1)的切線，則稱點Mo為曲線(1)的奇(異)點。再討論過二次曲線(1)外一點Mi (Xi , yi )的切線L的求法。這吋 L不可能整條在二次曲線(1)±,因此L必與二次曲線(1)有兩個重合的交點，設(shè) L的方向為X: Y則它就滿足XFi (xi , yi ) +YF2 (xi , yi )2-(X,Y) F ( xi , yi 尸0(5.1.4)因為L的方程為x 一 xiy-yiXY所以對于切線L上的任意一點(x, y)都有X : Y =( xxi ): ( y-y

12、i )不妨就取X = x r 1 ,Y = y -yi代入(5.1.4)得(x -xi ) Fi (xi , yi)( yyi ) F2 (xi , yi 打2(x-xi , yyi ) F ( xi , yi 0(5.1.5)(5.1.5)的左端是(x-xi), (r yi)的二次齊次多項式，當(dāng)它可以分解成兩個實系數(shù)一次因式乘積時，便得到兩條切線。例1、求二次曲線X2 - xy +y2 - 1=0通過點(0,2)的切線解：因為F (0,2) =4-1= 凸0,所以(0,2)不在曲線上iy) 1F1 (0,2) (x-(0 衛(wèi)厶12=-y) 1 =F2 (0,2)(X(0'2)2(x-

13、0,y-2) = x2- x( r 2) t y If ( y-2) 2由(4.1.5)得(-l)(x - 0)+ 2(y 2)2-3x2-x(y-2) ty 2 2 伊即 2x?+ x(廠 2)-( y - 2)2 = 0將左端分平因式得2x (y 2)x(y 2) 0一于是得到過(0,2)的兩條切線的方程分別為2x -y +2 =0習(xí) 題 5-1=0與下列直線的交點(1)1、求二次曲線 x2 - 2xy-3 y2 4 x 6y+3 X = _2t(2) I y i+t(3) 2x 6y _ 9 = 0(4) x- 3 y= 02、試決定K的值，使得直線x f 書0與二交曲線x2-3x +礦

14、K =0交于兩個不同的實點"x = 1+ Kt?(2) 直線f與二次曲線x2 +3y 4xy - y =0交于一點ly = K+t(3) 直線x 一 Ky - 1= 0與二次曲線y 2 2 xyr ( K 一 1) y T =0交于兩個相互重合的實點(4) 直線 J = 1 與二次曲線2x 2 +4xy -Ky 2 _ x _ 2 y= 0有兩個共軌虛交點ly =1 -t3、求下列二次曲線的經(jīng)過所給點的切線方程（1）3x2 +4 xy+5y $ -7x - 8y - 3= 0 點、（2,1）；（2）5x2 +7xy + y 2-x+2 y = 0 原點；（3）5x2 +6xy+5y2 = 8 點（0,22 ）；（4）2x2 - xy - y2 - x - 21= 0 點、（0,2）。4、求下列二次曲線的切線方程，并且求出切點的坐標(biāo)（1） x2 +4xy